不確定性：數(shù)學教學的另一種樣態(tài)

摘 要：一味追求確定性容易使教育掉入“絕對確定性”的陷阱，造成教學預設和生成的對立。教學的不確定性作為教師預設之外的矛盾的觸發(fā)點，是推動師生開展有效對話，突破既定視域、框架的重要條件，它將教學引向創(chuàng)造性的生成。教育不應做“算命先生”，而應將不確定性看作人類面對所有事物的“常態(tài)”。數(shù)學教學除了確定性的樣態(tài)外，還存在教學目標關注思想本位和全面育人、組織形式靈活機動和因地制宜、問題設計立足挑戰(zhàn)和促進主動的兼容大量不確定性因素的樣態(tài)。

關鍵詞：數(shù)學教學；不確定性；生成

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本文系浙江省麗水市教育科學規(guī)劃2022年課題“基于數(shù)學問題鏈落實數(shù)學核心素養(yǎng)的教學研究”（編號：2022SXSM020）的階段性研究成果。

連續(xù)觀摩了三屆省級高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課評比。三屆上課的主題各不相同，按時間先后順序分別為“數(shù)學建模活動”“數(shù)學探究活動”和“成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析”。雖然課堂看起來精彩紛呈，教師的表現(xiàn)也可圈可點，但是總有一種“似曾相識、千篇一律”的感覺：所有的課幾乎都是按照“創(chuàng)設情境—問題引導—例題分析—應用提升”的邏輯展開的，似乎這就是數(shù)學教學的“萬能公式”，什么課都可以往里套。令人印象最深的是“數(shù)學建模活動”那次，數(shù)學建模的問題分別是來自《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）的“停車距離問題”“包裝彩繩”“體重與脈搏”與來自人教A版高中數(shù)學必修第一冊的“茶水最佳飲用時間問題”，在短短的一節(jié)課40分鐘里就完成問題提出、模型假設、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗、模型應用這一整套建模流程。什么時候數(shù)學建模變得這么容易？不管什么類型的課，也不管什么教學內(nèi)容，都能順利“完成”教學目標，因為上課的所有流程都是教師預先設計好的，學生該回答什么問題、選擇哪種解題方法、做什么事都是教師確定好的。于是，我們不禁要思考：對數(shù)學教學而言，這種確定的樣態(tài)真的很好嗎？是否存在其他的樣態(tài)？

一、 一味追求確定性造成預設與生成的對立

“人生活在危險的世界里，便不得不尋求安全。”［1］于是，追求穩(wěn)定、確定就成了人類的夙愿。作為人類知識、文化傳承主要途徑的教育更是有一系列確定性措施作為保障。比如，建立學校這一特殊社會組織，由師生共建學習共同體，以課程的形式統(tǒng)一進行；學生成才、成人所需的基本價值觀，如道德意識、責任感、同理心等也都是預先設定好的。不可否認，教育的確定性追求在文化傳承上有其積極的一面，但是，一味追求確定性容易使教育掉入“絕對確定性”的陷阱，造成教學預設和生成的對立。

預設與生成是教學的二重基本屬性。一方面，教學具有確定性和預設性，它遵循一定的規(guī)律，是可控的；另一方面，教學沒有固定的模式，也沒有一成不變的過程，它具有不確定性和生成性。教學活動的預設性與生成性如同硬幣的兩面，無法分開。二者和諧共生，才能構建合理有效的教學過程。但是，在確定性優(yōu)先的價值導向下，教師通常會無視生成的一般規(guī)律，而把教學的重心錨定在預設上，成為教學過程的操控者，嚴格控制學生的行為，防止非預期事件的發(fā)生，即使是提問后鼓勵學生發(fā)言，也小心翼翼地將學生的回答限制在預設的范圍內(nèi)，從而使教學成為“教案劇”的演出。

例如，《導數(shù)的概念及其幾何意義》一課，為了讓學生發(fā)現(xiàn)“導數(shù)的值就是切線的斜率”，有教師設計了如下問題：

問題1：

平均變化率ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx

的幾何意義是什么？

學生都知道平均變化率表示的是割線P0P的斜率。教師讓學生在平板電腦上操作：拖動點P（x0+Δx，f（x0+Δx））沿著曲線f（x）趨近于點P0（x0，f（x0））。

問題2：

割線P0P與切線是否存在某種內(nèi)在聯(lián)系？

學生回答后，教師給出切線的一般定義（極限定義）。

問題3：

初中時，我們怎樣定義圓的切線？

追問：

圓的切線定義適合于任意曲線嗎？現(xiàn)在的切線定義符合初中圓的切線定義嗎？

教師讓學生畫圖舉出反例，說明圓的切線定義不適用于任意曲線；再借助平板電腦操作，驗證切線的一般定義對任意曲線都適用。

不難發(fā)現(xiàn)，無論是切線定義的形成還是切線定義的驗證，學生都是在教師的指令下完成的。例如，要求學生“把點P拖動到點P0”，要求學生類比圓的切線以及直接告訴學生切線的一般定義。至于為什么要這樣做，這樣做有什么目的，學生根本不知道，教師也沒有給學生思考的機會。教學演變?yōu)閹熒鷩@確定性知識而開展的機械化活動，限制了學生對未知世界與可能世界的探索，使學生被“套索”在既有知識、思維的框架中，喪失創(chuàng)造性。［2］

遺憾的是，教師往往不會覺察到預設和生成的對立處境。由于在預設中已經(jīng)剔除了不確定性（風險），教學被簡化為由教師單方面推進的線性過程；同時，由于簡化了學生、教師與文本之間的復雜交互，教學也變得異常順利，表面上看已經(jīng)完美地實現(xiàn)了生成。

二、 教學不確定性的內(nèi)涵及意義

海森堡在研究量子理論時，提出了“不確定性原理”。其核心觀點是：“在實際測量以前，粒子的位置是不精確的（粒子是不確定的），在測量時只能預測可能的位置，而不是確切的位置。”海森堡不確定性原理迫使我們接受這樣一個事實：事情的發(fā)生基于概率，優(yōu)雅而瘋狂的量子女神一時興起的念頭決定了一切。［3］杜威援引了海森堡的不確定性原理，認為：教學的確定性是相對的，而教學的不確定性是絕對的。所謂“不確定性”，是指行動者事先難以準確預測事件發(fā)生的過程或某一決策所帶來的結(jié)果；教學的不確定性，意指教學所呈現(xiàn)的并非簡單的“‘輸入’與‘輸出’的完美匹配狀態(tài)”［4］。這種不確定性始終伴隨著教學，永遠是教學生活中無法消除的一個客觀事實，只不過，對教學不確定性的具體認知會隨著時代的不同而有所差異。［5］在結(jié)構相對穩(wěn)定、發(fā)展比較緩慢的傳統(tǒng)社會，教學的確定性程度較高；現(xiàn)代社會流變加劇，叢生的全球化問題不斷震蕩和洗滌著世界各個層面，不確定性加劇，而且，不斷變化著的教學認識引發(fā)了教學實踐的變化，不斷變化著的教學實踐又導致了教學認識的變化，從而使教學的不確定性增加［6］。“任何試圖確定的努力，都會導致更多的不確定性；所有進行編碼、過度編碼以固定的試圖，都肯定會同時增加隨機性和不確定性的總數(shù)。”［7］用某種確定的教學概念去描述變動不居的教學世界，必然會把教學世界看成一個僵死的“概念的木乃伊”，這等于又否定了客觀存在的教學不確定性。

教學的不確定性所指向的是教學過程的開放性與生成性，是師生面對特定的內(nèi)容、特定的情境進行互動的關鍵要素。根據(jù)唯物辯證法，教學的不確定性作為教師預設之外的矛盾的觸發(fā)點，是推動師生開展有效對話，突破既定視域、框架的重要條件，它將教學引向創(chuàng)造性的生成。人類知識的創(chuàng)新是由不確定性知識到確定性知識再到不確定性知識的不斷更新過程。正如波拉克指出的：“不確定性遠非前進的障礙，它實際上是創(chuàng)造性的強烈刺激因素和重要組成部分。”［8］教師直面教學的不確定性，不僅能激發(fā)學生的求知欲與好奇心，也能推動自身專業(yè)能力的不斷發(fā)展。通過直面教學的不確定性，師生的心靈向模糊、無序、未定的世界敞開，摒棄對確定性成果的片面接收，介入動態(tài)發(fā)展的世界中，朝向未來更崇高、更積極的自主創(chuàng)造。

教育最大的不確定性是我們不能精準預測未來世界會發(fā)生哪些變化，許多的“偶然生成”（小概率事件）會變成大趨勢。同時，每一個學生適應未來世界的生存方式也是千差萬別的。教育不應做“算命先生”，而應將不確定性看作人類面對所有事物的“常態(tài)”。知識以及個體發(fā)展、人類活動的過程與結(jié)果的不確定性，也要融入教學實踐的元認知中。不確定的世界給教師的教學帶來了挑戰(zhàn)和困惑，也賦予教師教學選擇的自由和創(chuàng)造的空間。在“不確定性”中尋找“確定性”，在“不確定性”中練就“反脆弱性”，這或許是未來課堂教學的新模式。［9］

三、 不確定性視域下的教學樣態(tài)

（一） 教學目標：思想本位，全面育人

突破確定性的藩籬要從教學目標入手。在教學目標制定上，一直以來的弊病是過于單一，只注重學生對數(shù)學基本知識和技能的掌握，而忽視數(shù)學的實際應用和創(chuàng)新思維的掌握和培養(yǎng)，忽視數(shù)學背后潛在的育人功能的挖掘，其造成的后果是把學生變成知識的容器、解題的機器。進入新時代，以習近平同志為核心的黨中央把教育提升到“國之大計、黨之大計”的戰(zhàn)略高度。在建設高質(zhì)量教育體系的目標指引下，全面育人的路徑越來越清晰。課標也明確指出，數(shù)學教師需要從“學科知識本位”走向“學科思想本位”，轉(zhuǎn)向“育人為本”，“建構起一種唯有在數(shù)學學科的學習中才有可能經(jīng)歷、體驗和形成的思維方式，從而實現(xiàn)數(shù)學教學與學生生命成長的雙向轉(zhuǎn)化和雙向建構”。數(shù)學學科的育人功能主要由工具育人、認識育人、文化育人組成。工具育人包括數(shù)學知識育人、數(shù)學技能育人、數(shù)學實踐育人，是指將數(shù)學作為一種工具，以知識為載體，不斷提升學生的技能，根據(jù)生產(chǎn)生活的需要運用到實踐中；認識育人包括數(shù)學思想育人和數(shù)學方法育人，是指將數(shù)學作為思維的載體，表現(xiàn)為對理論知識的強調(diào)，并注重思維方法的運用，強調(diào)學生認知能力的發(fā)展；文化育人包括數(shù)學道德育人和數(shù)學審美育人，就是把數(shù)學當作一種文化，增強學生對真、善、美的追求，強調(diào)數(shù)學的文化力量。［10］

例如，《等差數(shù)列前n項和公式》一課的教學目標往往是這樣描述的：（1） 在“高斯求和”的故事情境中，經(jīng)歷分類討論、從特殊到一般的思維過程，發(fā)現(xiàn)“首尾配對法”與“倒序相加法”的聯(lián)系；（2） 會運用“倒序相加法”推導等差數(shù)列前n項和公式，并能運用這個公式解決等差數(shù)列的求和問題；（3） 知道等差數(shù)列前n項和公式是沒有常數(shù)項的二次函數(shù)，繼續(xù)體會數(shù)列是一類特殊的函數(shù)。這些目標全部指向知識技能以及比較低位的“倒序相加法”。而在思想本位、全面育人的理念下，教學目標可以設定為：從數(shù)學運算核心素養(yǎng)出發(fā)，明確數(shù)列求和的實質(zhì)就是化簡；從數(shù)與形兩個視角發(fā)掘數(shù)列的性質(zhì)，運用性質(zhì)對數(shù)列進行求和操作；從等差數(shù)列的“對稱性”出發(fā)獲得“倒序相加法”的操作步驟，知道“倒序相加法”是等差數(shù)列求和的一種方法；感受數(shù)列求和中的數(shù)學文化，體會數(shù)學中的對稱美，在公式的推導中發(fā)展理性精神。［11］上述目標中，工具育人、認識育人、文化育人全部得到了體現(xiàn)。

（二） 組織形式：靈活機動，因地制宜

一方面，傳統(tǒng)教學理念對教師的影響深遠；另一方面，教師對創(chuàng)新教學組織形式的了解和應用不足。同時，教師（尤其是中學教師）面臨的教學壓力較大，為了快速完成教學任務，在教學組織形式上，優(yōu)先選擇簡單（容易上手）的講授式就十分自然了。結(jié)果時間一長，教師開始墨守成規(guī)，教學組織形式開始固化。對此，教師一定要打破講授式是“萬能公式”的思維定式，不要固守自己的預設，而要樹立“教學有法，教無定法，貴在得法”的理念，根據(jù)學科的特性、學生的情況、教學的內(nèi)容與目標，關注課堂隨時出現(xiàn)的不確定性因素，及時調(diào)整自己的教學預想，修改原有的教學設計，靈活地調(diào)控和開展教學活動。

例如，《簡單隨機抽樣》一課中的抽樣調(diào)查、全面調(diào)查、總體、個體、樣本、樣本容量、簡單隨機抽樣等重要概念，在小學、初中出現(xiàn)過多次，甚至在表述方式上也是一脈相承。因此，這節(jié)課的教學沒必要把時間花在對這些基本概念的糾纏上，而可以用“估計高一學生的平均身高”這個任務來引領學生回顧梳理概念，在經(jīng)歷統(tǒng)計活動來解決問題的過程中掌握簡單隨機抽樣的方法。

（三） 問題設計：立足挑戰(zhàn)，促進主動

“誘導性”是課堂提問所要遵循的一個基本原則，其目的是迅速達成教學的確定性，但是，一味地追求“誘導性”會削弱思考能力的形成，影響學習經(jīng)驗的積累，從而導致學生“不會學”。相反，“挑戰(zhàn)性”的問題能夠讓大腦分泌更多的多巴胺，加速大腦中“網(wǎng)狀激活系統(tǒng)”的運行，讓學生保持高度興奮的學習狀態(tài)，讓更多的奇思妙想從學生的頭腦中涌現(xiàn)出來，從而加快解題的進程，提升學習的深度。一般可以從三個方面發(fā)起“挑戰(zhàn)”：一是挑戰(zhàn)學生已有的認知，即提供與已有經(jīng)驗相矛盾的內(nèi)容，引起認知沖突，打破原有的認知平衡，促使其向新平衡狀態(tài)發(fā)展；二是挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的學習方式，擯棄以聽講、記憶、模仿、練習為主的學習方式，提倡在問題解決中綜合運用獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流、閱讀自學等多種學習方式，促使學生的學習由“被動”變?yōu)椤爸鲃印保蝗翘魬?zhàn)思維廣度與深度，即站在學習的疑難點、認知的邊緣處設計問題，通過加強對新知與已有心理圖式、認知結(jié)構的整合，實現(xiàn)解決問題以及發(fā)展高階思維能力的目標。［12］

例如，對于上文提到的《導數(shù)的概念及其幾何意義》一課，可以圍繞“切線的再認識”這個核心任務，在對數(shù)學知識整體把握的基礎上，從學生的認知水平出發(fā)，以科學性和梯度性為原則，將孤立、分散的小問題整合成具有邏輯關聯(lián)的挑戰(zhàn)性（綜合性、開放性）問題鏈，促使學生進行深度思考和交流，感悟數(shù)學的本質(zhì)與聯(lián)系。具體問題設計如下：

問題1：

當Δx→0時，ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx

的幾何意義是什么？請用你的方式進行說明。（可以從數(shù)與形兩個角度說明，可以借助信息技術）

問題2：

請說明割線與切線之間的聯(lián)系？

問題3：

與函數(shù)圖像只有一個交點的直線是切線嗎？反過來對不對？

問題4：

能否給切線重新下個定義？

這四個問題層層遞進，引導學生自己明確割線與切線的關系（問題2），進而給出切線的極限定義（問題4）。作為鋪墊的問題1與問題3都具有一定挑戰(zhàn)性（綜合性、開放性），促使學生打破原有的認知平衡，主動探索未知領域。

教學從來就是一個確定性與不確定性并存且交織的世界。如果只關注確定性的追求，則既可能錯過某些不確定性帶來的巨大機會，又可能遭到某些不確定性帶來的巨大打擊。教學要從確定性思維轉(zhuǎn)向不確定性思維，并非拋棄對確定性的追尋，而是事先做好對不可承受的不確定性（風險）的應對準備。因此，教師應充分認識到教學確定性和不確定性的辯證關系，并在教學過程中掌握好二者的平衡關系。

參考文獻：

［1］［5］ 約翰·杜威.確定性的尋求：關于知行關系的研究［M］.傅統(tǒng)先，譯.上海：上海人民出版社，2005：18，55-57.

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［4］ 格特·比斯塔.教育的美麗風險［M］.趙康，譯.北京：北京師范大學出版社，2018：113.

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［7］ 齊格蒙特·鮑曼.現(xiàn)代性與矛盾性［M］.邵迎生，譯.北京：商務印書館，2003：68.

［8］ 亨利·N.波拉克.不確定的科學與不確定的世界［M］.李萍萍，譯.上海：上海科技教育出版社，2005：112.

［9］ 馮躍忠．“不確定”的課堂才有“反脆弱性”［N］．教師報，2021-11-28（4）.

［10］ 王斌斌.學科育人視域下高中數(shù)學單元教學設計研究［D］.太原：山西師范大學，2021：12-13.

［11］ 呂增鋒.從知識點教學到數(shù)學大概念教學的轉(zhuǎn)型——以“數(shù)列的遞推公式”為例［J］.中學教研（數(shù)學），2022（6）：14-17.

［12］ 劉鐵智.指向“挑戰(zhàn)性”的高中數(shù)學問題設計［J］.中小學課堂教學研究，2023（5）：63-66.

（蔣吉林，浙江省龍泉中學。呂增鋒，浙江省象山縣教育局教科研中心，正高級教師。）