基于幾何直觀的運算教學研究

【摘 要】從加法過渡到乘法，對于很多學生來說，面臨著從具象到抽象的第一個門檻。在學習加法時，學生可以數小棒、扳手指，但學習乘法，尤其在二、三年級學習比較復雜的兩位數以上的乘法時，學生發現掰手指不管用了，于是教師往往會選擇用機械的方式不斷強化訓練。這樣的方法有效果，但往往提升的是計算能力，而非數學能力。如果將幾何直觀和運算教學結合起來，通過運算提升學生數學核心素養，就能夠有效促進運算知識的理解與遷移。

【關鍵詞】運算發展 幾何直觀 知識本質

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，幾何直觀應該幫助學生建立數與形的關系，構建數學問題的直觀模型。幾何直觀是一種意識，表現為面對數學問題能否自覺聯想到用圖形去解決，而小學數學的運算教學又往往缺少原生知識的支撐，生生割斷了算理和直觀圖形之間的聯結。教師在小學運算教學中應幫助學生從程序化操作轉換到直觀化理解，將算法內化、將算理可視化，在運算過程中不斷對知識表征進行轉換，為學生算理的理解積累豐富的感性經驗。

一、以二維結構圖促使運算起點生長化

生活中有一個最常見也非常簡單的乘法形象演示，那就是二維結構圖的大小。在教乘法時，不把乘法當作兩個抽象的“數”的運算，而是讓它回歸到具體的數學想象中。教師應該立足于學生的年齡特征，實現思維的逐級進階，為學生思維特點和教學內容搭建橋梁。點子圖就是二維結構圖的一種計算模型，它形式簡單，但具概括性和抽象性，方便學生自己動手實踐，讓運算思維可視化。

【教學案例1】

如筆算乘法“18×12”的教學：

第一步：算法層面。

（1）學生在點子圖上圈一圈、算一算，并嘗試寫出計算過程。

（2）學生在自我研究的基礎上進行組內互助，分享方法。

（3）總結：18×12可以把其中一個或兩個乘數拆成幾個數的乘積或乘加形式，如圖1，從而把兩位數乘兩位數轉化成學過的兩位數乘整十數或一位數的舊知識。

第二步：算理層面。

啟發學生把拆分過程轉換為豎式的形式，如圖2。

對照點子圖進行描述每一步的過程，形成表象。

第三步：拓展延伸。

借助二維結構圖甚至可以啟發學生思考三位數乘三位數的運算。在長方形紙上分割，幫助學生根據數字的特征，靈活選擇簡便方法，培養數感。比如108×106，可以分成一個面積是10000的正方形，兩個面積是800和600的大長方形和一個面積是48的小長方形。如圖3。

從“算法多樣化→算理可視化→解題靈活化”的進階，深刻詮釋了蘇霍姆林斯基所說的“引導學生能借助已有的知識去獲取知識，這是最高超的教學技能所在”。幾何直觀憑借圖形可視化的特點將抽象的數理運算與形象思維相結合，可以生動地展示運算的本質。

108×106=1000+600+800+48

二、以圖形模型促進運算發展多元化

通過對算式之間的觀察、比較和分析可以抽象概括出運算律，它是數學運算發展到一定階段的產物。運算律是運算教學中非常重要的一環，也是簡便計算的基礎。通過圖形模型的合理應用從而以形助教，可以幫助學生理解運算律。運算律的論證方式有很多，比如蘇教版數學四年級上冊教材通過情境實例，采用不完全歸納法驗證乘法運算律；再如從乘法的意義出發進行演繹推理，驗證乘法運算律。不過這些表征方法都有自己的局限性，如果把這些方法綜合運用，以圖形模型為算理基礎，以情境實例為邏輯補充，互相取長補短，便可以充分論證運算律。

【教學案例2】

如乘法分配律的教學：

第一步：在長方形周長中構建乘法分配律模型，如圖4。

長方形的周長有兩條長和兩條寬，計算周長有兩種不同方法。

（長+寬）×2=長×2+寬×2

長方形的周長是多少？

第二步：在兩個長方形中推導乘法分配律，如圖5。

a×c是藍色長方形的面積，b×c是黃色長方形的面積，再把兩個長方形面積加起來，或者用長是a+b的和，再乘寬c，就是大長方形的面積。用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c。

兩個長方形面積一共是多少？

a×c+b×c=（a+b）×c

第三步：在組合長方形中拓展乘法分配律，如圖6。

乘法分配律的擴展，可以由兩個數的和與1個數相乘，也可以由三個數的和與1個數相乘，還可以由4個數、5個數乃至更多個數的和與1個數相乘，它們都等于用每個加數分別與這個數相乘，再相加。用字母表示：（a+b+d）×c=a×c+b×c+d×c

3個長方形面積一共是多少？

a×c+b×c+d×c=（a+b+d）×c

第四步：在組合圖形中推廣乘法分配律，如圖7。

在兩個數的和與兩個數的和相乘中，滲透初中的“完全平方公式”也是來源于乘法分配律。

組合圖形面積一共是多少？

（a+b）×（c+d）=a×c+b×c+a×d+b×d

以上教學，基于圖形模型的混合表征方法直觀清晰地展現了運算律教學脈絡，聯結了小學、初中教材前后相關聯的知識，縱向展示了運算律的發展過程。學生的探究能力、推理能力、論證能力等高階思維得到了發展，并且充分體會了數學運算的發展順序，使數學知識結構化。

三、以多維結構圖推動運算思維聯結化

圖片、符號、情境、文字等表征方法可以在運算教學中互相聯結，統籌運算和其他數學知識之間的聯系，構建運算思維的直觀模型，幫助學生把握整體思維，超越運算范疇，讓知識之間的聯結更加豐富，達到“算無形時少直覺，形無算時難入微”的境界。

【教學案例3】

如連加計算與梯形面積相結合的教學：

第一步：啟發運算與幾何知識的聯結，如圖8。

第6層到第20層一共有多少顆寶石呢？即求6+7+……+20=？

可以把這個連加算式看作一個梯形。再加上一個相同梯形，把它轉化成一個平行四邊形。這樣每一行都相等了，求連加算式的和就相當于求梯形的面積，首項相當于上底，尾項相當于下底，數列的項數相當于高。

第二步：對比公式推導過程，如圖9。

蘇教版數學梯形面積公式是從平行四邊形的面積公式推導而來的，連加算式的公式也離不開將兩個梯形轉化成一個平行四邊形。將兩者推導過程進行比較，發現兩者大同小異，核心思維都是轉化。數學思想萬變不離其宗，在數學運算公式與幾何公式之間架起一座溝通的橋梁，突出了數學的魅力。

又如奇數連加與正方形個數相結合的教學：

第一步：啟發運算與幾何知識的聯結，如圖10。

（1）說一說，觀察算式1+3+5=9，你發現了什么？三個加數有什么特征？每兩個加數之間有什么關系？

（2）想一想，觀察圖③色塊的排列，第一個色塊是1個，第三個色塊是幾個？怎樣算？

引導學生發現，這些數都是“奇數”；每兩個數之間相差2，這些數是拐彎數得到的，第三個色塊出現拐彎，可以看成是橫著的3個和豎著的3個之和，再減1個，可列算式為5=3×2-1，即“邊長乘2減1”。

第二步：

（1）給圖②、圖④正方形涂色并寫出算式。課件呈現：圖②1+3；圖④1+3+5+7。它們的結果你能很快地說出來嗎？

（2）這些是邊長為1、2、3、4的正方形，可以發現：算式1等于1的平方，算式1+3等于2的平方，算式1+3+5等于3的平方，算式1+3+5+7等于4的平方。

（4）根據以上規律，當正方形是5×5，6×6，7×7……時，你能不畫圖直接寫出算式，并快速說出結果嗎？

第三步：確定數列的首、尾數和項數。

（1）觀察下面的算式，想一想，這些數列有什么共同的地方？如圖11。

（2）數列的第一個數字是幾？數列的最后一個數字怎樣得到？每個數列各有多少個數（項數）？怎樣知道？（正方形邊長數）

“連加計算”如果學生只停留在公式記憶層面，那么學生學到的僅僅是算法，并不能幫助學生學到更深層次的思維方式，并拓展其應用。所以，教師教學時應聯系不同知識，多種圖示綜合運用、互聯互通，從而幫助學生將運算思維發展得更高、更廣。

四、以連續組圖促成運算應用靈活化

在小學階段，數學之美體現在運算規律之美、運算簡潔之美、運算多樣之美上。連續的運算題組對應的組圖可以超越單一題目，這是對數學學科特性和學生學習規律的順應。組圖動態化生成的過程讓隱性的運算規律可視化，一題多變，啟發學生感受內在聯系，領悟到數學的本質特征是抽象，將學生逐步引導到高階思維和深度學習。

【教學案例4】

如分數連加教學：

第一步：算法探究。

（1）觀察+++算式中的加數，發現后一個數都是前一個數的。

（2）圖12中的正方形表示單位1，能用陰影或斜線表示出算式嗎？

第二步：出示從開始的分數連加基礎算理。

用“圖式法”把大正方形的面積看作“1”，先平均分成2份，得到；接著把其中一個再平均分成2份，得到；再接著平均分得到，，最后剩下的陰影部分也是。從圖12中我們可以看出，整個算式的和就是圖中空白部分的面積，可以用整個正方形的面積“1”減去陰影部分的面積“”，即1減去。

通過連續組圖可以發現算式的和越來越趨近于1，把復雜的分數連加算式轉化為圖形，化繁為簡，不僅能夠幫助學生理解分數連加的算理，也可以培養學生的靈活思維，感受到算法的多樣化和簡潔化，滲透幾何直觀思想。

基于幾何直觀理解運算算理和算法，是運算生長、發展、應用過程中不可忽略的基石。只有做到直觀上的理解才是真正的理解，幾何直觀抓住了“圖形”與“算理”之間的聯結，有效體現了算法和算理的互通、互連，讓數學運算發展更加合理化、可視化、高階化。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.