關于球與多面體的組合體解題方法探討

馮國明

【摘要】盡管高考對球與多面體的考查是基礎性的，但這并不意味著可以忽視這部分的教學，畢竟，從當前情況看，此部分的考查仍是較為頻繁的.筆者將就這方面的解題方法進行多方面的探討.

【關鍵詞】高中數(shù)學；立體幾何；球與多面體；解題方法

從這幾年的高考試卷上看，對空間想象能力的考查，一般是集中體現(xiàn)在立體幾何試題上的，對球與多面體的考題，一般以基礎題為主.解決這類題目，需要掌握相關的截面圖和結論.事實上，球與多面體之間的接切問題，在課本中沒有明確的定義，球的主要元素在它的大圓中；而多面體的主要元素關系在各個側(cè)面及對角面上.本文主要是介紹常見的與球有關的組合問題中的內(nèi)切、外接等題型的解法.

一、關于解題思想

數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學知識的精髓，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，有著普遍的應用意義，是歷年高考的重點.數(shù)學思想方法比數(shù)學基礎知識有更高的層次，如果說數(shù)學基礎知識是數(shù)學內(nèi)容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學思想方法則是數(shù)學意識，只能領會運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決.中學數(shù)學中的主要數(shù)學思想有函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.高中數(shù)學教師在教學中，應該盡可能地加深學生對數(shù)學思想方法的理解并學會在解題中自覺運用數(shù)學思想方法.因此，筆者以球與多面體的組合體解題方法為例，精心設計了幾個案例，從不同側(cè)面體現(xiàn)了數(shù)學思想方法對尋求解題思路的作用，對于拓寬思路、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力有一定的意義.

二、關于球與多面體的組合體解題思路

1畢嘟游侍

球外接于多面體是指多面體的各個頂點都在球面上.

棱柱與球的組合體.

例1一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為1 cm，那么該棱柱的表面積為.

分析正四棱柱的外接球的圓心O在它的體對角線AC與AC的交點上，如圖1.

圖1

在Rt△ACC1中，∵AC21=AC2+CC21，∴CC1=2，

∴S=2×1×1+4×1×2=2+42.

2畢嗲形侍

球內(nèi)切于多面體，即球與多面體的各個面都相切.

(1)正方體的內(nèi)切球中，切點為正方體各個面的中心，對面距離為內(nèi)切球的直徑，若正方體的棱長為a，內(nèi)切球的半徑為12a.

(2)正四面體、正三棱錐的內(nèi)切球切點在棱錐的底面和斜高上，因此截面圖是斜高及斜高在底面的射影、高組成的直角三角形，若正四面體的棱長為a，則內(nèi)接球的球半徑為612a.

反思任何正多面體有一個內(nèi)接球和一個外切球，這兩個球同心.

拓展如果一個多面體的各棱都與一個球相切(把多面體想象成一個框架)，中間有一個充氣的球，“切”點恰在各棱的中點，如：正方體的棱切球，球與正方體各棱的切點在每條棱的中點，經(jīng)過四個切點的球的截面(大圓)是正方形的外接圓，對棱中點間的距離為該球的直徑.若正方體的棱長為a，則棱切球的半徑為22a，如圖3.

圖3

三、結語

總之，在實際的教學中，高中數(shù)學教師應該從多個方面進行思考和總結，盡可能的為學生創(chuàng)造出更多的理解空間，讓學生能夠在理解數(shù)學原理的基礎之上，完成數(shù)學問題的解答.一般而言，在教學中常將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，用截面圖時，關鍵明確切點、接點、球心，將相關的數(shù)量關系呈現(xiàn)在三角形內(nèi)解決，其實只要掌握相關的結論，分析截面圖，讓學生看清截面的作法，就可解決兩個幾何體基本元素之間的關系.

【參考文獻】

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