核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的微專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐

[摘" 要] 從“微專(zhuān)題教學(xué)”與“核心素養(yǎng)”兩個(gè)核心概念出發(fā)，以與圓錐曲線相關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)為例，借助經(jīng)典例題的解析，逐步完善學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的自主分析與探索，逐步夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，形成良好的遷移能力. 通過(guò)問(wèn)題的拓展與延伸，催生學(xué)生的邏輯推理、抽象概括等能力，為發(fā)展核心素養(yǎng)創(chuàng)造有利條件.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);微專(zhuān)題;圓錐曲線;定點(diǎn)問(wèn)題

微專(zhuān)題教學(xué)憑借“微”與“專(zhuān)”的特點(diǎn)，為復(fù)習(xí)教學(xué)開(kāi)辟了一條新的道路. 高三復(fù)習(xí)“時(shí)間緊、任務(wù)重”，微專(zhuān)題以特定主題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷問(wèn)題的探索與思考過(guò)程，不僅能夠有效地融入數(shù)學(xué)思想方法，還能促進(jìn)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的發(fā)展. 在新課改的背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，而微專(zhuān)題教學(xué)正是推動(dòng)這一目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的重要手段.

核心概念界定

1. 微專(zhuān)題教學(xué)

微專(zhuān)題教學(xué)以某一類(lèi)思想方法或知識(shí)點(diǎn)為教學(xué)主題，從小切口的問(wèn)題出發(fā)，設(shè)計(jì)具有高度針對(duì)性的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生通過(guò)自主探索獲得解決問(wèn)題的能力，夯實(shí)“四基”與“四能”，從而推動(dòng)核心素養(yǎng)的提升. 一般情況下，微專(zhuān)題教學(xué)由“準(zhǔn)備”“實(shí)施”與“反思”三個(gè)階段構(gòu)成. 在準(zhǔn)備階段，主要分析學(xué)情與研讀教材，根據(jù)實(shí)際需要確定教學(xué)主題，設(shè)定教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，明確課堂需要“教什么”“怎么教”“達(dá)到怎樣的目的”等，為接下來(lái)的實(shí)施階段明確方向. 實(shí)施階段則涉及任務(wù)探索、例題研究和變式拓展等多個(gè)維度的深入探討. 而反思階段，則通過(guò)多樣化的評(píng)價(jià)方法對(duì)整個(gè)教學(xué)過(guò)程進(jìn)行回顧，及時(shí)識(shí)別并彌補(bǔ)存在的不足.

2. 核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確提出：核心素養(yǎng)是課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是指具備數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得的能力與素養(yǎng). 會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵的具體化[1]. 由此可見(jiàn)，核心素養(yǎng)的發(fā)展無(wú)法一蹴而就，唯有長(zhǎng)期滲透與堅(jiān)持，方能在根本上實(shí)現(xiàn)“立德樹(shù)人”的目標(biāo).

教學(xué)分析

定點(diǎn)問(wèn)題一直是高考中的一個(gè)難題，許多學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題感到由衷的畏懼. 本節(jié)課探討的主題是“與圓錐曲線相關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題”. 學(xué)生具備一定的知識(shí)基礎(chǔ)，擁有較好的數(shù)學(xué)思維能力. 整合學(xué)情與教情，設(shè)定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：①?gòu)亩鄠€(gè)角度探索與感知定點(diǎn)問(wèn)題，提煉出一般性的解題方法;②推廣問(wèn)題，提煉出從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想方法;③通過(guò)類(lèi)比橢圓、拋物線、雙曲線等相關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)解題能力的融會(huì)貫通.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 問(wèn)題引發(fā)探索

問(wèn)題1 思考直線y=kx+3與直線y=k（x-3）是否過(guò)定點(diǎn).

生1：直線y=kx+3過(guò)定點(diǎn)（0，3），直線y=k（x-3）過(guò)定點(diǎn)（3，0）.

問(wèn)題2 已知點(diǎn)B（0，-1），直線l與拋物線C：x2=4y相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，在∠OBP=∠OBQ的條件下，求證：直線QP過(guò)定點(diǎn).

師：想要證明直線QP恒過(guò)某個(gè)定點(diǎn)，首先需要干什么？

生2：首先求出直線QP的方程.

師：不錯(cuò)，根據(jù)你們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，大家認(rèn)為，如何利用參數(shù)來(lái)描述直線QP的方程比較合理？關(guān)于其定點(diǎn)的位置，可否猜想出來(lái)？

生3：從圖形的對(duì)稱性的角度來(lái)看，該定點(diǎn)必然處于y軸上. 設(shè)y=kx+b為直線QP的方程，則僅需證明b是一個(gè)常數(shù)，就能將∠OBP=∠OBQ轉(zhuǎn)化為斜率進(jìn)行分析.

師：思路不錯(cuò)，請(qǐng)大家將解題過(guò)程寫(xiě)在草稿紙上.

（教師巡視，挑選典型解法進(jìn)行投影并組織交流.）

師：此為運(yùn)用動(dòng)直線方程設(shè)題法解題，轉(zhuǎn)動(dòng)直線QP的本質(zhì)即在于改變其斜率. 從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換，揭示了關(guān)于斜率變化的恒等式，通過(guò)獲得b值，逐步推導(dǎo)出定點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q，P的坐標(biāo)，同樣可以獲得直線QP的方程. 關(guān)于這一思路，請(qǐng)大家參考這位同學(xué)的解題過(guò)程（展示解法2）.

師：這是應(yīng)用雙參數(shù)法解決問(wèn)題，即在獲得x和x的關(guān)系式的情況下解決問(wèn)題. 這種方法亦稱為“動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)題法”，它從動(dòng)直線與x，x的關(guān)系入手，推導(dǎo)出相應(yīng)的參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而確定定點(diǎn)的位置. 關(guān)于定點(diǎn)的位置，大家還有其他方法來(lái)確定嗎？

生4：有，當(dāng)PB，QB與拋物線處于相切的位置關(guān)系時(shí)，QP與y軸相交的點(diǎn)即定點(diǎn).

師：這是猜想的結(jié)論，該如何驗(yàn)證呢？

生4：通過(guò)求導(dǎo)來(lái)確定切線和切點(diǎn)，然后進(jìn)行驗(yàn)證. 具體步驟如下（解法3）：

師：不錯(cuò)！解法1和解法2運(yùn)用了直接推導(dǎo)法，而解法3則采用了猜想與驗(yàn)證的策略，首先從特殊情況中確定定點(diǎn)，隨后進(jìn)行驗(yàn)證. 關(guān)于問(wèn)題2，它可否推廣呢？

學(xué)生在合作交流中達(dá)成共識(shí)，認(rèn)為問(wèn)題2具有推廣意義，并作出以下總結(jié)：已知點(diǎn)A，B是拋物線C：x2=2py（pgt;0）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E（0，-m）（mgt;0），如果y軸是∠AEB的平分線，那么直線AB恒過(guò)點(diǎn)（0，m）. 反之亦成立.

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題1旨在引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā)，即從直線方程的角度分析定點(diǎn)問(wèn)題;問(wèn)題2則是一道經(jīng)典題目，旨在培養(yǎng)學(xué)生從多個(gè)角度思考和分析問(wèn)題的能力，構(gòu)建不同的解題策略，逐步揭示解決此類(lèi)問(wèn)題的核心，為提煉出一般性的解題策略打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 深入類(lèi)比分析

（1）若k=0，與曲線C分別在點(diǎn)M，N處相切的方程是什么？

（2）坐標(biāo)系內(nèi)的y軸上是否存在點(diǎn)P，使得k在變化時(shí)，恒有∠MPO=∠NPO？為什么？

師：這道題與上一道題之間存在什么共同點(diǎn)嗎？

生5：兩道題的背景和解題方法高度相似.

設(shè)計(jì)意圖 此為一道高考真題，利用這道題可以深化學(xué)生對(duì)問(wèn)題2的理解，其中的異同點(diǎn)可激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí)，靈活學(xué)生的思維，達(dá)到微專(zhuān)題教學(xué)應(yīng)有的深度.

設(shè)計(jì)意圖 本問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生將拋物線問(wèn)題類(lèi)比至橢圓，一方面擴(kuò)展學(xué)生對(duì)定點(diǎn)問(wèn)題的理解，另一方面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)類(lèi)比能力，為構(gòu)建扎實(shí)的解題和思考技巧打下基礎(chǔ).

師：關(guān)于問(wèn)題4，該怎樣設(shè)立直線AB的方程？

師：求解過(guò)程很完整，本題可不可以運(yùn)用坐標(biāo)法解決？

生7：不能，因?yàn)闄E圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)難以互相表達(dá).

師：這個(gè)問(wèn)題是否具有推廣性呢？大家在課后自主求證以下命題，下節(jié)課我們一起交流：已知點(diǎn)F（-c，

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題的逐步拓展與延伸，意在進(jìn)一步鞏固學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，并豐富他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使他們能夠自主實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移. 這正是微專(zhuān)題教學(xué)的核心所在，也是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.

3. 方法的總結(jié)提煉

要求學(xué)生圍繞本節(jié)課所探討的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，闡述解決與圓錐曲線相關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意什么. 針對(duì)問(wèn)題2的三種不同的解題方法進(jìn)行回顧和總結(jié)，并分析每種方法在何種情境下最為適用. 同時(shí)，為學(xué)生設(shè)計(jì)以下問(wèn)題，供課后深入分析：

（1）動(dòng)圓M的圓心E的軌跡方程是什么？

（2）與x軸為非垂直關(guān)系的直線l與E的軌跡相交于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N（4，0），且點(diǎn)Q，P，N不在一條線上，∠PNO=∠QNO，求證：動(dòng)直線QP恒過(guò)定點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 課堂教學(xué)內(nèi)容的總結(jié)、梳理與延伸，可幫助學(xué)生建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，讓學(xué)生對(duì)此類(lèi)定點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生深刻的理解，從而做到解題方法舉一反三，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的全面提升.

思考與感悟

1. 微專(zhuān)題教學(xué)似“微”實(shí)“廣”

數(shù)學(xué)家波利亞提出：“教會(huì)年輕人思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo). ”微專(zhuān)題教學(xué)是一種圍繞學(xué)生思維“最近發(fā)展區(qū)”，從“就題論題”逐漸拓展到“以題論法”再延伸到“以題論道”的教學(xué)模式[2]. 因此，微專(zhuān)題教學(xué)雖然“切入口小”，卻是打通學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與解題能力聯(lián)結(jié)通道的重要措施，對(duì)發(fā)展學(xué)力具有舉足輕重的作用.

2. 微專(zhuān)題更適用于復(fù)習(xí)教學(xué)

在高三的復(fù)習(xí)階段，學(xué)生需要吸收的知識(shí)量極為龐大. 為了讓學(xué)生在海量的問(wèn)題中實(shí)現(xiàn)學(xué)力的提升，最有效的策略是挑選經(jīng)典例題和核心問(wèn)題進(jìn)行深入研究. 通過(guò)深入分析一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生能夠獲得解決一類(lèi)問(wèn)題的能力，從而在根本上克服思維障礙，確保在復(fù)習(xí)過(guò)程中取得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步. 在本節(jié)課中，教師針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，精心挑選了經(jīng)典問(wèn)題作為教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生由表及里地探究與圓錐曲線相關(guān)的定點(diǎn)問(wèn)題，有效地幫助學(xué)生克服了認(rèn)知障礙，并培養(yǎng)了良好的解題能力.

3. 微專(zhuān)題教學(xué)可促進(jìn)素養(yǎng)的發(fā)展

微專(zhuān)題教學(xué)不僅能夠逐步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使他們對(duì)某一類(lèi)問(wèn)題不僅知其然，更知其所以然，還能逐步提升學(xué)生的思維能力，優(yōu)化他們的思維品質(zhì). 通過(guò)深入探索問(wèn)題，學(xué)生能夠逐步培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、抽象概括等核心素養(yǎng)，這些都是發(fā)展的基石.

總之，將微專(zhuān)題教學(xué)融入復(fù)習(xí)教學(xué)，是一個(gè)值得深入探索與研究的課題. 作為一線的數(shù)學(xué)教師，關(guān)注學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)貼合學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)活動(dòng)，往往能取得事半功倍的教學(xué)效果.

參考文獻(xiàn)：

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