消元法在解方程組問題中的應用

摘 要：在初中數學中，消元法是解決方程組問題的一種基本方法。通過減少未知數的數量，可以將復雜問題轉化為簡單問題，從而幫助學生更好地理解和掌握數學知識。熟練掌握消元法對于提高學生的解題能力和數學素養具有重要意義。基于此，筆者對消元法的基本概念、解題方法、實際應用展開深入探討，并提出相應的教學策略，以期為初中數學教學提供有益參考。

關鍵詞：初中數學；消元法；方程組；應用

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）14-0066-03

收稿日期：2025-02-15

作者簡介：秦楠，本科，二級教師，從事初中數學教學研究。

消元法的核心在于通過一系列的代數操作，將方程組中的某些未知數消除，從而簡化問題的求解過程。消元法在初中數學中具有重要地位，它不僅是一種解題方法，還是一種培養學生邏輯思維和創新能力的重要工具，對提升學生的核心素養至關重要。在初中數學教學中，通過消元法，學生可以學會將復雜的數學問題簡單化，從而更有效地分析問題和解決問題。筆者將結合實例說明消元法在求解方程組問題中的應用，供讀者參考。

1 方程變形，代入消元

在解方程組問題中，代入消元法是一種最基礎的解題方法，它適用于求解含有兩個或兩個以上未知數的方程組[1]。這種方法的基本思想是將一個方程變形，用含有一個未知數的式子表示另一個未知數，即將其中一個未知數視為已知量，解出另一個未知數，然后將其代入另一個方程，從而減少未知數的數量，使問題簡化為只含有一個未知數的方程。在初中數學教學中，教師應重視代入消元法，幫助學生掌握這一基本方法和技能，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力。在初中數學中，代入消元法最常見的應用就是解二元一次方程組。

例1 解二元一次方程組2x+y=4，3x-2y=13。

分析 解二元一次方程組，其實質就是求出未知數x與y的值。觀察此方程組，可以發現未知數y的系數較小，所以在其中一個方程中用含有x的代數式表示y，然后將y代入另一個方程，即可得到關于x的一元一次方程，實現將“二元”轉化為“一元”，通過解一元一次方程即可得到方程組的解。

解 2x+y=4，3x-2y=13。①②

由①可得y=4-2x。③

將③代入②得3x-2（4-2x）=13，故x=3。

將x=3代入③可得y=-2。

所以原方程組的解為x=3，y=-2。

由此可以看出，利用代入法解二元一次方程的一般步驟為：一是變形表示，即在其中一個方程中，用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數；二是代入求解，將得到的式子代入另一個方程，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程，然后解這個一元一次方程，即可求出方程組中一個未知數的值；三是回代求解，即把求得的未知數的值代入變形后的方程，求得另一個未知數的值；四是驗算寫解，通過驗算確定所求解是否正確并寫出方程組的解。

由此例可以看出，代入消元法在解決實際數學問題過程中具有重要作用，它是一種非常基礎且實用的解題方法，其核心就是運用轉化思想將二元方程組轉化為一元方程，這種方法適用于方程組中某個未知數的系數相對簡單的情況。代入消元法不僅有助于學生理解數學概念，而且能夠培養他們的邏輯思維和問題解決能力，提升數學核心素養。

2 倍數計算，加減消元

加減消元法也是解決二元一次方程組的常用方法之一。當遇到一些系數比較復雜的方程組問題時，代入消元會比較麻煩，加減消元法可以發揮其優勢。根據方程組中未知數系數之間的特殊關系，通過相加或相減消去其中一個未知數，從而簡化問題[2]。加減消元法不僅是一種有效的數學解題方法，也是培養學生數學思維和解決問題能力的重要工具。

例2 某面粉加工廠要一批小麥，兩臺大面粉機和五臺小面粉機同時工作兩小時，共加工小麥1。1萬千克；三臺大面粉機和兩臺小面粉機同時工作三小時，共加工小麥1。98萬千克。請求一臺大面粉機和一臺小面粉機平均每小時各加工多少萬千克小麥？

此例是一道應用題，首先需根據題意設出未知數。設大面粉機每小時加工小麥x萬千克，小面粉機每小時加工小麥y萬千克。此問題中有兩個等量關系，由此可列出兩個二元一次方程，即得到二元一次方程組4x+10y=1。1，9x+6y=1。98。利用加減消元法解此二元一次方程組即可解決問題。

在二元一次方程組中，如果方程組各項系數比較復雜，直接利用代入消元法求解比較困難。觀察此二元一次方程組可以發現，不但未知數的系數比較復雜，而且常數項是小數，如果利用代入消元法求解，計算量非常大且容易出現計算失誤。對于這類問題，可以考慮采取一種新方法——加減消元法。在利用加減消元法解二元一次方程組的過程中，當方程中同一未知數的系數均不同時，需比較兩個未知數系數的最小公倍數。在此方程組中，未知數x的系數的最小公倍數是36，未知數y的系數的最小公倍數是30，未知數y的系數的最小公倍數更小，這里可用加減消元法消去y。具體求解過程如下：

4x+10y=1。1，9x+6y=1。98。 ①②

由①×3可得12x+30y=3。3。③

由②×5可得45x+30y=9。9。④

由④-③可得33x=6。6，解得x=0。2。

將x=0。2代入①可得y=0。03。

故原方程組的解為x=0。2，y=0。03。

對于這種通過列二元一次方程組解決的實際問題，首先需要從實際問題中找出兩個等量關系，然后根據等量關系選擇適當的未知數并列出二元一次方程組。解二元一次方程組的關鍵是消元，即把“二元”化為“一元”[3]。用加減消元法解二元一次方程組時，如果方程組中未知數的系數比較復雜，可選定一個未知數，給兩個方程分別乘以一個適當的數，將此未知數的系數化相同或互為相反數，然后再利用加減法消元求解。

加減消元法的核心就是對等式的轉化，將同一個未知數的系數化相同或互為相反數，然后通過相加或相減，消去此未知數，從而達到消元的目的。在教學過程中，教師應該通過講練結合的方式，引導學生在長期練習實踐中經歷知識的形成與應用過程，進而更好地理解和掌握消元的思想和方法。

3 同量表示，主元消元

主元法是解決二元或多元一次方程組的重要方法，它通過選擇特定的變量作為主元來簡化問題[4]。主元法解題的一般步驟是選擇一個或幾個變量作為主元，其他變量作為次元，利用次元表示主元，通過主元的等量關系求解次元，再逐步求解主元。

例3 已知三元一次方程組3x-4y-z=0，2x+y-8z=0，其中z≠0，求x2+y2+z2xy+yz+2zx的值。

通過觀察可以發現，方程組中含有3個未知數，但是只有兩個方程，顯然無法確定未知數的值。為此，可以選擇一個適當的未知量當作常數來對待，利用含該未知數的代數式表示其他兩個未知量，由此把“三元”轉化為“二元”。

解析 以x，y為主元，z作為已知數，這樣就可以將方程組轉化為二元一次方程組，即3x-4y=z，2x+y=8z。 ①②

由②可得y=8z-2x。③

將③代入①得3x-4（8z-2x）=z，故x=3z。

將x=3z代入③可得y=2z。

將x=3z，y=2z代入x2+y2+z2xy+yz+2zx，可得9z2+4z2+z26z2+2z2+6z2=14z214z2=1。

在利用主元法解決問題時，最重要的是合理選擇主元。在此基礎上，需結合代入消元法、加減消元法進一步消元。主元法是初中數學中非常重要的解題方法，在很多數學問題中，往往有多個變量，選擇其中的某個或多個變量作為主變量，將其他的變量看作常量，這就是主元法的核心。在教學過程中，教師應該重視這些方法，在教學過程中滲透主元思想，使學生在解決多元一次方程組時更加靈活和高效，從而提高學生解決復雜問題的能力。

4 方程變形，整體代入

整體代入消元法是解決方程組問題的一種常用方法，它是將方程中的某一部分視為一個整體，然后通過代入和消元簡化問題[5]。如果方程組中的兩個方程存在相同部分，那么就可以將相同部分視為一個整體，然后將其代入另一個方程，從而消除未知數。這種方法可以有效減少方程的數量，達到簡化問題的目的，使問題求解過程更加直接和清晰。

例4 解關于x，y的二元一次方程組2x+5y=3，4x+11y=5。

此方程組中x與y的系數比較復雜，利用加減消元法可求得方程組的解。觀察此方程組可以發現，這兩個方程有著特殊關系，可利用整體代入法求解。

解 2x+5y=3，4x+11y=5。①②

由②可得2（2x+5y）+y=5。③

將①代入③可得6+y=5，解得y=-1。

將y=-1代入①可得x=4。

故原方程組的解為x=4，y=-1。

通過對方程的變形，可找到兩個方程的相同部分，然后整體代入求解，這種方法不但能夠有效減少復雜的運算過程，而且能夠培養學生的數學思維能力。整體代入消元法不僅是一種非常靈活高效的解題方法，更是初中階段一種十分重要的數學轉化思想，其應用十分廣泛。整體代入法在解決方程組問題時非常有效，在解決問題的過程中，要先觀察這個方程組有沒有多次重復出現的相同部分，若發現相同部分多次出現，則可以嘗試利用整體代入消元法解題。這種方法不僅有助于學生理解數學概念，而且能夠培養他們的邏輯思維能力，提高解題效率。

5 結束語

通過具體實例可以看出，加減消元法、代入消元法、主元消元法、整體代入消元法在解決方程組問題中發揮著重要作用。在初中數學教學中，教師在教學過程中不應僅限于解題方法的傳授，更需要注重開拓學生的數學思維，引導學生利用消元思想解決更多的綜合問題，不斷提高學生分析問題和解決問題的能力，提升其數學核心素養。

參考文獻：

［1］ 劉道明。換元法在初中數學解題中的探究[J]。數理化解題研究（初中版），2013（12）：17。

[2] 鄭鈺。換元法在解方程中應用的四個原則[J]。數理天地（初中版），2024（1）：8-9。

[3] 許文倩。初中數學解題中換元法例題解析[J]。數理天地（初中版），2023（23）：4-5。

[4] 于海峰。論換元法在初中數學解方程中的應用[J]。現代中學生（初中版），2021（20）：26-27。

[5] 杜雪芬。初中數學解題中消元法的應用[J]。數理天地（初中版），2024（12）：32-33。

［責任編輯：李慧嬌］