聚焦單元主題 關注學習能力

［摘" 要］ 新課標下的數學教學，強調既要重視“教”，更要重視“學”，促進學生學會學習.在“函數零點存在定理”的教學中，聚焦單元主題，引領學生宏觀認識學習內容，主動關注知識應用；把握教學邏輯，引導學生經歷命題形成過程，掌握命題學習方法；融入信息技術，促進學生直觀理解知識內涵，增強技術使用意識.

［關鍵詞］ 數學教學；函數應用；函數零點；學會學習

基本情況

1. 內容分析

函數零點存在定理是人教A版（2019）教材第三章“函數的應用（二）”的核心內容，從數學學科內部的應用視角出發，利用函數來研究一般方程的解. 它既是對函數零點概念及其等價關系、函數性質、基本初等函數的鞏固，也是對解方程問題的深化.同時，本節內容的學習為后續利用二分法研究方程的近似解奠定了基礎.探索函數零點存在定理的過程，本質是用函數的觀點看方程，用動態的眼光分析靜態的結果，蘊含函數與方程、從特殊到一般、數形結合、化歸與轉化等數學思想，涉及觀察、分析、類比、抽象、歸納等思維策略，是發展學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養的良好素材.

2. 學情分析

在本節課之前，學生已經認識了函數零點的概念，對基本初等函數的性質和圖象有了較為系統的學習，具有利用函數圖象解決問題的經歷，這為函數零點存在定理的探索提供了知識和經驗基礎. 盡管高一學生正處于認知發展的形式運算階段，能夠運用命題形式進行思考，并具備一定的演繹推理能力，但他們的抽象邏輯思維尚未完全成熟. 因此，他們對學習函數零點存在定理的必要性的理解不夠深刻，對于如何提煉出函數零點所必需的特性也存在困難. 同時，處于這一階段的學生往往缺乏逆向思維和主動反思總結的能力，他們用數學語言表達問題的意識和能力也有待提升，通常無法充分概括事物的特征. 此外，在理解和表達命題條件與結論之間的邏輯關系上，他們也顯得不夠靈活.

3. 教學目標

（1）深入理解函數零點、方程解、函數圖象與x軸交點橫坐標之間的等價轉換關系，掌握函數零點存在定理及其推導過程.

（2）在探索函數零點存在定理的過程中，學會用函數觀點認識方程，能應用函數的圖象及性質解決問題；感悟函數與方程、從特殊到一般、數形結合、化歸與轉化等數學思想，增強觀察、分析、類比、抽象、歸納等數學能力.？搖？搖

（3）體驗數學探究的樂趣，增強自主學習的意識和能力；學會用辯證統一的觀點看待問題，形成嚴謹治學的科學態度和理性精神.

4. 教學重點和難點

重點：理解函數零點與方程解之間的關系；對函數零點存在定理的應用.

難點：探索函數零點存在定理；理解定理條件是充分非必要條件.

教學過程

1. 復習回顧，提出問題

復習回顧：在二次函數零點的基礎上，我們認識了一般函數的零點. 請回顧函數零點的概念.

學生活動：理解函數的零點就是對應方程的解，是函數圖象與x軸交點的橫坐標.

問題1 學習了函數零點，你覺得可以解決哪些問題呢？

教師活動：函數零點可以明確地應用于解方程問題. 具體來說，對于一些簡單的方程，能夠直接使用求根公式來求解. 然而，對于高次方程或初等超越方程，由于無法使用求根公式，因此將方程的解轉化為函數的零點. 此外，教師介紹挪威數學家阿貝爾的成就，他成功證明了“高于四次的一般代數方程沒有一般形式的代數解”，從而引導學生理解從函數角度研究方程解的重要性.

問題2 將解方程的問題轉化為求函數零點的問題，那么如何求解函數的零點呢？以高次方程x5－3x+1=0為例，說說你的想法.

學生活動：大部分學生想利用函數的圖象找出其零點，但發現“取值、描點、連線”的過程煩瑣，且無法找出函數圖象與x軸交點橫坐標的精確值.

教師活動：引導學生應用函數性質繪制圖象，簡化取值、描點的過程.例如f（x）=x5－3x+1的圖象可以看作由奇函數g（x）=x5－3x的圖象向上平移1個單位得到的. 通過幾何畫板演示圖象的平移過程，作出f（x）=x⁵－3x+1的圖象（見圖1），引導學生發現函數零點（方程解）的范圍為x₁∈［－2，－1］，x₂∈［0，1］，x₃∈［1，2］. 通過數形結合，讓學生體會到解高次方程的一般思路為：將解方程的問題轉化為求函數零點的問題→利用函數的圖象和性質確定零點的范圍→縮小零點的范圍→獲得方程的近似解，并明確求解問題的關鍵是“確定零點的范圍”. 基于這樣的體驗，自然而然地引出問題3.

問題3 求函數的零點需要滿足什么條件？

設計說明 通過復習回顧，幫助學生進一步理解函數零點與方程解之間的關系，認識函數的應用價值. 通過解高次方程激發學習動機，引出探索問題，明確學習方向，并為后續學習二分法求方程的近似解做鋪墊.

2. 特例分析，探索問題

問題4 以二次函數f（x）=x2－2x－3為例，作出其圖象，觀察零點所在區間的函數圖象有何特征.

師生活動：學生指出該二次函數存在兩個零點，分別在區間［－2，0］和［2，4］上（如圖2所示）；發現對應區間的函數圖象與x軸相交，函數圖象被x軸分割成上、下兩部分，函數圖象連續不斷，等等. 教師引導學生用動態的眼光觀察圖象，強調函數圖象連續不斷，圖象與x軸相交可以形象地描述為“‘穿過’x軸”.

追問1 以區間［－2，0］上的圖象為例，如何從數的角度刻畫“函數圖象‘穿過’x軸”？

學生活動：利用函數f（x）的取值規律來分析，即x軸下方的圖象所對應的函數值均小于0，上方的圖象所對應的函數值均大于0.

追問2 如何將x軸上方和下方的圖象所對應的函數值關聯起來？

學生活動：觀察區間端點的函數值，發現函數在端點x=-2和x=0的取值異號，即f（－2）f（0）lt;0.

追問3 函數在區間［2，4］上“穿過”x軸，又如何表達？

學生活動：類比分析，得出f（2）·f（4）lt;0.

問題5 請再畫幾個函數的圖象，并指出其零點所在的區間，利用函數的取值規律刻畫函數零點所在區間的圖象特征.

學生活動：結合已學的函數知識，畫出了幾個函數的圖象（如圖3所示），類比二次函數的探究，得出零點所在區間［a，b］的端點函數值的關系：f（a）f（b）lt;0.

設計說明 基于學生的最近發展區，運用從特殊到一般的數學思想，“退”回到學生熟悉的二次函數來研究函數零點存在定理，引導學生掌握自主學習的技巧. 同時，通過數形結合，可以有效降低學生發現結論的難度. 鼓勵學生繪制各種類型的函數圖象，通過豐富的實例引導他們歸納共性，經歷合理的推理過程，從而增強他們提出問題和解決問題的實踐體驗.

3. 變式研究，形成定理

問題6 如果函數y=f（x）滿足條件f（a）f（b）lt;0，那么它在區間［a，b］上一定有零點嗎？

學生活動：經過思考后指出，還需要滿足圖象在區間［a，b］上連續不斷. 如圖4所示，分段函數滿足f（a）·f（b）lt;0，但它在區間［a，b］不存在零點.

問題7 如果函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖象是一條連續不斷的曲線，且滿足條件f（a）f（b）lt;0，那么它在區間［a，b］上是否有且只有一個零點？

學生活動：根據指示繪制圖象，發現零點并非只有一個，可能是兩個、三個，甚至無限多個. 然而，可以肯定的是：至少存在一個零點.

問題8 根據以上討論，說說函數y=f（x）在區間［a，b］上滿足什么條件時必定存在零點.

師生活動：歸納函數零點存在定理. 如果函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖象是一條連續不斷的曲線，且f（a）f（b）lt;0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的解.

問題9 如果函數y=f（x）滿足f（a）·f（b）gt;0，那么它在區間［a，b］上是否一定沒有零點？

學生活動：根據指示繪制圖象，發現當區間端點的函數值f（a），f（b）同號，函數在［a，b］上可能存在零點，也可能不存在零點.例如，圖2中的f（－2）f（4）gt;0，函數在［－2，4］上存在兩個零點；f（1）f（2）gt;0，函數在［1，2］上沒有零點.

教師活動：引導學生總結函數零點存在定理的逆命題不一定成立，即函數零點存在定理的條件是結論的充分不必要條件. 幫助學生探討變式命題的條件和結論，研究原命題的逆命題、否命題等也是重要的教學思路.

設計說明 通過問題鏈激發學生的深度思考，引導他們經歷函數零點存在定理的生成過程，理解條件與結論之間的內在邏輯聯系，掌握數學命題的學習與研究方法，從而增強數學學習能力，提升數學思維品質，并培養敢于質疑的批判精神.

4. 知識應用，強化理解

例1 對于高次方程x5－3x+1=0：

（1）證明該方程在區間［－2，－1］，［0，1］，［1，2］上均存在實數解.

（2）該方程在區間（2，+∞）上是否存在實數解？為什么？

例2 求方程lnx+2x－6=0的實數解的個數．

設計說明 例1與引入環節的問題2相呼應，解答學生在課前的疑惑. 其中，第（1）問直接運用函數零點存在定理即可驗證方程解的存在性，再次讓學生深刻體會從函數角度研究方程解的必要性和重要性. 第（2）問則需要結合冪函數和一次函數的性質，判斷出函數f（x）=x5－3x+1在（2，+∞）上的圖象連續且函數值均大于0，因此圖象不會“穿過”x軸，函數不存在零點，即方程x5－3x+1=0在區間（2，+∞）上無實數解. 這可以檢驗學生對函數零點存在定理條件和結論關系的深入理解，并考查他們的直觀想象和邏輯推理素養.

解析例2應把握以下幾點：一是分析出函數f（x）=lnx+2x－6在定義域（0，+∞）上單調遞增，直觀想象函數最多有一個零點. 二是結合對數性質探索零點所在區間端點的函數值，例如優先計算f（1），f（e），f（3）等，體驗應用函數性質在確定區間上的高效性. 三是基于圖象思考函數在某一區間內的嚴格單調性對其零點個數的影響，引出零點存在唯一性定理. 四是從函數圖象交點視角探索方程解的個數，例如將方程lnx+2x－6=0轉化為lnx=6－2x，構造函數g（x）=lnx和h（x）=6－2x，兩圖象交點的個數即方程lnx+2x－6=0的解的個數. 以此拓寬解題路徑，訓練思維的靈活性和深刻性.

5. 知識拓展，反思總結

定理拓展（閉區間上連續函數的介值定理）：若函數f（x）在閉區間［a，b］上連續，且f（a）≠f（b），η為介于f（a），f（b）之間的任意一個數，即f（a）lt;ηlt;f（b）或f（b）lt;ηlt;f（a），則至少存在一個實數ξ∈（a，b），使得f（ξ）=η.

師生活動：教師借助函數圖象（如圖5），利用幾何直觀引導學生理解介值定理，體會函數f（x）的圖象從點（a，f（a））畫到點（b，f（b）），一定會“穿過”直線y=η，即至少會與直線y=η相交一次. 特別地，當f（a），f（b）異號，取η=0時，介值定理特殊化為函數零點存在定理，即函數零點存在定理是介值定理的推論.

問題10 在介值定理中，如果有且只有一個實數ξ∈（a，b），使得f（ξ）=η，則函數f（x）還應滿足什么條件？

學生活動：基于例2的解答經驗，結合函數圖象，明確函數f（x）在區間［a，b］上單調遞增或單調遞減.

問題11 應用介值定理，從圖象交點的角度再認識方程lnx+2x－6=0有唯一的實數解.

師生活動：教師引導學生根據介值定理的條件和結論，將方程lnx+2x－6=0變形為lnx+2x=6，把問題轉化為曲線p（x）=lnx+2x與直線y=6的交點個數問題.結合函數y=lnx，y=2x的性質，不難得到p（x）為增函數且值域為R. 借助介值定理可知，存在唯一實數ξ，使得p（ξ）=6，即p（ξ）－6=0，故方程lnx+2x－6=0有唯一的實數解.

問題12 結合例1或例2，總結求方程f（x）=0的解的一般方法.

師生活動：教師引導學生總結出圖6所示的解答思路和方法.

問題13 確定了函數零點的范圍，如何縮小區間范圍，求出滿足一定精確度的近似解呢？請在課后結合例1和例2繼續探究.

設計說明 補充介值定理，一方面拓寬學生的知識視野，擴充命題體系，打通知識間的聯系，深化學生對函數零點存在定理的理解；另一方面鼓勵學生將理論應用于實踐，通過介值定理反思從圖象交點視角求方程解的個數的實質，從而增強學生的應用能力和創新意識. 同時，引導學生反思和總結，鞏固新學內容，進一步理解函數與方程之間的緊密聯系，學會從多個角度和多種方法解決方程問題. 在課堂上留白，引導學生在課后自主探究如何縮小區間范圍以求得近似解，為后續學習二分法做準備.

教后反思

1. 聚焦單元主題，凸顯知識應用

函數作為數學的核心內容，是刻畫事物發展變化規律的重要模型，在現實世界有著廣泛的應用. 函數零點存在定理的實質為函數在解方程問題中的應用，尤其為解高次方程及初等超越方程提供了理論基礎. 因此，為了深入探討函數應用這一主題，教學過程中從“宏觀認識”和“反復體驗”兩個維度出發，幫助學生理解函數在解方程問題中的實際應用." 首先，在課堂引入環節，通過回顧函數零點的概念，思考“零點可以解決哪些問題”，引導學生主動探討函數零點的應用價值，從宏觀上把握學習要點，增強知識應用意識. 不僅要了解知識“從哪兒來”，也要關注知識“到哪兒去”. 其次，在探索定理、課堂練習、反思總結等環節，幫助學生反復體驗從函數視角確定方程解的范圍以及解的個數的思維過程，體會函數的圖象及性質在啟發思路、優化過程、簡化運算等方面的作用.

2. 把握教學邏輯，教學生會學習

陶行知先生曾說，“活的人才教育不是灌輸知識，而是將開發文化寶庫的鑰匙，盡我們知道的交給學生”“好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學”. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出，“既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習”［1］. 本節課秉持鞏固性、啟發性等教學原則，遵循“‘復習回顧，提出問題’—‘特例分析，探索問題’—‘變式研究，形成定理’—‘知識應用，強化理解’—‘知識拓展，反思總結’”的教學邏輯，引導學生體會從特殊到一般、數形結合等思想方法，把握變陌生為熟悉、化復雜為簡單的“退”策略，學習從逆命題、否命題、逆否命題等角度展開命題條件和結論的變式研究，掌握合情推理、舉反例否定命題的推理方式. 史寧中教授指出，我們需要清晰的認知，但更需要個人的親歷［2］. 只有給學生提供清晰的學習線索，引導他們切身體驗知識產生、發展、結果、應用的豐富過程［3］，才能幫助他們形成樂于提問、善于類比，敢于質疑、勤于反思的良好思維品質，獲得自主學習的工具和能力.

3. 融入信息技術，促進直觀理解

鑒于本節課涉及大量函數圖象的繪制，采用幾何畫板作為教學輔助工具，能夠激發學生的思維，提升學習效率，并增強學生運用信息技術解決數學問題的能力. 例如，在引入環節，用幾何畫板直接作出五次函數的圖象，讓學生直觀理解從函數的視角研究方程解的有效性；在定理探索的特例分析階段，用幾何畫板展示學生熟悉的函數圖象，讓學生直觀認識函數存在零點的圖象特征，降低抽象概括其代數特征的難度；在變式研究階段，用幾何畫板構造反例圖象，幫助學生厘清命題條件與結論之間的關系，掌握否定命題的數學方法；在拓展介值定理時，用幾何畫板動態演示直線y=η與曲線f（x）的相交情況，形象揭示介值定理的數學實質；在反思總結時，用幾何畫板演示原方程在不同變形條件下的函數圖象交點情況，讓學生感受問題解決中的“變中之不變”——研究視角同（應用函數解方程）、蘊含思想同（函數思想、數形結合思想、化歸與轉化思想）、圖象交點同，幫助學生抓住方法實質，把握知識間的內在聯系.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［2］ 郭玉峰，史寧中. “數學基本活動經驗”研究：內涵與維度劃分［J］. 教育學報，2012，8（5）：23-28.

［3］ 喻平. 數學教學心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2010.