小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)的策略研究

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，要讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，而模型意識(shí)是其中一項(xiàng)重要能力，因此，在平時(shí)的教學(xué)中滲透模型意識(shí)至關(guān)重要。文章從選擇教學(xué)素材到讓學(xué)生完整經(jīng)歷建模過(guò)程再到應(yīng)用模型，對(duì)模型意識(shí)培養(yǎng)作策略研究，并提供了一種有效的途徑。

【關(guān)鍵詞】模型意識(shí) 素材選擇 建模過(guò)程 應(yīng)用模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問(wèn)題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。”想要讓學(xué)生真正培養(yǎng)模型意識(shí)，需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。教師要從生活中常見(jiàn)的問(wèn)題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境；學(xué)生主動(dòng)地探索情境，觀察、分析后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)相對(duì)應(yīng)的模型，從而解決問(wèn)題。教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷建模的全過(guò)程，幫助學(xué)生在小學(xué)階段形成一定的模型意識(shí)，逐步體會(huì)數(shù)學(xué)建模過(guò)程，從而主動(dòng)運(yùn)用情境解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

一、培養(yǎng)模型意識(shí)需要精心選擇素材

好的素材是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。熟悉的、典型的素材有助于學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模全過(guò)程，從而形成一般的模式表達(dá)。

（一）典型的素材有助于建模

建立模型思想的本質(zhì)就是對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題或者客觀事物、規(guī)律進(jìn)行抽象后，得到一種形式化的表達(dá)方式，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系。為學(xué)生提供典型的素材有利于實(shí)現(xiàn)這一目的。

例如，用彩旗的素材講間隔計(jì)數(shù)問(wèn)題就非常適合，因?yàn)椴势斓乃夭目梢园腰c(diǎn)和段明顯地提供給學(xué)生，學(xué)生可以很好地理解點(diǎn)和段之間的關(guān)系。平時(shí)的教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生在紙上把插彩旗的情境表示出來(lái)，在操作的過(guò)程中，他們慢慢就會(huì)發(fā)現(xiàn)不同情況下彩旗數(shù)與段數(shù)之間的關(guān)系。這樣，舍去彩旗問(wèn)題的一些非數(shù)學(xué)屬性的元素，就形成了純數(shù)學(xué)的間隔計(jì)數(shù)問(wèn)題，再以數(shù)學(xué)符號(hào)表示這種規(guī)律，進(jìn)而滲透模型思想。

又如“乘法分配律”的教學(xué)，可以結(jié)合學(xué)校一年一度的匯操比賽聘請(qǐng)教師和家長(zhǎng)代表作為評(píng)委這一素材展開(kāi)，如圖1。

教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問(wèn)題并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行篩選，再聚焦到研究評(píng)委區(qū)的總面積是多少、一共有多少評(píng)委兩個(gè)問(wèn)題上。學(xué)生在解決這兩個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，用到了兩種方法引出相關(guān)的算式。一方面，學(xué)生及時(shí)提取了原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中初步感知了乘法分配律的存在；另一方面，學(xué)生在自主探究的過(guò)程中，體會(huì)到能用不一樣的方法解決問(wèn)題。此情境結(jié)構(gòu)與乘法分配律的表達(dá)形式如出一轍，提供了直觀的材料，便于后期學(xué)生建構(gòu)模型，是學(xué)習(xí)此內(nèi)容的典型素材。

總之，在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式等都是數(shù)學(xué)模型。教師應(yīng)該努力尋找與數(shù)學(xué)模型契合的現(xiàn)實(shí)原型。這樣的現(xiàn)實(shí)原型有很多，因此要篩選出合適的、直觀的現(xiàn)實(shí)原型，即典型素材，這樣才有利于學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

（二）熟悉的素材有助于建模

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)化的對(duì)象應(yīng)是學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)，而不是成人熟悉的現(xiàn)實(shí)。因此，在教學(xué)中教師要選用學(xué)生熟悉的素材，幫助學(xué)生順利地建立數(shù)學(xué)模型。

1.現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生經(jīng)歷過(guò)的真實(shí)事件

發(fā)生在校園生活、家庭生活、社會(huì)生活中的真實(shí)事件都是學(xué)生熟悉的素材。例如，把18塊糖平均分給3個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友能分到幾塊？學(xué)生在解決日常生活中遇到的“分東西”問(wèn)題時(shí)，通過(guò)操作活動(dòng)，會(huì)探索出結(jié)果。用分配的方法是要在其中找到3個(gè)相等的部分，用比例的方法則是要解決“一次分走3塊糖，一共能分多少次”。這兩種方法是密切相關(guān)的：分配的方法是分成了3個(gè)相等的部分，比例的方法則是每分一次，糖的總數(shù)以3的倍數(shù)的形式減少。學(xué)生在解決“分”的問(wèn)題時(shí)，往往喜歡多次做減法。但是原來(lái)的“分糖”問(wèn)題已經(jīng)和學(xué)生熟悉的除法很接近了，雖然還需要一些調(diào)整與優(yōu)化，但核心思想與方法已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了。教學(xué)中，教師可以尋找學(xué)生熟悉的真實(shí)素材，學(xué)生會(huì)更感興趣，這有利于他們基于經(jīng)驗(yàn)與直觀感悟抽象出數(shù)學(xué)模型。

2.學(xué)生熟悉的故事

童話故事、寓言故事、神話故事等虛擬的故事也是學(xué)生熟悉的素材。例如，教學(xué)“商不變的性質(zhì)”時(shí)，教師常常用到“猴爸爸給小猴分桃子”的故事：6個(gè)桃子分給3只小猴，小猴不高興；60個(gè)桃子分給30只小猴，小猴高興地笑了。學(xué)生也笑了，但在笑過(guò)之后，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么大家都笑了？學(xué)生積極思考，主動(dòng)觀察、分析、比較、抽象，最終概括出商不變的性質(zhì)。這個(gè)故事很有趣，本身又蘊(yùn)含著總數(shù)、份數(shù)、每份數(shù)的關(guān)系，還蘊(yùn)含著商不變的性質(zhì)這一數(shù)學(xué)模型。熟悉的故事素材，能促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而逐步抽象出數(shù)學(xué)模型。

總之，學(xué)生熟悉的素材簡(jiǎn)潔、易懂，容易使其產(chǎn)生親近感，便于激活其已有的經(jīng)驗(yàn)，因此貼近學(xué)生生活的真實(shí)素材更具有現(xiàn)實(shí)意義。貼近學(xué)生生活的典型素材，能引發(fā)學(xué)生思考并提出問(wèn)題，具有挑戰(zhàn)性和思維價(jià)值，能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的渴求、探究客觀世界的欲望以及對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)自內(nèi)心的熱愛(ài)。這些都是積極的情感體驗(yàn)。需要明確的是，教師要從學(xué)生熟悉的素材中精心篩選具有直觀性的現(xiàn)實(shí)原型，這有利于學(xué)生主動(dòng)建模。

二、培養(yǎng)模型意識(shí)要經(jīng)歷建模過(guò)程

（一）抓住建模起點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題

數(shù)學(xué)建模就是通過(guò)建立模型的方法來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。這一過(guò)程可概括為問(wèn)題情境、建立模型、求解驗(yàn)證、應(yīng)用拓展四個(gè)環(huán)節(jié)。

2022年版課標(biāo)指出，模型意識(shí)是屬于用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的方式的一種。因此建模離不開(kāi)生活情境，用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活情境并發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)。例如，前面的“乘法分配率”教學(xué)案例中，在學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，結(jié)合熟悉的、典型的學(xué)習(xí)素材，教師鼓勵(lì)他們觀察情境圖，看看能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息，能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題。熟悉的生活情境容易喚醒學(xué)生的思維，同一個(gè)問(wèn)題情境還有著不同的思考方向，這就是一個(gè)好情境。學(xué)生可能從人數(shù)出發(fā)提問(wèn)，也可能從面積出發(fā)提問(wèn)，可能提出以下問(wèn)題：家長(zhǎng)評(píng)委有多少？教師評(píng)委有多少？一共有多少評(píng)委？家長(zhǎng)評(píng)委區(qū)的面積是多少？教師評(píng)委區(qū)的面積是多少？評(píng)委區(qū)的總面積是多少？

“一共有多少評(píng)委？”“評(píng)委區(qū)的總面積是多少？”兩個(gè)問(wèn)題的提出水到渠成，是學(xué)生思維的自然流露，為之后的研究指明了方向，學(xué)生樂(lè)于接受。抓住建模起點(diǎn)，提出有價(jià)值的研究問(wèn)題，能引導(dǎo)學(xué)生走上自主探究之路。

（二）關(guān)注建模抽象，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試自主表達(dá)

學(xué)生提出了有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師要引導(dǎo)學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)，逐步抽象概括。例如，前面的案例中學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)，提出了“一共有多少評(píng)委？”和“評(píng)委區(qū)的總面積是多少？”兩個(gè)問(wèn)題。教師要鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，經(jīng)歷建模的過(guò)程，可以按以下步驟進(jìn)行：

（1）要解決這兩個(gè)問(wèn)題，你怎么想的？把你的思考過(guò)程寫(xiě)在學(xué)習(xí)單上。

A.一共有多少評(píng)委？

B.評(píng)委區(qū)的總面積是多少？

（2）觀察每個(gè)問(wèn)題中的兩個(gè)算式，你有什么想法？

兩個(gè)算式解決的是同一個(gè)問(wèn)題，思路不同，結(jié)果相同，可以用等號(hào)連接，就形成了一個(gè)等式。

（7+4）×3=7×3+4×3

（9+6）×5=9×5+6×5

（3）觀察等號(hào)左右兩邊，你有什么發(fā)現(xiàn)？有什么疑問(wèn)？

等號(hào)兩邊都有加法和乘法，左邊是兩個(gè)數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)，右邊是兩個(gè)加數(shù)分別與因數(shù)相乘，再相加。學(xué)生逐漸開(kāi)始思考：這兩組等式有這些特征，是偶然現(xiàn)象，還是有一定規(guī)律呢？

（4）像這樣的等式是否都有這個(gè)規(guī)律？

舉例驗(yàn)證。可以通過(guò)計(jì)算左右兩邊的算式得出結(jié)果，也可以列舉生活中的事例來(lái)解釋，還可以用點(diǎn)子圖來(lái)說(shuō)明。

（5）為什么會(huì)有這個(gè)規(guī)律？

揭示本質(zhì)。在舉例驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，學(xué)生思考為什么會(huì)有這個(gè)規(guī)律。可以通過(guò)解讀運(yùn)算意義來(lái)理解，從而揭示規(guī)律的本質(zhì)。

（9+6）×5=9×5＋6×5，左邊是15個(gè)5，右邊是9個(gè)5加6個(gè)5，也是15個(gè)5。

（6）你能想辦法把我們的發(fā)現(xiàn)表示出來(lái)嗎？

抽象出模型。面對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)不同、思維水平不同，表達(dá)方式也不同。

情境表達(dá)：（上衣的價(jià)格+褲子的價(jià)格）×套數(shù)=上衣的價(jià)格×套數(shù)+褲子的價(jià)格×套數(shù)

活動(dòng)表達(dá)：小括號(hào)像房子，括號(hào)里是主人，括號(hào)外是客人，客人和主人分別握手，應(yīng)該怎樣握？

符號(hào)表達(dá)：（□＋△）×○=□×○＋△×○

字母表達(dá)：（a＋b）c= ac+bc

文字表達(dá)：兩個(gè)數(shù)的和與第三個(gè)數(shù)相乘，等于這兩個(gè)數(shù)分別與第三個(gè)數(shù)相乘，再把所得的積相加。

不同的表達(dá)方式表示的是同一個(gè)意思，學(xué)生可在互相借鑒中尋找既簡(jiǎn)潔又具有概括性的表達(dá)方式。在這樣的過(guò)程中，學(xué)生有自己的獨(dú)立思考，又有同學(xué)的資源共享，在觀察比較中抽象出字母表達(dá)式，凸顯了用字母表達(dá)的優(yōu)勢(shì)：簡(jiǎn)潔清晰，有一般性。

（三）重視建模驗(yàn)證，鼓勵(lì)學(xué)生呈現(xiàn)多種素材

有了數(shù)學(xué)模型，還要重視模型的驗(yàn)證。教師可以呈現(xiàn)多種素材，把它放到更廣闊的空間里去實(shí)踐。例如，乘法分配律可以放到生活領(lǐng)域去檢驗(yàn)：買(mǎi)衣服時(shí)會(huì)用到上衣、褲子和套數(shù)的關(guān)系；吃套餐時(shí)會(huì)用到主食、飲料和套數(shù)的關(guān)系；也可以放到計(jì)算領(lǐng)域去檢驗(yàn)： 12×4可以看成（10+2）×4，12×14可以看成（10+2）×14。還可以放到幾何領(lǐng)域去檢驗(yàn)：求①②兩部分合起來(lái)的大長(zhǎng)方形的面積也可以說(shuō)明乘法分配律的合理性。（見(jiàn)圖2）

通過(guò)多種素材驗(yàn)證模型的合理性，突出了模型應(yīng)用的廣泛性，凸顯了模型可以解決一類實(shí)際問(wèn)題的本質(zhì)屬性。

要使學(xué)生真正對(duì)模型思想有所感悟，需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。在這一過(guò)程中，學(xué)生總是從相對(duì)簡(jiǎn)單到相對(duì)復(fù)雜、從相對(duì)具體到相對(duì)抽象，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，掌握建模方法，逐步形成模型意識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

三、培養(yǎng)模型意識(shí)要重視模型應(yīng)用

在建模后，教師要讓學(xué)生運(yùn)用模型解決問(wèn)題，并讓他們運(yùn)用模型去解釋實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)模型理解更深，體會(huì)模型的價(jià)值意義。

教學(xué)中教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中解釋數(shù)學(xué)模型。“速度×?xí)r間=路程”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本模型，學(xué)生經(jīng)歷抽象、概括得到這一模型后，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用該模型解釋生活中的一些現(xiàn)象。例如，為什么我們總是先看到閃電，后聽(tīng)到雷聲？學(xué)生通過(guò)交流討論，最終發(fā)現(xiàn)光的傳播速度比聲音快，就像賽跑一樣，同樣的路程，跑得快的先到終點(diǎn)，所以我們總是先看到閃電，后聽(tīng)到雷聲。

總之，在建立模型之后，經(jīng)常讓學(xué)生利用模型解決問(wèn)題，有助于學(xué)生對(duì)模型的建構(gòu)，能讓他們體會(huì)模型的價(jià)值；有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的建構(gòu)，能讓他們?cè)鰪?qiáng)學(xué)習(xí)的信心與信念，提升創(chuàng)新能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]趙世龍.小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識(shí)培養(yǎng)常態(tài)化實(shí)施的研究[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2024（2）.

[3]馬妍妍.注重整體建構(gòu) 培養(yǎng)模型意識(shí)：以《植樹(shù)問(wèn)題》教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)，2024（14）.

[4]孫保華.找準(zhǔn)時(shí)機(jī)，滲透模型意識(shí)[J].教育視界，2023（14）.