基于波利亞解題理論的中考數(shù)學(xué)試題分析

摘 要：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力非常重要。基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握需要在解題過程中實(shí)現(xiàn)。波利亞“怎樣解題表”呈現(xiàn)了一系列對(duì)解題過程極具幫助性的典型思維活動(dòng)，為學(xué)生解題提供了一種行之有效的思維路徑，它也是教師開展解題教學(xué)的有效工具。基于波利亞的解題理論，筆者以2024年福建省中考數(shù)學(xué)第25題為例，通過“弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧”四個(gè)步驟探索解題思路的自然生成過程，以期促進(jìn)教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”，不斷提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分解問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：波利亞解題理論；中考數(shù)學(xué)；解題思路

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2025）14-0059-04

收稿日期：2025-02-15

作者簡介：李見英，研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常遇見學(xué)生陷入以下解題困境：拿到題不知如何入手，或不重視題干條件導(dǎo)致讀完題目毫無思路又不斷重讀，或由于忽視答題目標(biāo)，根據(jù)已知條件寫了一長串的解答過程但不知道哪一步對(duì)解題是有用的，沒有清晰的解題思路，只是憑主觀感覺知道什么就寫什么。波利亞《怎樣解題》一書是數(shù)學(xué)教育和思維訓(xùn)練領(lǐng)域的經(jīng)典著作，深入探討了數(shù)學(xué)解題過程中的思維方法和規(guī)律。筆者以波利亞的解題思想為核心，嘗試運(yùn)用其提出的“怎樣解題表”求解2024年福建省中考數(shù)學(xué)第25題，以此提高學(xué)生的解題能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

1 波利亞“怎樣解題表”

波利亞是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家，他非常重視解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，致力于探索解題過程的一般規(guī)律，創(chuàng)造了“怎樣解題表”，其揭示了解決數(shù)學(xué)問題的思維過程和思維方法，為解決數(shù)學(xué)問題指明了方向，具體內(nèi)容見表1。

2.2 利用“怎樣解題表”求解

2.2.1 弄清題目

波利亞強(qiáng)調(diào)，回答一個(gè)你尚未弄清的問題是愚蠢的[1]。弄清問題是順利解決問題的一個(gè)必要前提。根據(jù)“怎樣解題表”可以提出下列問題。

問題1：你要求解的是什么？求OE：AE的值，證明△AEB∽△BEC，證明AD與EF互相平分。

問題2：已知是什么？∠BAC=90°，AB=AC，AB為直徑，AE⊥OC。

追問1：從已知你能推導(dǎo)出什么？從∠BAC=90°，AB=AC可以推導(dǎo)出△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=∠ABC=45°；從AB為直徑可以推導(dǎo)出∠AFB=∠ADB=90°，因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是90°；從AE⊥OC可以推導(dǎo)出∠AEO=∠AEC=90°，∠AOE與∠EAO互余。

根據(jù)“怎樣解題表”的要求，把推導(dǎo)的結(jié)論逐一標(biāo)注在圖上，并根據(jù)需要引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。

2.2.2 擬定計(jì)劃

擬定計(jì)劃是“怎樣解題表”中引導(dǎo)解題思路的關(guān)鍵部分。教師需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用相關(guān)知識(shí)找到已知量與未知量之間的聯(lián)系。對(duì)于大量的常規(guī)題來說，題意弄清楚了，題型就很容易識(shí)別，記憶中關(guān)于這類題目的解法就“召之即來”。如果找不到直接聯(lián)系，就對(duì)原來的問題做出某些必要的變更或修改，或引進(jìn)輔助問題，為問題解決創(chuàng)造有利條件。

問題3：你是否見過類似的模型或題型？在學(xué)習(xí)過程中遇到過許多與相似三角形有關(guān)的問題，它們與這道題類似。

問題4：你是否能聯(lián)想起有關(guān)的定理和公式？第（1）問和第（2）問屬于相似三角形的常規(guī)題型，可以利用相似三角形的判定定理解決。在判斷相似三角形時(shí)，可利用兩角相等、兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等、三邊對(duì)應(yīng)成比例、平行線分線段成比例等定理。對(duì)于第（3）問，根據(jù)以往數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可以聯(lián)想到平行四邊形對(duì)角線互相平分，可能需要構(gòu)造平行四邊形，用平行四邊形的性質(zhì)定理解決問題。另外，整個(gè)圖是由直角三角形和圓組合而成的，還有可能涉及直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理等。

問題5：題干中已知條件和未知量之間有什么聯(lián)系？

第（1）問：由已知條件∠BAC=90°和AE⊥OC可得△EAO∽△ACO，進(jìn)一步運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可推出OE：AE的值。

第（2）問：由（1）得到的相似比和OA=OB，易得OEOB=OBOC，從而可得△OBE∽△OAB，所以∠OBE=∠OCB。根據(jù)已知條件可得∠ACB=∠ABC=45°，從而可得∠BAE=∠CBE，從而由相似三角形的判定定理易證得△AEB∽△BEC。

第（3）問：連接DF和DE，由圓周角定理可得∠FAD=∠FBD，∠DFB=∠DAB=45°，從而可得AE∥FD。由（2）可得AEBE=ABBC=2OA2BD，從而得到△AEO∽△BED，所以∠BED=∠AEO=90°。由∠AFB=∠BED=90°可得AF∥ED，從而得到四邊形AEDF是平行四邊形，所以AD與EF互相平分。

追問2：如果未找到已知條件和未知量之間直接的聯(lián)系，仔細(xì)觀察圖形，你是否能根據(jù)圖形特征聯(lián)想到某些輔助元素？

根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，點(diǎn)O是圓心，AB是直徑，從而可知點(diǎn)O是△AEB的邊AB的中點(diǎn)，故可考慮利用倍長中線定理構(gòu)造全等三角形解決問題。

通過以上分析，對(duì)于第（1）問，由已知條件可證△EAO∽△ACO，進(jìn)一步推出OEAE=OAAC=12。對(duì)于第（2）問，由△OBE∽△OAB可得到兩角相等，從而使△AEB∽△BEC得證；或如果未找到已知與未知之間直接的聯(lián)系，可通過倍長中線定理構(gòu)造全等三角形，找到兩角相等或兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等得到要證的一組相似三角形。對(duì)于第（3）問，通過AE∥FD，AF∥ED可證明四邊形AEDF是平行四邊形。據(jù)此，可初步擬定如圖2所示的解題方案［2］。

2.2.3 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

此階段比擬定計(jì)劃階段容易得多，只需按前面擬定的解題方案寫出詳細(xì)解題步驟。此處以第（2）問為例，展開論述。

解法1 由（1）可知，△EAO∽△ACO，所以O(shè)EOA=OAOC，因?yàn)镺A=OB，所以O(shè)EOB=OBOC。又因?yàn)椤螮OB

=∠BOC，所以△OBE∽△OCB，所以∠OCB=∠OBE。又因?yàn)椤螦CB=∠ABC=45°，所以∠CBE=∠ACO=∠EAO，所以△AEB∽△BEC。

解法2 如圖3，延長EO，作OM=OE，連接BM。易得△AOE≌△BOM（SAS），所以∠BAE

=∠ABM，AE=BM，∠BMO=∠AEO=90°。因?yàn)镺EAE=12，所以BM=EM，所以∠MEB=∠MBE=∠MBO+∠OBE=45°。又因?yàn)椤螦BC=∠CBE+∠OBE=45°，所以∠CBE=∠MBO=∠EAO。又因?yàn)椤螦CB=∠ABC=45°，由相似三角形的判定定理可得∠EBA=∠ECB，所以△AEB∽△BEC。

2.2.4 回顧

波利亞認(rèn)為，回顧對(duì)學(xué)生的解題是重要而有益的。學(xué)生通過回顧完整的解答過程，重新審視解題步驟，并檢查結(jié)果，不僅能鞏固知識(shí)，還能發(fā)展他們的解題能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展［3］。

問題6：你能用不同的方式推導(dǎo)出結(jié)論嗎？

對(duì)于第（1）問，要求解的比值與直角三角形有關(guān)，除了利用相似三角形的性質(zhì)求解外，還可利用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解答；對(duì)于第（2）問，如果能找到第（1）問與第（2）問之間的聯(lián)系，則可利用相似三角形的性質(zhì)直接求解。若未能找到未知與已知之間的聯(lián)系，則可通過引入輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解答。

問題7：解答本題的關(guān)鍵之處是什么？

對(duì)于第（1）問，關(guān)鍵在于充分利用△OAC與△OEA之間的相似關(guān)系；對(duì)于第（2）問，主要是理清相似比，并運(yùn)用圖中相等線段靈活轉(zhuǎn)換得到新的相似比，或發(fā)現(xiàn)圖形中可作輔助線的特征；對(duì)于第（3）問，關(guān)鍵在于利用相似三角形或圓周角定理找到兩組平行線證得四邊形AEDF是平行四邊形。

問題8：你能否把這結(jié)果或方法用于其他問題？

例2 如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合，DE的延長線交⊙O于點(diǎn)G，DF⊥DG，且交BC于點(diǎn)F。

（1）求證：AE=BF；

（2）連接GB，EF。求證：GB∥EF；

（3）若AE=1，EB=3，求DG的長。

圖4 例2圖

對(duì)于此題，首先梳理題干中的已知量和未知量，思考已知量和未知量之間的聯(lián)系，并在圖上作適當(dāng)?shù)臉?biāo)注。對(duì)于第（1）問和第（2）問，它們屬于常規(guī)題型，可以分別考慮利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)定理證明，從而自然而然地在圖上連接BD，再根據(jù)圓周角定理得出結(jié)論。對(duì)于第（3）問，題目給出的條件稍微隱蔽一些，但在提出問題“是否運(yùn)用了所有條件？”時(shí)，能夠自然而然地聯(lián)想到第（1）問和第（2）問所得的結(jié)論，從而把AE=1=BF轉(zhuǎn)換過來，然后根據(jù)勾股定理可求得EF，進(jìn)一步利用45°可以求得ED，這樣問題就解決了大半。求GE時(shí)，關(guān)鍵在于根據(jù)條件提示利用△GEB與△AED相似解決問題。由此可以看出，在解題過程中，波利亞“怎樣解題表”可以對(duì)解題思路做到引導(dǎo)和提示，有助于提高學(xué)生的解題能力。

3 “怎樣解題表”在解題中的應(yīng)用反思

3.1 在理解題目方面

首先，解題必須先弄清問題的文字?jǐn)⑹觥Ｔ诮忸}教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生理清題意，要求學(xué)生從不同角度敘述問題。而學(xué)生應(yīng)能流利地重述問題，指出問題的主要部分，即條件信息、目標(biāo)信息和運(yùn)算信息等。在提問過程中，教師不要錯(cuò)過這樣的問題：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？

在理解問題的過程中，學(xué)生應(yīng)仔細(xì)從不同方面考慮問題的主要部分，不僅要讀懂題目的文字描述，更要理解其背后的數(shù)學(xué)意義、邏輯關(guān)系和隱含條件，還要對(duì)題干進(jìn)行細(xì)致入微的分析，為后續(xù)的解題過程奠定基礎(chǔ)，切忌不重視題干條件而導(dǎo)致多次重讀，或忽視解答目標(biāo)而長篇大論。在解題過程中，如果問題和某一圖形有關(guān)，則應(yīng)該畫出草圖，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，或充分利用已有的圖象信息，標(biāo)出未知數(shù)和已知數(shù)據(jù)。如果一些對(duì)象需要給出名稱，則應(yīng)引入適當(dāng)?shù)姆?hào)，并在標(biāo)注過程中考慮這些問題：所給條件可以進(jìn)一步推導(dǎo)出什么解題信息，使它更靠近結(jié)果目標(biāo)？給的條件是否充分，足以確定未知數(shù)？從而為問題解決創(chuàng)造條件。

3.2 在梳理解題思路方面

在梳理解題思路的過程中，尋找已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系是關(guān)鍵，這就要求學(xué)生仔細(xì)分析題目給出的每一個(gè)條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)等理解它們之間的邏輯關(guān)系。有時(shí)候，這種聯(lián)系可能不是直接的，而是需要通過一系列步驟或轉(zhuǎn)換才能找到。對(duì)于一些抽象或復(fù)雜的問題，引入圖表或數(shù)學(xué)模型輔助理解，可以幫助學(xué)生更直觀地看到已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系。如果從已知數(shù)出發(fā)難以直接找到未知數(shù)，可嘗試從未知數(shù)出發(fā)，思考需要哪些條件才能求解，這種逆向思維有時(shí)能為學(xué)生提供新的解題思路，有利于提升學(xué)生的解題能力。

3.3 在回顧反思方面

回顧解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信息。除此之外，還要及時(shí)提取記憶中的有關(guān)信息，如相似三角形的性質(zhì)定理和圓周角定理等。總的來說，回顧反思是解題過程中不可或缺的一環(huán)，這有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其在解題思路和方法上的不足與缺陷，

進(jìn)而明確自己今后努力的方向。另外，回顧反思還可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和歸納成功的解題經(jīng)驗(yàn)和方法，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，為未來的解題活動(dòng)提供有益的參考和借鑒。

4 結(jié)束語

筆者借助波利亞解題表的智慧指引，深入剖析了福建省2024年中考數(shù)學(xué)第25題的求解過程，不僅細(xì)致復(fù)原了從問題識(shí)別到策略構(gòu)建，再到方案實(shí)施與回顧檢驗(yàn)的每一步思維軌跡，揭示了解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的內(nèi)在邏輯，且強(qiáng)調(diào)了元認(rèn)知監(jiān)控在解題活動(dòng)中的關(guān)鍵作用，力求為讀者呈現(xiàn)一個(gè)全面而深入的解題框架。回顧整個(gè)研究歷程，可以深刻體會(huì)到波利亞“怎樣解題表”作為一種啟發(fā)式教學(xué)與自我反思工具的價(jià)值，它不僅為學(xué)生解題提供了一種行之有效的思維路徑，提高學(xué)生的解題能力，也為教師的解題教學(xué)指明了方向。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉云章，趙雄輝。數(shù)學(xué)解題思維策略：波利亞著作選講[M]。長沙：湖南教育出版社，1992。

[2] 羅增儒。怎樣解答高考數(shù)學(xué)題（續(xù)1）[J]。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（19）：30-34。

[3] 波利亞。怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M]。涂弘，馮承天，譯。上海：上海科技教育出版社，2011。

［責(zé)任編輯：李慧嬌］