優(yōu)化教學(xué)策略發(fā)展數(shù)學(xué)思維 提升核心素養(yǎng)

[摘" 要] 數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑. 專注于學(xué)生思維能力發(fā)展的教學(xué)策略，不僅能夠增強(qiáng)他們的學(xué)術(shù)能力，還能促進(jìn)其終身可持續(xù)性發(fā)展. 文章從“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，發(fā)展思維”“活動(dòng)探究，提升認(rèn)知”“解法探索，優(yōu)化思維”“掙脫束縛，發(fā)展素養(yǎng)”四個(gè)維度展開(kāi)分析，具體談?wù)勅绾蝺?yōu)化教學(xué)策略，發(fā)展教學(xué)思維，以達(dá)到提升核心素養(yǎng)的目的.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)策略;教學(xué)思維;核心素養(yǎng)

隨著新課改的推進(jìn)，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)成為廣大教育工作者的共識(shí). 究竟什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指具有數(shù)學(xué)特征，促進(jìn)個(gè)體與社會(huì)發(fā)展的品格與能力. 數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是提升核心素養(yǎng)的重要渠道，致力于學(xué)生思維發(fā)展的教學(xué)，可增強(qiáng)學(xué)生學(xué)力，促進(jìn)其終身可持續(xù)性發(fā)展[1]. 為此，筆者基于優(yōu)化教學(xué)策略的視角，對(duì)發(fā)展數(shù)學(xué)思維與培育核心素養(yǎng)談一些拙見(jiàn).

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，發(fā)展思維

問(wèn)題激發(fā)思維，是推動(dòng)學(xué)習(xí)的原動(dòng)力. 在課堂上，教師精心構(gòu)思的每一個(gè)問(wèn)題都能激發(fā)學(xué)生的思考. 在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生能夠親身體驗(yàn)知識(shí)的生成和演進(jìn)過(guò)程，并通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)逐步提高數(shù)學(xué)的概括和抽象能力. 親歷知識(shí)的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，需要教師指導(dǎo)和啟發(fā)，缺乏問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)是效率低下且缺乏意義的. 因此，為了促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)必須精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下不斷拓展思維的深度和廣度.

案例1 “三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”的教學(xué).

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)頗具挑戰(zhàn)性. 如果教學(xué)方法不得當(dāng)，學(xué)生可能會(huì)陷入理解但不會(huì)應(yīng)用的困境. 針對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)，傳統(tǒng)方法通常設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：

問(wèn)題1 通過(guò)回顧三角函數(shù)的定義，分析具有相同終邊的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.

問(wèn)題2 終邊具有特殊關(guān)系的角與其三角函數(shù)值之間存在怎樣的聯(lián)系？

問(wèn)題3 如果兩個(gè)角的終邊關(guān)于坐標(biāo)縱軸對(duì)稱，分析這兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間存在什么聯(lián)系.

問(wèn)題4 若兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分析這兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.

在核心素養(yǎng)的背景下，需要對(duì)上述問(wèn)題做以下改進(jìn)：

問(wèn)題1 380°的正弦值和余弦值是多少？

問(wèn)題2 已知終邊相同的角的三角函數(shù)值相等. 那么，如果兩個(gè)不同角的三角函數(shù)值相等，是否意味著它們的終邊也必然相同呢？是否存在一個(gè)角度，其正弦值與60°相同，但其終邊卻不相同？

問(wèn)題3 思考誘導(dǎo)公式二的形成過(guò)程.

問(wèn)題4 依據(jù)“兩角的終邊關(guān)于坐標(biāo)縱軸（或原點(diǎn)）對(duì)稱”這一條件，我們可以得出什么樣的結(jié)論？

分析 盡管傳統(tǒng)教學(xué)方法能夠?qū)崿F(xiàn)既定的教學(xué)目標(biāo)，但在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的自主思維能力并未得到充分培養(yǎng). 在對(duì)每個(gè)問(wèn)題的探索中，學(xué)生往往依賴于教師的引導(dǎo)——教師為學(xué)生搭建一級(jí)又一級(jí)的臺(tái)階，詳細(xì)指導(dǎo)學(xué)生第一步、第二步、第三步應(yīng)該做什么. 在這種模式下，學(xué)生只能被動(dòng)地跟隨教師的指引，缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的動(dòng)力. 這實(shí)際上是一種“表面講授，缺乏真實(shí)探究”的教學(xué)方式，顯然與以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)的教學(xué)理念不相符.

經(jīng)過(guò)問(wèn)題改進(jìn)，學(xué)生能夠利用他們現(xiàn)有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)分析具體的角的正弦值和余弦值，理解任意角的三角函數(shù)值都可以轉(zhuǎn)換為0～360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)值進(jìn)行研究. 在改進(jìn)后的問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生的思維能實(shí)現(xiàn)從特殊到一般的飛躍，并在積極的探索過(guò)程中，提升他們的數(shù)學(xué)邏輯思維和概括能力.

活動(dòng)探究，提升認(rèn)知

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)闡述數(shù)學(xué)概念、定理、模型等，并能在解決問(wèn)題的過(guò)程中提煉出數(shù)學(xué)思想和通用的解題策略. 因此，探究數(shù)學(xué)概念或模型的共性特征，引導(dǎo)學(xué)生感悟所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)是經(jīng)過(guò)深度抽象化后形成的統(tǒng)一性內(nèi)容，這不僅是提高認(rèn)知水平的關(guān)鍵策略，也是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的途徑之一[2].

盡管初高中階段的數(shù)學(xué)在難度上確實(shí)存在差異，但無(wú)論哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)，無(wú)論其復(fù)雜程度如何，它們的研究路徑或涉及的思想方法都具有高度的一致性. 提煉這些共性特征是促進(jìn)學(xué)生不斷提高概括能力，構(gòu)建知識(shí)框架的重要途徑，有助于學(xué)生探索更廣泛的數(shù)學(xué)知識(shí).

案例2 “數(shù)列概念”的探索教學(xué).

數(shù)列問(wèn)題難度不大，卻很重要. 關(guān)于“數(shù)列概念”的探索，主要從以下幾個(gè)方面著手：①通過(guò)實(shí)例促進(jìn)學(xué)生自主抽象出數(shù)列的定義，使學(xué)生明確數(shù)列是指按照確定的順序排列的一列數(shù). ②數(shù)列的一般形式是a，a，…，a，…，簡(jiǎn)記為{a}. ③在探索數(shù)列中特殊元素及其性質(zhì)時(shí)，需要明確數(shù)列的項(xiàng)是什么——a指首項(xiàng)，a，a，…，a分別為第2，3，…，n項(xiàng)，明確數(shù)列屬于一種特殊函數(shù). ④將數(shù)列根據(jù)項(xiàng)數(shù)分為有窮與無(wú)窮兩類. ⑤數(shù)列的運(yùn)算可以從序號(hào)與項(xiàng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手，揭示通項(xiàng)公式的定義;同時(shí)，也可以通過(guò)分析項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，來(lái)揭示遞推公式的本質(zhì). ⑥探究等差數(shù)列與等比數(shù)列在實(shí)際中的應(yīng)用.

分析 傳統(tǒng)的教學(xué)模式傾向于強(qiáng)調(diào)知識(shí)的陳述性教學(xué)，而較少涉及程序性教學(xué)的應(yīng)用. 這種模式主要關(guān)注學(xué)生在知識(shí)和方法方面的理解與應(yīng)用，卻往往忽視了學(xué)生認(rèn)知策略的發(fā)展. 研究表明，學(xué)生通過(guò)自主從特定情境中提煉概念的學(xué)習(xí)方法，并有效地遷移到其他情境中，便能夠提取更多的概念;一旦掌握了運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題的策略，便能夠?qū)⑦@種思維能力順利地應(yīng)用到類似的問(wèn)題情境中. 因此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考和探索，自主提煉概念和解題策略. 同時(shí)，教師應(yīng)激勵(lì)學(xué)生獨(dú)立構(gòu)建解決問(wèn)題的方法，并通過(guò)資料檢索、小組討論等途徑提高研究效率，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn). 這樣，學(xué)生能夠?qū)?wèn)題的探究方法轉(zhuǎn)化為認(rèn)知過(guò)程中的常規(guī)策略，從而真正促進(jìn)元認(rèn)知能力的提升.

解法探索，優(yōu)化思維

一些教師為了確保教學(xué)任務(wù)的順利完成，往往在課堂上急于推進(jìn)進(jìn)度，將傳授知識(shí)作為教學(xué)的核心目標(biāo). 然而，這種偏重知識(shí)傳授而輕視教學(xué)過(guò)程的做法，由于過(guò)分強(qiáng)調(diào)解題的數(shù)量而忽略了質(zhì)量，可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生進(jìn)行表層學(xué)習(xí). 實(shí)際上，隨著新課程改革的深入實(shí)施，“題海戰(zhàn)術(shù)”的教學(xué)模式已被淘汰. 取而代之的是追求“少而精”的教學(xué)探索，通過(guò)不斷優(yōu)化學(xué)生的思維過(guò)程，以促進(jìn)深層次學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn).

這種轉(zhuǎn)變模式源于當(dāng)前數(shù)學(xué)教育將“立德樹(shù)人”和“核心素養(yǎng)”的發(fā)展置于首位，為學(xué)生提供了充足的時(shí)間和空間. 這不僅為學(xué)生帶來(lái)了更多思考和探索的機(jī)會(huì)，還創(chuàng)造了更多自主表達(dá)的時(shí)刻，有效激發(fā)了學(xué)生的潛能. 學(xué)生在對(duì)問(wèn)題的深入琢磨與探索中揭示了知識(shí)的本質(zhì)，優(yōu)化了解題策略，從而實(shí)現(xiàn)了融會(huì)貫通，達(dá)到了減輕負(fù)擔(dān)、提高效率的教學(xué)效果. 同時(shí)，這也真正體現(xiàn)了“以生為本”和“深度學(xué)習(xí)”的教育理念.

案例3 “圓的一般方程”的推導(dǎo).

在探討“圓的一般方程”的教學(xué)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，新課標(biāo)下的教學(xué)模式能產(chǎn)生截然不同的教學(xué)效果. 如表1所示，從教師的引導(dǎo)活動(dòng)和學(xué)生的參與活動(dòng)兩個(gè)維度，對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)模式與改進(jìn)后的教學(xué)模式進(jìn)行了對(duì)比分析. 通過(guò)這種對(duì)比，可以揭示出提升學(xué)生思維能力的關(guān)鍵路徑.

分析 數(shù)學(xué)被譽(yù)為思維的體操，唯有培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，才能從根本上提升他們的核心素養(yǎng). 雖然降低認(rèn)知難度能夠激發(fā)學(xué)生的探索欲望，并為思維的發(fā)展?fàn)I造有利環(huán)境，但這種降低必須講究策略和方法. 只有在適當(dāng)?shù)臅r(shí)刻采取行動(dòng)，才能實(shí)現(xiàn)事半功倍的效果. 反之，若在不適宜的時(shí)機(jī)降低思維難度，反而會(huì)阻礙學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展.

在改進(jìn)后的教學(xué)模式中，當(dāng)學(xué)生掌握了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師并未直接提供實(shí)例來(lái)幫助學(xué)生理解圓的一般方程是什么，而是通過(guò)啟發(fā)式指導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生自行化簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程，從而獨(dú)立推導(dǎo)出一般方程. 這種教學(xué)模式的成效明顯超出了預(yù)期. 觀察這一教學(xué)環(huán)節(jié)，教師需要對(duì)學(xué)生的真實(shí)思維能力有所把握，并且對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的能力抱有信心. 適度地提高思維挑戰(zhàn)，是促進(jìn)學(xué)生個(gè)人能力提升的關(guān)鍵策略.

引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，以加深對(duì)其特點(diǎn)的理解. 通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)模式，學(xué)生能夠更便捷地探索圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并深入理解圓的幾何性質(zhì). 相比之下，盡管傳統(tǒng)的例題精講方法能夠?qū)崿F(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，但在促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展方面卻略顯不足. 改進(jìn)后的教學(xué)模式不僅加深了學(xué)生對(duì)圓方程的理解，還鼓勵(lì)他們自主比較兩種方程，自行分析“圓的方程是否僅限于這兩種”的問(wèn)題，進(jìn)而聯(lián)系到三角函數(shù)章節(jié)中“單位圓”的應(yīng)用.

這種啟發(fā)式的教學(xué)方法成功激發(fā)了學(xué)生的思維. 隨著教學(xué)的深入，學(xué)生在合作交流中不僅提取出了圓的參數(shù)方程，還深刻體會(huì)到了這類方程的重要性和必要性. 因此，改進(jìn)后的教學(xué)模式不僅加深了學(xué)生對(duì)圓方程的理解，還優(yōu)化了他們的解題思路，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

掙脫束縛，發(fā)展素養(yǎng)

借助課堂為學(xué)生搭建思維的平臺(tái)，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)從多維度去觀察與分析問(wèn)題，可增進(jìn)學(xué)生的思維品質(zhì)，提升理解能力[3]. 相較于傳統(tǒng)教學(xué)模式，改進(jìn)后的教學(xué)模式更能體現(xiàn)出“用教材教”的優(yōu)勢(shì).

案例4 “解三角形”的教學(xué).

在本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，某位教師通過(guò)提出以下問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)他們獨(dú)立運(yùn)用向量方法證明余弦定理.

此問(wèn)題具有極高的針對(duì)性，解決它能夠有效地推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程. 然而，在解決這一問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生的思維發(fā)展受到限制，難以通過(guò)這一過(guò)程促進(jìn)學(xué)業(yè)能力的提升. 若能整合教學(xué)內(nèi)容，并通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題激發(fā)學(xué)生思考，將有助于增強(qiáng)思維的靈活性. 因此，可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題改進(jìn)教學(xué)方法.

問(wèn)題1 關(guān)于三角形，在明確了哪些條件后可獲得其他條件？

這是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，雖然難度適中，但要求學(xué)生具備扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和出色的總結(jié)能力. 針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)合作和交流，認(rèn)為以下幾種情況可以得出與之相關(guān)的條件：①三邊;②兩角與夾邊;③兩邊與夾角;④兩個(gè)角以及其中一個(gè)角的對(duì)邊.

問(wèn)題2 關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的探索，一般遵循從特殊到一般的過(guò)程. 鑒于上述列出的條件，我們應(yīng)如何針對(duì)特殊情況開(kāi)展分析呢？

在探討這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生首先將注意力集中在了直角三角形這一特殊形狀上. 通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作和深入交流，他們逐漸將研究視野擴(kuò)展至所有類型的三角形，并以數(shù)學(xué)的量化方法歸納出他們的研究成果，最終成功推導(dǎo)出正弦定理、余弦定理以及射影定理.

分析 在數(shù)學(xué)史的演進(jìn)中，余弦定理的發(fā)現(xiàn)早于正弦定理. 然而，受到傳統(tǒng)教學(xué)觀念的影響，通常的教學(xué)順序是先研究正弦定理，隨后才探討余弦定理. 調(diào)整教學(xué)順序，使之與知識(shí)發(fā)展的歷史進(jìn)程相吻合，有助于更順暢地促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力的提升. 對(duì)三角形邊長(zhǎng)與角度關(guān)系的深入分析，為自然地引出正弦定理和余弦定理奠定了基礎(chǔ).

綜上所述，在新課程改革的浪潮中，教師必須與時(shí)俱進(jìn)，對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)模式進(jìn)行篩選和改進(jìn). 在“剔除糟粕，保留精華”的原則下，持續(xù)優(yōu)化教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使他們?cè)谏钊雽W(xué)習(xí)的過(guò)程中提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 史寧中，林玉慈，陶劍，等. 關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：史寧中教授訪談之七[J]. 課程·教材·教法. 2017，37（4）：8-14.

[2] 蔡金法，徐斌艷. 也論數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其構(gòu)建[J]. 全球教育展望：2016， 45（11）：3-12.

[3] 楊果. 從“一課三磨”感悟核心素養(yǎng)如何落地：以“圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題”一課為例[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（2）：18-20+3.