關注幾何直觀 厚植模型思想

［ 摘 要 ］幾何直觀幫助學生通過圖表理解，建立思維橋梁，深入掌握模型本質，為數學公式和定理的推導打下基礎.研究者利用幾何直觀與模型思想，以“對等角全等模型”的教學為例，對模型的初步認識、再認識、全等變換、拓展等展開實踐與思考.

［ 關鍵詞 ］幾何直觀；模型思想；對等角全等模型

幾何直觀利用圖形直觀展示和描述問題，有助于學生觀察和思考，是衡量學生核心素養水平的一個重要指標.在初中數學教學中，重視幾何直觀在理解問題中的關鍵作用，不僅能夠幫助學生深入理解問題的本質，還能夠促進他們建立良好的數學模型思維，為培養直觀想象能力打下堅實的基礎.在幾何直觀的基礎上厚植模型思想，可提升學生解決幾何問題的能力.

核心概念界定

1.幾何直觀

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下文簡稱新課標）明確提出：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣.有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑 ［1］ .國際數學教育將幾何直觀稱為可視化 （Visualization），即解決數學問題時，通過對圖象本質的觀察，形成心理表象，并用數學符號轉化與建構.因此，幾何直觀涵蓋了兩個層面的信息，一是視覺加工，二是理解圖象.從本質上來看，我國所研究的幾何直觀與國際上所研究的可視化是一致的，都是以“形”作為思維的基本載體，在抽象與直觀的基礎上發展學力.

2.模型思想

數學模型思想是指學生用某種原理或概念來理解、描述或解決數學問題的一種基本思想.新課標認為數學模型思想是學生理解數學本質與生活實際的橋梁，關注數學建模可發展學生的模型思想.解題教學通常遵循“問題→建模→應用”的步驟.建立數學模型后，將其轉化為直觀現實能增強其應用價值，并為解決問題提供基礎.模型思想屬于一種根植于學生意識中，卻又無法具體描述的思想，需在分析與解決問題的過程中加以體會與感悟.

教學實踐分析

模型呈現 如圖1，點 O 既是正方形 ABCD 的對角線交點，又是正方形 OA 1 B 1 C 1 的一個頂點，且已知這兩個正方形的邊長相等，將正方形 OA 1 B 1 C 1 圍繞點 O 任意旋轉，它們重疊的四邊形 EBFO 的面積恒為正方形 ABCD 面積的1/4.

教師引導學生分離并分析重疊的四邊形 EBFO ，具體步驟如下.

1.初步認識模型

通過對圖 1 的觀察，得到與四邊形 EBFO 相關的一些結論：①∠FBE = ∠EOF = 90° ；② EO = FO ；③ ∠OBE = ∠OBF = 45° .

圖形能直觀展示問題，便于學生分析并得到與四邊形 EBFO 相關的結論，這些結論可幫助學生建立對模型的基本理解，為后續深入研究打下基礎.

5.模型的分離

在解決實際問題時，幾何模型常與其他圖形并存.因此，教師應引導學生在理解圖形本質的同時，學會從復雜圖形中識別基本圖形，這是透過現象看本質，對提高解題能力至關重要.

教學思考

1.建模活動需明確方向

在教學中，教師要引導學生明確建模目標，確保學生理解模型本質，以便有效建模并解決問題 . 同時，明確方向的建模教學有助于學生思考和分析模型，以及運用模型思想解決實際問題.

本節課的探索主題為“對等角全等模型”.課堂伊始，教師明確探索主題，并向學生展示模型包含的三個條件“ ∠FBE=∠EOF=90° ”“ EO=FO ”“ ∠OBE=∠OBF=45° ”，為后續研究打下了堅實的基礎.在教師的指導下，學生通過初步認識、再認識、全等變換等，深入研究“對等角全等模型”，提高了學習效率.

2.建模教學需注重方法

學生的思維發展是逐步深入的，因此建模教學也應逐步推進 . 課堂上，除了關注問題的導向作用外，還要注重數學思想方法的滲透，從而引導學生深入理解數學模型，激發其研究興趣.除了常規性地研究模型外，還可以引導學生擴展思維，利用模型思想將思維拓展到相關數學模型，以此拓寬學生的視野，提升學生的學力.

例如本節課，教師先引導學生深入學習“對直角全等模型”，然后介紹“同側直角全等模型”，拓寬了學生的認識.注重方法的建模教學，可有效培養學生的數學思維能力.

3.幾何直觀是提升素養的基礎

通過觀察圖形不僅能發現其中蘊含的模型，還能促進直觀想象素養的發展.然而，在實際教學中，教師很少引導學生運用幾何直觀來分析問題.這導致學生在面對幾何題目時，往往直接著手解題，缺乏深入分析圖形的習慣，使得解題過程變得復雜.殊不知，基于幾何直觀觀察圖形，能從中發現一些奧秘，讓解題過程變得更加便捷.在本節課中，教師引導學生通過圖形探索模型，從多角度觀察分析，將模型思想深植于學生心中，為提煉基本圖形打下了堅實的基礎.

總之，研究模型元素特征有助于增強學生的模型意識，并幫助他們識別復雜圖形中的模型，為解題打下基礎.這也是提升學力，培育數學核心素養的重要路徑之一.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部 . 義務教育數學課程標準 （2022 年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］黃俊.建立幾何模型培養直觀能力：以“對等角全等模型”為例 ［J］.初中數學教與學，2018 （22）：35-37.