注重關聯 悟理明法 理法相融

【摘 要】計算教學要引領學生利用新舊知識之間的聯系，上下貫通，不僅要掌握計算方法，更要把握計算的本質，理法相融，培育學生數學運算的核心素養，提升其運算能力。文章以蘇教版數學四年級下冊“三位數乘兩位數”的課堂教學實踐為研究素材，探究如何關聯情境建立新知與舊知之間的聯系，厘清算理，打造說理課堂。

【關鍵詞】數學教學 算理 算法 說理課堂

作為小學階段整數乘法計算的最后一部分內容，三位數乘兩位數在算法和算理上與兩位數乘兩位數是一致的，因此理所應當要把兩位數乘兩位數的算法和算理向三位數乘兩位數遷移。然而，蘇教版數學教材在三年級下冊編排了“兩位數乘兩位數”，間隔了整整兩個學期直到四年級下冊才學習“三位數乘兩位數”，內容安排的時間跨度較長。所以算理與算法的理解，感受數學知識和方法的內在聯系，實現舊知到新知的遷移就理所應當地成為“三位數乘兩位數”教學中需要突破的重點任務，同時也是承前啟后，為學生之后學習小數乘法時自主遷移運算方法打下基礎，也為學習乘法分配律作好鋪墊。下面以蘇教版數學四年級下冊“三位數乘兩位數”的教學實例談談教師的實踐和思考。

一、注重關聯，探究算理

（一）創設情境，引導探究

月星小區有16幢樓，平均每幢樓住128戶。月星小區一共住了多少戶？

師：請大家默讀題目，從題目中你獲得了哪些信息？

師：可以怎樣列式？

生1：可以列式128×16。

師：這和我們以前學過的乘法算式有什么不同？

生1：這是三位數乘兩位數，我們以前學習過的是兩位數乘兩位數和三位數乘一位數的乘法。

師：對的，那你準備怎么解決這個問題？

生1：我打算用估算的方法先估計一下大概的結果。

生2：可以把第二個乘數拆開來算。

生3：我想先畫一畫尋找解決辦法。

生4：我覺得可以借鑒以前學過的兩位數乘兩位數的豎式計算來嘗試。

【思考】學生之前已經學過兩位數乘兩位數的筆算，已經感悟并習得了“先分開來算再相加”的數學思想和方法。對于兩、三位數乘一位數也有一定的估算和口算的經驗積累。可以先回顧兩、三位數乘一位數和兩位數乘兩位數，以激活經驗、喚醒舊知，為三位數乘兩位數的新知學習做好準備。鑒于學生對兩位數乘兩位數的筆算方法這個新知的生長點掌握得比較熟練，可以大膽嘗試把時間和精力重點放在新知的自主探究及算法的表征和算理的解釋上，通過關聯、類比和遷移提高學生的數學思維能力。故而，教師開門見山給學生直接呈現學材，創設情境，通過師生對話交流為下一步的自主探究做好準備。

（二）關聯情境，悟理明法

任務1：嘗試用圈一圈、畫一畫、算一算等方法表示你的想法。

師：請大家展示自己的方法，可以結合問題情境和示意圖分別說明各自的想法。

生1：先算128×4=512，再算512×4=2048，就是把16幢樓分開來，每4幢樓圈成一圈，先乘4算出4幢樓一共有多少戶，因為畫了4個圈，所以接著再乘4，也就是16幢樓一共有多少戶，這樣就把三位數乘兩位數的乘法變成了三位數乘一位數的乘法了。

生2：128×8=1024，1024×2=2048，我的算法和剛才的同學類似，每8幢樓圈成一圈，先算出8幢樓一共有多少戶，畫了2個圈所以再乘2，也就是拆成了先乘8，再乘2。

生3：我是口算的，128×10=1280，先算10幢樓一共有1280戶，128×6=768，再算6幢樓一共有768戶，1280+768=2048，最后合起來是2048戶。

生4：我是用表格的方式分開來算的，最后也是要合起來。（見圖1）

生5：我是聯系兩位數乘兩位數的筆算，直接列豎式計算的，先用第二個乘數個位上的6乘128，得到768，再用十位上的1乘128，得到128，最后相加得到2048。（見圖2）

師：你能結合題目的情境，解釋清楚你這樣算的道理嗎？

生5：個位上的6乘128算的是6幢樓一共有768戶，十位上的1乘128算的是10幢樓一共有1280戶，合起來一共是2048戶。

生6：可是，你的算式里面只寫著128，這是為什么？

生5：因為十位上的1表示1個十，那么128就表示128個十，也就是1280，0省掉不寫，所以得數的末尾和十位對齊。

【思考】筆算兩位數乘兩位數時，需要先把其中一個乘數分成兩個部分，分別用個位和十位上的數與另一個乘數相乘，再把兩次乘得的結果進行累加。三位數乘兩位數的筆算方法與兩位數乘兩位數的筆算方法在本質上是一致的，所以探究與交流時，教師要求學生關聯具體的問題情境和示意圖，嘗試用圈一圈、畫一畫、算一算等方法展示思考的過程，進行算理的解釋，感受相關計算方法的內在聯系，形成合理的認知結構。用“大問題”引領——“結合問題情境和示意圖分別說明各自的想法”“結合題目的情境，解釋清楚你這樣算的道理”，開展互動、交流與探究。數學探究過程中不僅要知其然，更重要的是知其所以然。在探究算法時不能只關注結果，更重要的是關注學習的過程和知識的生長。關聯實際的問題情境，學生不論是采用圖形表征，動態和直觀地表達每4幢樓圈成一圈，先算出4幢樓一共有多少戶，再乘4算出16幢樓一共有多少戶，把三位數乘兩位數的乘法轉化成三位數乘一位數的乘法，或是采用口算形式的文字表征，先分開來算再合起來，或者采用對豎式的每一步計算說明含義的算式表征，都是對算理作進一步的理解和解釋，都是算理的探索和算法的概括有機融合、法理相依、理法相融的真實體現，這才是真正的說理課堂。

（三）剝離情境，關聯舊知

師：大家說的都很有道理，我們來看看生3和生4的方法，你能結合這兩種方法，說說豎式計算的道理嗎？

生：都是先算10幢樓一共有1280戶，再算6幢樓一共有768戶，最后合起來是2048戶。

師：如果離開具體的情境，從乘法的意義上來說，你還能解釋清楚嗎？

生：128×16表示求16個128是多少，他們都是分開來算的，先算6個128的和，再算10個128的和，合起來就是16個128的和。

師：現在你對三位數乘兩位數的計算有什么新的看法？

生：同樣是分開來算，生1、生2和生4的方法都不夠簡單方便，拆成整十數和一位數比較方便計算。

生：可以直接筆算，這樣的話就和兩位數乘兩位數的筆算方法是一致的，都是先分開來算，再合起來……

【思考】結合學生不同的想法表達，進行展示與交流。進一步關聯與比較、解釋與評價口算和筆算共通的算理，又剝離具體的情境，回歸到乘法意義本身來解釋算理，用算理來支撐算法，讓學生產生更加深刻的感受。既要知道怎么算，還要明白為什么這樣算，這樣算的道理是什么，從而更加明了豎式計算的道理就是計算不同計數單位的數相乘。再次關聯已有的兩位數乘兩位數筆算的經驗，進行新舊知識之間的類比遷移，鏈接新知生長點把算理解釋得清楚到位。

二、分層評價，理法融合

層次1：完成計算，說一說先算什么，再算什么？（見圖3）

層次2：筆算下面各題。（見圖4）

要求獨立完成，再單獨展示交流。正例與錯例分別展示。

層次3：比較大小，說一說其中的道理。（見圖5）

層次4：下面的計算對嗎？說一說你的想法。（見圖6）

【思考】評價部分，分層設計。第一層次進行算理的解釋練習，即每一步算的是什么，每一步的結果是怎么來的。第二層次進行例題的仿練，正例與錯例分別展示，讓學生明確常見、典型的錯誤，即用十位上的數相乘時得數的末尾沒有和十位對齊，并從算理上進行解釋和糾錯，讓學生真正明白“錯在哪里”和“為什么錯了”。第三層次可以是遮住中間的計算部分，比較兩部分的大小，并說明理由，通過對算理的解釋讓學生明白為什么中間的得數A都小于B。第四層次進行遮住中間部分的改錯練習，開放性較強，有利于學生深入開展研究與交流。例如第一個豎式計算，可以利用估算作出判斷，進而得知最后的積不可能是三位數，也可以依據個位乘得的積一定是3、不可能是4等方法作出判斷。通過生生交流、師生交流，反饋與評價及時有效，培養了學生專注與傾聽的學習能力。通過提問、復述、概括等方法，引導學生提煉重點并進行反思或重組，強化對學生傾聽能力的訓練，培養學生的批判性和創新性思維，進一步提高其分析與推理能力。學生在獨立思考和相互交流與評價的過程中進一步加深對算理的深度思考，有效地實現了算理和算法的深度融合。

三、持續遷移，拓展延伸

師：通過今天的學習，你對三位數乘兩位數的筆算有什么感悟？還有什么疑惑？

生1：我學會了三位數乘兩位數筆算的方法。

生2：我知道怎么算，還知道為什么這樣算，每一步算的是什么。

師：例題的列式如果寫成16×128，又該怎么計算？

生3：可以把128的個位、十位和百位分別乘16，再相加。

生4：這樣分開來乘三次太麻煩了，可以調換兩個乘數的位置，只需要乘兩次就可以了。

師：你覺得我們以后還可能會研究幾位數的乘法呢？

生5：三位數乘三位數、四位數乘三位數……

師：真的還有必要再學嗎？

生6：不用再研究了，我發現這些筆算的方法是一致的。

【思考】小結學習收獲時，拋出問題“例題的列式如果寫成16×128，又該怎么計算呢？”。學生圍繞問題再次展開交流，得出兩個結論：一是交換位置再列豎式計算；一是根據三位數乘兩位數的算法推理，分別用第二個乘數的各個數位計算三次再相加。接著引導學生繼續想一想還會學習幾位數的乘法，又該怎么計算，讓學生領會到可以繼續進行知識的遷移，理解多位數乘法的普遍適用性，延伸拓展以獲得更多的感悟和更加合理完善的認知結構，提高自主探究和學習能力。

總的來說，計算教學看似容易實施，但是要做到揭示數學的本質和真正實現核心素養框架所要求的數學運算素養與能力的提升確實不易。教師既要立足課堂，又要讓出講臺，學會“靠邊站”，把課堂交還給學生，讓學生真正成為學習的主人，從而打造計算教學以理馭法、理法相融的說理課堂，切實有效地實現算理和算法的深度相融。

【參考文獻】

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