基于核心素養的“表達與交流”測試題研發與評析

關鍵詞：核心素養；學業質量標準；數學說理；評價導向；表達與交流

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A 文章編號：1673-4289（2024）10-0071-05

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱“新課標”）確立了“三會”核心素養為導向的課程目標，明晰了小學階段核心素養的主要表現為數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識和創新意識；明晰了學業質量與學業質量標準的內涵，指出學業質量標準主要從三方面來評估學生核心素養達成及發展情況；在學業水平考試的命題原則中，強調以核心素養為導向的考試命題要關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養，適當提高應用性、探究性和綜合性試題的比例，題目設置要注重創設真實情境，提出有意義的問題，實現對核心素養導向的義務教育數學課程學業質量的全面考察。

綜上，基于核心素養的學業質量標準評價題目的研發，成了當下研究的重點、難點與突破點，期望通過評價的杠桿作用來撬動教育教學的改革，從而達到以評促學、以評促教的目的，真正讓新課標要求的核心素養能可教可學、可評可測。對此，筆者探索了小學數學“表達與交流”類題目的研發，希望能有所突破。

一、為什么要研發“表達與交流”類題目

“表達與交流”類題目是指題干呈現較豐富的信息或創設真實的情境，讓學生在數學閱讀與理解中自主提取有用信息，然后再用一定的數學語言進行表達與陳述，更多傾向于數學說理，以此評價學生是否真正基于數學的理解掌握相關知識與技能，并且能否進行相應的遷移與應用，從而考察學生是否具備了相應的核心素養。此類題目不僅考察學生能解決什么問題，更考察學生數學思考的全過程，從數學表達的角度讓思維外顯，期望從教學評一致的角度，以評促教、以評促學，引導教師在日常教學中更多關注學生的深度參與和數學理解，加強學生數學語言多元表征能力的培養，讓核心素養真正落到實處，感受到核心素養的可教、可學、可評和可測。 二、如何研發“表達與交流”類題目

（一）鏈接生活，在應用中考察數學眼光

數學為人們提供了一種描述與交流現實世界的表達方式，生活中處處蘊含著要用數學知識來解決的問題與情境。如六年級上冊，為了評價學生對百分數相關知識的掌握，結合當前生活中常見的“超速扣分”情境，編制了如下題目：

考察點：數量關系、模型意識、應用意識

學生通過數學閱讀，明確此情境所對應的數學問題為王叔叔在高速路上扣了6分，是因為超速行駛，那就要逆向思考：究竟達到一個什么樣的標準會扣6分呢？閱讀文本信息，發現“超過規定時速20%以上未達到50%的，扣6分”，由此界定王叔叔的超速范圍為“20%～50%”。再提取信息發現此公路限速80，超速就為80的20%～50%。再通過數量關系的分析，尋找到兩種解決問題的辦法。

方法一：用單位“1”加上超速部分的百分率，推理出王叔叔駕駛的速度為120%～150%，再列式80×120%=96km/t，80×150%=120km/t，由此求得王叔叔的行駛速度在96～120km的范圍之內。方法二：用單位“1”乘超速部分的百分率，得到超速的那一部分，即80×20%=16km/t，80×50%=40km/t，用80+16=96km，80+40=120km，也能得到96～120km的速度范圍。又因為“超速未達到50%”，而120的速度已經達到了50%，再次明確96～120的范圍之內，包括96卻不包括120。

再如生活中常見的定價、降價、成本與利潤問題，仍屬于百分數的考察范圍，研制題目如下：

考察點：數量關系、模型意識、推理意識、幾何直觀、特殊賦值法

學生通過閱讀文本發現該題目是討論賺還是虧的問題，文本材料里只有一個出現了兩次的數據“20%”。對于這個出現兩次的數據，無論采用任何一種運算（學生會習慣性地想到加、減、乘、除的四則運算），得到的結果都不能回答是賺還是虧的問題，怎么辦？再閱讀文本提取信息，發現“20%”是在表達成本價與售價的一種關系，雖然看起來都是20%，但“剛開始按超出成本價20%的價格定價銷售”，這個“20%”對應的單位“1”是成本價；“為了促銷又將原來的定價降價20%進行銷售”，這個“20%”對應的是第一次定價的20%。同為20%，但對應的單位“1”卻不同，那所對應的量自然也不同。最后判斷“現在的售價是賺還是虧”，則是判斷現在的售價是比成本價低還是高，低于成本價就是虧，高于成本價就是賺。發現和提出了問題，學生可以獲得以下三種解決問題的方法。

方法一：利用幾何直觀畫圖解決。

幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識和能力，按學業質量標準，六年級的孩子應該具備相應的幾何直觀能力。如圖所示，孩子能準確地用圖表示出數量的變化，并且能通過線段的長段一眼看出是虧了，更好地考察與培養學生的洞察力。

方法二：特殊賦值法。因為文本并沒有告訴成本價或售價是多少，為了便于思考和計算，可以假設成本價為100元，分別計算出兩次的售價，最后得到96元lt;100元，于是判斷是虧了。

方法三：演繹推理。因為并不知道具體的任何一項價格，可以假設成本價為100%，則第一次定價為“120%”，第二次售價為“120%×（1-20）%=120×80%=96%”，96%小于100%，由此得到結論現在的售價低于成本價，是虧。

以上題目，將數量關系、數學信息隱藏在復雜的現實情境中，需要學生用數學的眼光去發現問題，進而再去解決問題。并且，對問題的回答不僅局限于一個答案，屬于開放式題目。

（二）拓展思考，在推理中考察數學思維

小學階段，學生多經歷歸納推理的思考過程，新課標強調適當增加學生演繹推理的學習。以北師版教材四上“三角形內角和”一課為例，教材讓學生通過量加、撕拼、折拼等方法分小組探究不同樣本的三角形，發現全班同學研究的不同的三角形內角和都是180°左右，于是用不完全歸納法得出結論：所有三角形的內角和都是180°。于是筆者思考：除了不完全歸納法，還能有什么辦法得到此結論？其實，數學家帕斯卡在12歲時就用演繹推理的方法得到了此結論。結合帕斯卡的研究過程，研發了如下評價題目：

考察點：數學閱讀、推理意識、多元表征、空間觀念

本題表述內容較多，首先考察學生的數學閱讀與理解力，需要從大量的文字材料中去識別與提取信息。再根據文本材料，分析發現量加法、撕拼法、折拼法是課堂學習中所使用的，而智慧老人采用了新的研究方法。先基于長方形的四個內角都是直角探究出所有直角三角形的內角和為180°，再基于直角三角形探究出所有銳角三角形的內角和都是180°。特別是在探究銳角三角形時，將一個銳角三角形分成兩個直角三角形后，兩個直角三角形的內角和是180°+180°=360°，此時的關鍵點是新產生的兩個直角并不是原銳角三角形的內角，因此還需要用360°-2×90°=180°。

以上評價題目中，銳角三角形的探究為學生搭建了支架，鈍角三角形就讓學生獨立探究，鼓勵學生選擇合適的數學語言進行表達。

（三）多元表征，在說理中考察數學語言

對于數學學習，學生習慣了根據一定的數量關系列式計算解答，算式似乎成了數學唯一的語言。其實數學語言可分為抽象性數學語言和直觀性數學語言，包括概念、術語、符號、式子、圖形等。語言是思維的外殼，通過不同語言的表征，能更好地考察學生的數學思維，以檢測學生是否真正達成了數學理解。

1.從自己解決到讀懂他人，考察數學理解

如要求學生說說淘氣是如何測得不規則物體的容積的。

考察點：數學觀察、數學理解、轉化思想、數學表征 常規的評價方式，是呈現正反擺放的兩個瓶子，然后讓學生根據圖片所提供的信息計算瓶子的容積。本題反其道而行之，給出淘氣的計算方法，讓學生說說這樣計算的道理。說理的過程，就是考察學生是否能真正基于理解去選合適的數學語言表達自己的思考。

本題中，學生要能理解到：正放瓶子時水呈規則的圓柱形，就能先計算出這部分水的體積；將瓶子倒置后，將原來不規則部分的容積用水來充滿，同時也就將這部分不規則物體的容積轉化為之前規則的那部分水的體積；再計算出瓶底規則的圓柱部分的容積，相加則得到了瓶子的總容積。

2．從死記硬背到遷移運用，考察多元表征

在數學的學習過程中，涉及大量的公式教學。如果一節課直奔公式而去，讓學生只是記憶住公式去應用，那在教學過程中需要學生積累的活動經驗和數學思想將會大打折扣。以三角形的面積公式“底×高二2”為例進行題目研發如下：

考察點：空間觀念、量感、推理意識、多元表征

此題重在讓學生回憶學習過程，通過閱讀理解“出入相補”的意義，發現三角形的變化過程中面積并沒變，只是通過“出入相補”將三角形等積變形為一個平行四邊形。平行四邊形的底相當于原三角形的底，而平行四邊形的高相當于原三角形的高二2，因此推導出三角形的面積是“底×（高二2）”，然后統一寫作“底×高二2”。

像梯形、圓形的面積公式推導，除去北師版教材中呈現的方式，基于孩子們能理解的學習程度，都可以開展進一步的遷移理解。如下兩題：

考察點：空間觀念、量感、推理意識、多元表征、應用意識

以上兩題，都需要學生去理解新圖形與原圖形相關要素的對應關系，并且用自己的語言進行合理表達。兩題學生典型作答如下：

學生所選擇的表征方式，主要包括了文字表述、圖形示意、符號演繹、算式推演等，更能考察學生的數學表達與遷移應用能力。

綜上所述，“表達與交流”作為嘗試研發的新題型，更關注評價學生的數學思考力與理解力，并通過一定的數學語言表達自己思考的全過程，讓思維外顯，從而全面考察學生核心素養的達成度。