聚焦幾何直觀素養的數學教學

摘要：函數圖象以幾何形態直觀地刻畫變量間的對應關系，是表達函數的重要方式，也是研究函數性質的重要工具。在函數及其圖象的學習中，相當重要的一部分內容是能從函數圖象中獲取信息，分析和研究問題的數量關系。以“從函數圖象中獲取信息”為倒，從識圖、說圖、畫圖、思圖四個環節展開教學設計與分析，旨在引導學生把握函數概念實質，發展幾何直觀素養。

關鍵詞：函數圖象；幾何直觀；教學分析；核·心素養

中圖分類號：G623.56 文獻標識碼：B 文章編號：1673-4289（2024）06-0047-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱《課標》）明確提出了義務教育階段數學課程要培養的學生核心素養，主要包括“三會”：會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界。在初中階段，幾何直觀是“數學眼光”的主要表現行為之一，其內涵是運用圖表描述和分析問題的意識和習慣。主要包括：能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路。下面以“從函數圖象中獲取信息”為例，引導學生把握函數概念實質，發展幾何直觀素養。

函數是數學中的重要的基本概念，它揭示了現實世界中數量之間的相互依存關系和變化規律，是刻畫和研究現實世界的數學模型。函數圖象以幾何形態直觀地刻畫變量間的對應關系，是表達函數的重要方式，也是研究函數性質的重要工具。在函數及其圖象的學習中，相當重要的一部分內容是能從函數圖象中獲取信息，分析和研究問題的數量關系。

在初中階段，數學概念逐步從內涵或外延角度給出了明確的定義，幾何直觀電從基于操作經驗的感悟逐步過渡到基于概念的推理，逐步形成用運動變化眼光觀察世界、數形結合分析問題的意識和習慣。

一、識圖——從圖象中獲取信息

例1 王爺爺和孫子小強經常一起進行早鍛煉，主要活動是爬山。有一天，小強讓爺爺先上山，然后追趕爺爺，兩人都爬上了山頂。圖1中的兩條線段分別表示小強和爺爺離開山腳的距離y（米）與爬山所用時間x（分）之間的函數關系（從小強開始爬山時計時）。

活動1 閱讀例1，提取題干中關鍵的文字和數學符號信息。

[教學分析]數學家波利亞指出，“對于一個題目，必須理解該題目的語言陳述”，“請學生復述該陳述”，“學生應能指出題目中的主要部分，即未知量、已知數據以及條件”。要把例1中的文字和符號所表達的圖象信息形成幾何直觀，建立數形之間的聯系，需要先熟悉問題情境，把握題干關鍵信息。活動1改變教材直接呈現具體問題的形式，引導學生閱讀分析，提煉關鍵信息，如“小強讓爺爺先上山”“小強追趕爺爺”“小強和爺爺都爬上了山頂”“y為離開山腳的距離”“x為爬山所用時間”等，以此為解讀函數圖象、有針對性地識圖用圖作準備。

問題1 請結合函數概念，談談應如何理解圖1中兩條線段表示的函數關系。

[教學分析]理解函數概念是翻譯圖象語言，獲取圖象信息的基礎和關鍵。問題1直指函數概念內涵，需要學生把握以下幾點：第一，回顧函數的概念，把握自變量、因變量等基本概念，會用運動變化與對應聯系的眼光認識函數關系；第二，結合題目問題情境，再次體會函數是刻畫現實世界的重要模型，函數圖象是表達函數的重要方式；第三，基于函數概念，認識圖1中線段即為函數圖象，即線段上每一點的坐標（x，y）代表函數的一對對應值，橫坐標x表示自變量（爬山所用時間）的某一個值，縱坐標y表示與該自變量對應的函數值（離開山腳的距離）。對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應。

問題2 觀察圖1，思考如何從函數圖象中獲取下列信息：

（1）小強讓爺爺先上山多少米？

（2）小強何時何地追趕上爺爺的？

（3）山頂離山腳的距離有多少米？

（4）小強和爺爺爬上山頂的時間分別為多少？

[教學分析]問題2將活動1中整理的關鍵信息轉化為數學問題，引導學生利用函數圖象獲取信息。考慮到學生經驗不足，教學中應提供學生充足的時間交流和討論，并注意以下兩點：第一，引導學生先從整體視角觀察圖象，體會線段從起點到終點的變化規律，對比兩條線段上升速度的差別，直觀感受“爺爺先上山”“小強追趕爺爺”“小強和爺爺都爬上了山頂”等文字信息所呈現的圖象表示；第二，局部觀察線段上的特殊點，如起點、終點、交點，理解時間與距離的對應關系。特別指出，為凸顯教學邏輯線索、提煉從圖象中獲取信息的方法，可借助如表1的格式板書，引導學生學會分析、學會提問、學會總結。

特別指出，解答（4）問，觀察兩線段終點所對應的橫坐標，能直觀判斷小強先爬上山頂，但由于圖1中終點橫坐標并未用虛線標注具體數據，此時不能確定精準時間，需先求出行駛速度，再利用路程、速度、時間公式求解。因此，提出新的數學問題：“小強和爺爺爬山的平均速度分別為多少？”根據函數圖象為線段的特征，不難可利用兩線段起點和交點的橫縱坐標信息，找到小強和爺爺在爬山8分鐘時的行駛路程，進而求得小強和爺爺爬山的平均速度分別為：240÷8=30，（240-60）÷8=22.5。

問題3 類比問題2，你還能提出哪些數學問題？如何利用函數圖象回答或解釋所提問題？

[教學分析]采用類比提問的方法，引導學生從不同角度、不同思路觀察圖象，挖掘潛在信息，建立現實情境、文字語言、符號語言和圖象表達之間的有效聯系。比如，引導學生提出諸如“交點左、右方圖象反映怎樣的實際情境”“爬山5分鐘后，爺爺和小強距離多遠”“小強和爺爺爬到半山腰（山腳到山頂距離的一半）時，所用時間分別為多少”等問題，指導學生學習如何以函數圖象為工具解決問題，提高對數形結合思想理解的深刻性，積累從圖象中獲取信息的經驗。

二、說圖——由圖描述現實情境

活動2設計一個問題情境，使之滿足圖2所表示的函數關系。結合圖象，說說情境中的變量在變化過程中的實際意義。

[教學分析]有效的教學不僅能從條件推演結果，也可以從結果想象條件。通過活動2，鼓勵學生創設不同的符合函數關系和實際情況的情境，加深對函數的理解，發展幾何直觀，增強有條理地進行語言表達的能力，激發數學學習的興趣。比如，可以將圖2設計成“龜兔賽跑的路程與時間圖”，并類比問題2，結合圖象提出諸如“賽跑中兔子共睡了多長時間”“烏龜在第幾分鐘從睡覺的兔子旁經過”“當烏龜到達終點時，兔子離終點還有多遠”“兔子睡覺前后的賽跑速度有無變化”“兔子到達終點的時間是多少”等問題。事實上，圖2和圖1均反映了路程與時間的函數關系，圖2中的一條函數圖象是由幾條線段組成的折線，可看作圖1的變式。利用圖2解決問題的過程中，除了要再次強調整體把握函數圖象變化規律以及關注特殊點等識圖要點，還須引導學生認識以下兩點：第一，每段折線段代表一個階段的活動，該折線段左右端點橫坐標之差，對應相應活動所用時間；第二，若自變量在某一范圍內所對應的函數值始終為同一常數，則該范圍內的函數圖象是一條平行于軸的線段，表明此時的運動狀態為“停止不前”。

核心素養是知識、技能、態度情感的集合，具有整體性，不能孤立地進行單獨培養或發展。完成活動2，教師還可借助“龜兔賽跑”的寓言意義，培養學生形成謙虛謹慎、勤奮踏實、持之以恒的學習態度和精神。

三、畫圖——根據給定情境畫圖

活動3 根據下列問題情境，作出符合要求的函數圖象。

情境再現：周末早上，爺爺從家出發走20分鐘到一個離家1000米的公園，打太極拳運動30分鐘后，用10分鐘到離公園500米的市場買菜，買菜20分鐘后，用25分鐘原路返回家中。（不計打太極拳和買菜的行駛路程）

（1）作出一幅函數圖象近似地刻畫爺爺行駛路程與時間的關系；

（2）作出一幅函數圖象近似地刻畫爺爺離家距離與時間的關系；

（3）若爺爺在從市場返回家的途中，先加速行進，然后勻速行進一段時間，再在距家門不遠的地方開始減速，最后回家停下，下列哪幅函數圖象能最好地刻畫這段時間爺爺行走速度與時間的關系？

[教學分析]《課標》強調，“教學中應注重發揮情境設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用，使學生在活動中逐步發展核心素養”。活動3基于現實情境，強調學生要會收集、篩選、處理函數信息，能依據具體情境繪制函數圖象，能利用函數圖象刻畫變量間的變化關系，養成畫圖思考的習慣。其中，（1）（2）問重在使學生理解“行駛路程與時間”和“離家距離與時間”這兩對變量關系的異同：它們都符合函數關系，都是以時間為自變量的函數。但（1）問中因變量為行駛路程，側重描述行走的總路程，即從出發到回家這段時間，函數圖象整體呈上升趨勢（如圖3）；（2）問中因變量為離家距離，側重描述行走中離家的距離，即離開家期間，離家距離隨時間增加而增大，而在返回家的時間段，離家距離則隨時間增加而減少，函數圖象整體呈先增后減趨勢（如圖4）。通過兩問作圖對比，引起學生的注意，體會利用不同變量刻畫函數關系的聯系與差異，加強對函數概念及函數圖象的理解，培養求同求異思維。

（3）問為速度隨時間變化的情況，學生容易將其與“路程與時間”混淆。因此，教學中要引導學生將（3）問正確答案A與（1）（2）問圖象對比，并鼓勵學生描述（3）問其他錯誤選項中速度的實際變化過程，以此讓學生充分理解：研究函數應首先關注變量是什么，明確研究對象。在觀察圖象時電應先把握橫、縱軸所代表變量的實際含義。當函數為速度與時間關系時，“水平線”代表勻速行駛或靜止，“上升的線”代表速度在增加，“下降的線”代表速度在減少。特別提示，（3）問主要考查對速度變化趨勢的大致刻畫，由于已知條件有限，不需要精確討論增加或減少的具體數量。

四、思圖——反思識圖畫圖要點

通過識圖、說圖、畫圖環節的思考和操作，引導學生對自我解決問題的思維過程、思維結果進行主動回顧、檢查、優化，幫助他們進一步理解函數概念的實質，把握從圖象中獲取信息的要點。反思活動可圍繞以下四方面展開。

第一，理解數學的實質：函數是刻畫現實世界運動變化規律的重要模型，函數圖象是表達函數的重要方式，是研究數學的有力工具，其直觀性有著其他函數表達方式所不能替代的作用。

第二，感悟數學的思想：從函數圖象中獲取信息需要深刻把握數形結合與對應的數學思想。認識到“函數圖象上的一個點平面直角坐標系中的一個坐標有序實數對函數的一對自變量和函數值”，正是因為存在這種對應關系，才使得函數圖象能把問題情境、文字語言、符號語言形成幾何直觀，能有效利用函數圖象獲取有用信息。

第三，把握數學方法：從函數圖象中獲取信息，首先要學會觀察分析，要用數學的眼光審視問題，明確條件中所涉及的變量含義，厘清函數關系；其次，要掌握從整體到局部觀察圖象的策略，先從整體視角認識圖象整體形態和增減趨勢，清楚橫縱軸所表達變量的實際含義，再結合局部特殊點、特殊線等，明確數量表達的現實或數學意義；再次，要把握合情推理與演繹推理的數學方法，能夠根據局部圖象推測圖象延伸趨勢，能夠運用特殊點、線信息挖掘隱含條件，展開推理運算；最后，要體會類比、對比的研究方法。

第四，形成數學的品質：通過對具體函數圖象問題的解決，養成用發展變化的觀點認識客觀世界的思維習慣，形成講道理、有條理的思維品質，發展質疑問難的批判性思維。能夠在實際情境中發現和提出有意義的數學問題，發展好奇心、想象力和創新意識。

（作者單位：內江師范學院數學與信息科學學院，四川，內江641100；內江市第六中學，四川，內江641113）