巧用數(shù)學(xué)思想解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題

摘 要：運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)中屢見(jiàn)不鮮，這類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力要求較高。文章在掌握數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題類(lèi)型及特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，主要闡述分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、類(lèi)比、建模等數(shù)學(xué)思想在解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中的應(yīng)用，并結(jié)合具體的實(shí)例分析運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題的解決方法，旨在充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的作用，提高學(xué)生解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的解題效率。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；初中數(shù)學(xué)；運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）14-0002-03

隨著教育改革的不斷深入，數(shù)學(xué)領(lǐng)域越來(lái)越注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)，運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題的考查方向契合教育改革的要求。運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中一類(lèi)特殊問(wèn)題，它涵蓋代數(shù)、幾何等多個(gè)數(shù)學(xué)分支的知識(shí)點(diǎn)，因涉及變量多、關(guān)系復(fù)雜而成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，要求學(xué)生具備良好的空間想象能力、邏輯推理能力和實(shí)際問(wèn)題解決能力。數(shù)學(xué)思想是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到個(gè)體的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的一種結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的普遍規(guī)律。因此，探索數(shù)學(xué)思想在解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中的應(yīng)用，對(duì)落實(shí)新課程改革要求具有重要意義。

1 數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題分析

運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題是從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形變化規(guī)律的一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題。大致可以分為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)型、線(xiàn)運(yùn)動(dòng)型和圖形運(yùn)動(dòng)型三類(lèi)[1]。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題通常涉及點(diǎn)在特定路徑上的移動(dòng)，通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和速度等條件，探討相關(guān)幾何元素之間的變化規(guī)律；線(xiàn)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題關(guān)注線(xiàn)段或直線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，通過(guò)線(xiàn)段的伸縮、旋轉(zhuǎn)或平移等運(yùn)動(dòng)方式，研究圖形的形狀和性質(zhì)的變化；圖形運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題更為復(fù)雜，涉及整個(gè)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折或平移等運(yùn)動(dòng)，要求學(xué)生在圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，捕捉和解析幾何元素之間的變化關(guān)系。運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題具有以下幾個(gè)顯著特點(diǎn)：第一，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)。不僅涉及函數(shù)與方程、相似三角形、圖形面積等知識(shí)，還與相似三角形及解直角三角形等知識(shí)有關(guān)。第二，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想。運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題的解決過(guò)程涉及方程思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等多種數(shù)學(xué)思想。第三，關(guān)注學(xué)生的運(yùn)算能力。運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題通常涉及多個(gè)變量和復(fù)雜的幾何關(guān)系，因此要求學(xué)生具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力[2]。第四，問(wèn)題設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)，難度起伏適度。運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題通常包含多個(gè)小問(wèn)題，這些小問(wèn)題之間存在內(nèi)在的聯(lián)系，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從基礎(chǔ)到進(jìn)階，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入探究。

2 數(shù)學(xué)思想在解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中的應(yīng)用

2.1 分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

分類(lèi)討論思想強(qiáng)調(diào)，在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的不同情況或條件，將其分成若干個(gè)子問(wèn)題或類(lèi)別，然后分別對(duì)每個(gè)子問(wèn)題或類(lèi)別進(jìn)行研究和討論，最后綜合各個(gè)子問(wèn)題或類(lèi)別的結(jié)果，得出原問(wèn)題的解。在運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中，圖形的運(yùn)動(dòng)伴隨著多種可能情況或條件變化，因此分類(lèi)討論思想成為解決這類(lèi)問(wèn)題的有效工具[3]。利用分類(lèi)討論思想解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確識(shí)別問(wèn)題的分類(lèi)依據(jù)，并合理劃分出各個(gè)子問(wèn)題或不同類(lèi)別。

2.2 類(lèi)比分析思想的應(yīng)用

類(lèi)比分析思想強(qiáng)調(diào)的是基于事物之間的相似性，通過(guò)比較不同對(duì)象或情境的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)，推導(dǎo)出新的結(jié)論或解決問(wèn)題的方法。在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物等多個(gè)學(xué)科中都有顯著的體現(xiàn)。數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題通常涉及幾何圖形的動(dòng)態(tài)變化，如點(diǎn)的移動(dòng)、線(xiàn)段的伸縮、圖形的旋轉(zhuǎn)或平移等，這些變化伴隨著復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系，導(dǎo)致問(wèn)題變得復(fù)雜且難以直接解決。類(lèi)比分析思想是解決這類(lèi)問(wèn)題的有效工具。在運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中，通過(guò)類(lèi)比已知的簡(jiǎn)單情境，可以將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更易于理解的形式，從而為問(wèn)題解決創(chuàng)造條件。

為了有效利用類(lèi)比分析思想解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，首先需要仔細(xì)審題，既要明確問(wèn)題的類(lèi)型和特點(diǎn)，又要明確有關(guān)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和數(shù)學(xué)關(guān)系。其次需要搜索與問(wèn)題相似的已知情境，并確定兩者之間的共同點(diǎn)和差異點(diǎn)。在找到相似情境后，需要確定類(lèi)比對(duì)象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、數(shù)學(xué)關(guān)系及解題方法的類(lèi)比，將已知信息和規(guī)律應(yīng)用到未知問(wèn)題中。最后需要將答案代入原問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn)，如果答案與預(yù)期結(jié)果相符，則說(shuō)明類(lèi)比分析正確；如果答案有誤，則需要重新審視類(lèi)比關(guān)系和解題過(guò)程，找出錯(cuò)誤的原因并進(jìn)行修正，從而得到完整的解題過(guò)程。

2.3 函數(shù)方程思想的應(yīng)用

函數(shù)方程思想是將實(shí)際問(wèn)題中的關(guān)系抽象為函數(shù)或方程的形式，揭示出數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律的一種思想，它能夠?qū)⑦\(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程。在利用函數(shù)方程思想解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題時(shí)，首先需要明確問(wèn)題中的變量及變量之間的關(guān)系，變量包括點(diǎn)的坐標(biāo)、線(xiàn)段的長(zhǎng)度、圖形的面積等；變量之間的關(guān)系包括比例關(guān)系、函數(shù)關(guān)系等。其次，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，選擇合適的函數(shù)或方程形式，描述變量之間的關(guān)系。例如，在描述點(diǎn)的移動(dòng)軌跡時(shí)，可以選擇一次函數(shù)或二次函數(shù)；在描述圖形的面積變化時(shí)，需要建立不等式或方程。在確定變量及變量關(guān)系后，根據(jù)已知條件和變量關(guān)系，建立函數(shù)或方程準(zhǔn)確地反映問(wèn)題中的實(shí)際情況。最后，運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、方程求解、不等式分析等方法，求解函數(shù)或方程問(wèn)題，最終找到問(wèn)題的答案。

2.4 轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用

在運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題中，點(diǎn)線(xiàn)面的動(dòng)態(tài)變化使問(wèn)題本身呈現(xiàn)出復(fù)雜性和不確定性。在解決此問(wèn)題時(shí)，可以利用轉(zhuǎn)化思想，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化。在將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化的過(guò)程中，首先需要明確動(dòng)態(tài)問(wèn)題的特征，包括圖形變化方式、變量變化規(guī)律及問(wèn)題的具體要求。其次，選擇特定的狀態(tài)，固定動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的圖形關(guān)系，形成靜態(tài)的幾何圖形。利用已知的靜態(tài)幾何知識(shí)和方法分析靜態(tài)圖形，找出其中的幾何關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。最后，求解模型，得到問(wèn)題的答案。例如，在解決涉及圖形旋轉(zhuǎn)的動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)，可以選擇特定的旋轉(zhuǎn)角，固定旋轉(zhuǎn)后的圖形，再利用靜態(tài)幾何中的角度、邊長(zhǎng)、面積等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型并求解。

2.5 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想強(qiáng)調(diào)將數(shù)學(xué)中的抽象概念、數(shù)量關(guān)系與直觀圖形相結(jié)合，利用更加直觀的圖形輔助理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，其核心在于利用圖形的直觀性和形象性揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，提高學(xué)生的解題效率。例如，對(duì)于點(diǎn)的移動(dòng)問(wèn)題，可以選擇軌跡圖；對(duì)于線(xiàn)段的伸縮問(wèn)題，可以選擇長(zhǎng)度變化圖，以此找到問(wèn)題的關(guān)鍵信息。在觀察和分析圖形結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型，描述問(wèn)題的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，驗(yàn)證結(jié)果的正確性和合理性。在求解過(guò)程中，利用數(shù)形結(jié)合思想可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，提高解題效率。

3 運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題例舉

例1 如圖1，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（-3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C。

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若點(diǎn)D在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且以A，O，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）P是拋物線(xiàn)上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與三角形BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析 對(duì)于問(wèn)題（1），根據(jù)已知條件，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）。將A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）分別代入y=ax2+bx+c，得4a-2b+c=0，9a-3b+c=3，c=0，解得a=1，b=2，c=0。即拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+2x。

對(duì)于問(wèn)題（2），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和拋物線(xiàn)的解析式，可以通過(guò)構(gòu)建關(guān)于點(diǎn)D坐標(biāo)的方程，求解點(diǎn)D的坐標(biāo)。但因題目的已知條件中只說(shuō)明點(diǎn)E在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，并未說(shuō)明點(diǎn)E在x軸上方還是x軸下方，具體位置不確定。因此，在求解此問(wèn)題的過(guò)程中，需要采用分類(lèi)討論思想。

第1種情況：當(dāng)OA為邊時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DE=OA=2，進(jìn)而得出點(diǎn)D在x軸上方。因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的解析式為y=x2+2x，所以?huà)佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，進(jìn)而求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1或-3，將點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，3）或（1，3）。

第2種情況：當(dāng)OA為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可知DE與OA互相平分。因?yàn)锳（-2，0），O（0，0）的中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上，所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為-1。因?yàn)镈E與OA互相平分，點(diǎn)D也在對(duì)稱(chēng)軸上，所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，將其代入拋物線(xiàn)的解析式可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-1，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-1）。

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為（-3，3），（1，3），（-1，-1）。

對(duì)于問(wèn)題（3），判斷是否存在點(diǎn)P，使得△PMA與△BOC相似，兩個(gè)三角形相似需要滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊成比例，因此需要考慮△PMA與△BOC的相似條件。根據(jù)相似三角形的判定，構(gòu)建關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程。因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線(xiàn)y=x2+2x上，可以利用拋物線(xiàn)的解析式進(jìn)一步限制點(diǎn)P的可能位置。又因?yàn)橄嗨迫切蔚膶?duì)應(yīng)點(diǎn)不固定，所以需要分別討論，最終得到點(diǎn)P的可能坐標(biāo)。

根據(jù)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)判斷△BOC的性質(zhì)。根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式易求得C（-1，-1），從而可求得BO2=18，CO2=2，BC2=20，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△BOC為直角三角形。假設(shè)存在點(diǎn)P（x，y），使得△PMA與△BOC相似，易得點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，0）。

第1種情況：當(dāng)△PMA∽△BOC時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系可得32（x2+2x）=2（x+2），解得x1=13，x2=-2（不合題意，舍去），將x=13代入y

=x2+2x，易求得y=79。

第2種情況：當(dāng)△PMA∽△COB時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系可得2（x2+2x）=32（x+2），解得x1=3，x2=-2（不合題意，舍去），將x=3代入y=x2+2x，易求得y=15。

綜上所述，存在點(diǎn)P，使得△PMA與△BOC相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（13，79）或（3，15）。

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)思想在解決運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題的過(guò)程中扮演著至關(guān)重要的角色。教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。未來(lái)，教師應(yīng)當(dāng)更加注重?cái)?shù)學(xué)思想的應(yīng)用，為學(xué)生提供更多元、更高效的解題方法。同時(shí)，學(xué)生應(yīng)該主動(dòng)探索和實(shí)踐，將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，真正做到學(xué)以致用，同步提升綜合素養(yǎng)，為未來(lái)的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

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［責(zé)任編輯：李慧嬌］