聚焦合作學習 發展核心素養

[摘" 要] 合作學習是一種能夠提高學生學習自主性與合作性的積極學習方式，對發展學生的數學學科核心素養具有重要價值與意義. 研究者以“平面與平面垂直的性質定理”教學為例，探討在高中數學教學中如何有效地實施合作學習.

[關鍵詞] 合作學習;核心素養;高中數學

“獨學而無友，則孤陋而寡聞.”這句話詮釋了學習不能靠一個人，而應與他人多交流，以便及時發現自身的不足. 此為建構新知的重要途徑. 古往今來，成就者往往注重與他人的交流與合作. 高中數學本身具有一定的抽象性，學生獨立學習往往難以深入理解其核心本質. 相反，通過合作與交流，學生可以顯著提高課堂學習的效率. 在共同協作的過程中，他們能夠更深入地掌握知識的內涵，并培養數學邏輯推理、抽象概括、直觀想象等關鍵素養. 本文以“平面與平面垂直的性質定理”教學為例，探討在高中數學教學中如何有效地實施合作學習.

教學過程設計

1. 復習導入

師：線面垂直是之前我們已經接觸過的內容，大家還記得線面垂直的性質嗎？當時是怎樣研究的？

生1：垂直于同一個平面的兩條直線必然平行，是線面垂直的性質，其研究過程是在線面垂直的基本條件下探尋命題的過程. 通過線與面新元素的增加，使新添加的線面與已知的線面之間形成一種特殊的位置關系，例如線處于面的內部、外部，線與面垂直或平行，等等. 根據這些特殊的位置關系獲取新的性質定理.

設計意圖 回顧線面垂直性質的研究方法，一方面喚醒學生的認知經驗，為新課授課夯實基礎;另一方面讓學生再次體驗研究一個數學事物性質定理的基本過程，體會由簡單到復雜的探究思路，為應用類比法構建新知奠定基礎.

師：關于面與面垂直的判定定理我們已經有所了解，那么在面與面垂直的背景下，有哪些性質值得研究呢？

設計意圖 以學生已有的認知經驗作為教學起點，可激活學生的思維，讓學生對新知的探索萌生信心. 學生在之前的學習中，已經培養出了一定的探索定理的能力. 教師鼓勵學生思考與面面垂直相關的定理，以此激發學生積極討論，為學生的思維指明了清晰的方向.

2. 新知建構

用多媒體展示一系列與演出相關的圖片，包括舞臺、演員、燈光、熒幕等，讓學生以小組為單位，自主觀察這些圖片，從數學的角度分享自己的發現，并在小組內進行交流.

組1：舞臺上投射的燈光來自多個方向，以地面作為參照，有豎直的、傾斜的、水平的光線. 舞臺背景面與地面呈現出了垂直的關系. 我們組將地面與舞臺背景面理解為互為垂直的兩個平面，那么光線就是舞臺背景面內的各條直線.

師：描述得非常清晰，如何用數學符號語言來表達這個現實現象呢？

生1：該現象可抽象為：若平面α，β互相垂直，平面β內的直線b與平面α之間存在怎樣的位置關系？

師：表達得不錯. 關于這個問題，該怎么思考？

師：非常好！各種不同的情況都考慮到了. 通過分析不同關系，并類比之前的學習，我們可初步形成什么猜想？

生3：如圖4所示，假設兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直.

設計意圖 豐富的舞臺照片激發了學生對平面與直線位置關系的探索欲，隨著數學現象的猜想，學生親身體驗了數學抽象的過程，并在合作與交流中逐步提高了自身的抽象思維能力，為培養數學直觀與想象的素養打下了堅實的基礎.

師：現在，請大家將你們的猜想用數學符號語言表達出來，并嘗試證明.

設計意圖 以猜想作為思維的源頭，鼓勵學生用數學符號來描述猜想，可為面面垂直的性質定理夯實基礎. 合作交流的模式讓學生進一步明晰證明推導過程，這對發展抽象能力具有重要意義.

師：這一組學生探索出光線和地面之間所呈現的位置關系，這種由生活實際出發，抽象數學現象的過程就是數學知識的形成過程，此為面面垂直的性質定理. 接下來，請大家分別用不同的語言表征這個定理.

設計意圖 要求學生用數學文字、圖形和符號語言來具體描述平面與平面垂直的性質定理不僅能夠進一步完善學生的認知結構，還能加深他們的理解，為培養良好的數學表達能力打下堅實的基礎.

師：其他小組說一說你們對圖片的觀察和發現.

組2：如果圖中舞臺背景面發出的光線與地面呈垂直關系，那么這些光線是否一定位于背景面內？

師：哪位同學能將這個問題描述得更詳細一些？

生5：過一個平面內的一點作另一個平面的垂線，那么該垂線是不是一定在第一個平面內？即在平面α⊥平面β的條件下，過平面α內的點P作平面β的垂線a，則直線a一定在平面α內嗎？

學生通過合作交流，在圖5和圖6的輔助下，初步形成了猜想：直線a一定在平面α內.

師：請詳細描述猜想的證明過程.

設計意圖 基于組1的討論過程，這組學生提出的猜想迅速得到了同學們的認同. 在類比思想和數形結合思想的輔助下，學生用規范的數學符號語言對問題的條件和結論進行了表述. 通過數學文字、圖形與符號語言之間的靈活轉換，他們進一步鞏固了認知，并提升了數學邏輯思維能力.

師：過一點存在幾條直線與已知平面垂直？

生（眾）：一條.

師：接下來，請大家依然以小組合作的模式證明“直線a一定在平面α內”.

生6：如圖7所示，若α∩β=c，在平面α內過點P作直線b與直線c垂直. 因為α⊥β，α∩β=c，b?α，所以b⊥β. 因為過一點有且只有一條直線與平面β垂直，所以直線a與直線b必然重合，因此直線a一定在平面α內.

師：觀察得非常細致，我們在進行證明時，必須確保邏輯清晰，并且嚴格遵守規范.

設計意圖 學生的解題過程揭示了他們的思維軌跡，條件的遺漏與補充提醒學生：數學是一門嚴謹的學科，必須時刻保持邏輯嚴密和規范的書寫. 只有當條件與結論之間的聯系被清晰地界定，證明過程才具有說服力. 這樣的教學設計對于培養學生的數學邏輯推理能力和嚴謹的數學態度具有深遠的意義.

組3：我們組認為，舞臺上的燈光從不同的位置射出來，除了與地面存在特殊的位置關系外，它們與舞臺背景面是否也存在某種特殊的位置關系呢？將其抽象為數學問題：已知兩個平面互相垂直，若存在一條不在這兩個平面內的直線與其中一個平面垂直或平行，能否得出新的結論？

生9：猜想②并不準確，若旋轉直線a，則直線a與平面α的位置關系就不確定了.

師：這是個重要發現.

設計意圖 通過逐步深入的探究，學生得以形成新的猜想，并且能夠及時識別思維中的偏差，這進一步加強了他們認知的嚴謹性. 隨著思維的交鋒，“平面與平面垂直的性質定理”自然而然地顯現出來.

3. 實際應用

例題 如圖11所示，已知PA與平面ABC垂直，平面BCP與平面ABP垂直. 證明：BC與平面ABP垂直.

設計意圖 本例展示了關鍵的“轉化法”原理，在運用面面垂直性質定理時，必須從一個平面內找到與另一平面交線的垂線，并進行線面垂直、線線垂直、面面垂直的轉化，這是研究線面位置關系的基礎.

4. 總結提煉

要求學生利用思維導圖歸納和總結本節課所學的知識點、思想方法以及研究流程.

教學思考

1. 合作學習需明確教學目標

隨著新課程改革的深入實施，培養核心素養已經成為教學的核心目標. 合作學習為主導的課堂，除了關注課堂知識與技能目標的達成情況之外，還要注重能力素養的發展情況[1]. 本節課旨在傳授平面與平面垂直的性質定理;培養學生的轉化思想、分類思想、數形結合思想等;并提升學生的數學邏輯推理、直觀想象、抽象概括等素養. 整個教學過程應緊密圍繞這些目標進行，將思想方法巧妙地融入知識與技能的教學之中，以促進學生數學學科核心素養的有效形成與發展.

2. 合作學習需提供充足空間

合作學習的理論源于動機、人本主義以及建構主義等理論，是一種基于“生本”理念將學生已有的認知經驗作為教學起點，關注學生學習體驗的一種教學模式. 合作學習切忌教師或學生單方面地表達自己的觀點，而應在師生、生生積極互動與深刻交流的基礎上形成猜想與驗證. 這要求教師為學生提供充足的思考與交流機會，讓學生在良好的氛圍中積極表達自己的想法，闡述觀點，提升合作質量. 在本節課中，教師利用舞臺照片有效地激發了學生的交流欲望，引導他們從圖片中提取信息，并通過合作交流的方式，將生活現象轉化為數學問題進行深入探究. 這一過程不僅成功培養了學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，也證明了為學生提供充分的探索空間是提高合作學習效率的關鍵.

3. 合作學習需關注評價方式

合作學習的評價應當依據教學目標和組內成員的具體情況，從多個維度對學生的課堂參與度、語言表達能力、思維敏捷性等方面進行綜合考量. 值得注意的是，評價應當貫穿于小組合作學習的全過程，而不是在合作結束后進行籠統的評價. 例如，教師的點評、學生的互評和自評等，都能激發學生學習的積極性. 在本節課中，整個教學活動圍繞一個舞臺情境展開，學生在自主合作與交流的過程中，不僅抽象出問題并提出相應的猜想與驗證，還對同伴的表現進行了評價. 在學生表達的過程中，教師也及時給予肯定與鼓勵. 通過多維度的評價，學生對自己的認知形成了更加客觀和深刻的認識.

總之，合作是一種品質，也是一種能力，需要教師耐心培養和長期訓練[2]. 教師應當密切關注學生在課堂上的合作學習狀況，并在確立明確目標的前提下，積極地參與合作與交流，以促進學生核心素養的提升.

參考文獻：

[1] 王娜. 發現學習 自主建構 提升素養：以“平面與平面垂直的性質定理”為例[J]. 中學數學月刊，2021（12）：34-37.

[2] 吳得順. 淺談初中數學合作學習的實施策略[J]. 學周刊，2023（1）：46-48.