立足數(shù)學(xué)課堂 促進(jìn)思維發(fā)展

［ 摘 要 ］學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中憑借的是本身已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，而非教師的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn).如何立足數(shù)學(xué)課堂，在學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)呢？研究者以“直線平行的條件”為例，從“問題牽引，揭露概念”“深入探究，理解概念”“課堂總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)”三個(gè)環(huán)節(jié)展開教學(xué)實(shí)踐與思考.

［ 關(guān)鍵詞 ］數(shù)學(xué)思維；認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)；課堂教學(xué)；直線平行

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)則為思維的教學(xué) . 數(shù)學(xué)思維是認(rèn)知、理解、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基本工具.立足數(shù)學(xué)課堂，將知識(shí)的傳授與數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展有機(jī)地融合在一起，是促進(jìn)教育高質(zhì)量發(fā)展的基礎(chǔ).因此，教師不僅要關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的整個(gè)過程，還要注重客觀知識(shí)與主觀理解的同步協(xié)調(diào)，此為提升思維的關(guān)鍵，也是促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ).本文以“直線平行的條件”為例，探討如何在課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.問題牽引，揭露概念

利用問題激活學(xué)生的思維，可讓學(xué)生親歷思維的逐層遞進(jìn)過程.教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)，應(yīng)從學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)富有思維含量的問題，以促使學(xué)生積極主動(dòng)地投入問題的探索中去，為建構(gòu)新知奠定基礎(chǔ).課堂伊始，教師創(chuàng)設(shè)如下幾個(gè)問題情境，以喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知體系，啟迪思維，為揭露本節(jié)課教學(xué)的主題奠定基礎(chǔ).

問題 1 請(qǐng)分別說一說在同一平面內(nèi)兩條直線之間的位置關(guān)系有哪些？

問題2 平行線的定義是什么？

問題 3 兩條直線相交時(shí)會(huì)出現(xiàn)圖1所示的“兩線四角”，基于位置來分析，該模型中存在哪些類型的角？分別闡述.

追問 1：基于數(shù)量來分析，這些角之間存在怎樣的關(guān)系？

追問2：若在圖1中添加一條直線，關(guān)于角的數(shù)量與位置，該如何探索？

設(shè)計(jì)意圖 “兩線四角”的模型將同一平面內(nèi)兩條直線相交的情況展示出來，一方面喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知體系，另一方面讓學(xué)生體驗(yàn)具備公共頂點(diǎn)的角之間的數(shù)量與位置關(guān)系.如此設(shè)計(jì)為探索“三線八角”中不存在公共頂點(diǎn)的角奠定基礎(chǔ).追問2借助一個(gè)開放性問題啟迪學(xué)生的思維，促使學(xué)生進(jìn)入主動(dòng)探索狀態(tài)，為提煉相應(yīng)的模型夯牢根基.

師：構(gòu)圖發(fā)現(xiàn) （見圖2），當(dāng)三條直線于同一點(diǎn)相交時(shí)，呈現(xiàn)出大家所熟悉的鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角，這些內(nèi)容大家都比較熟悉，在此不做過多探索.然而，當(dāng)三條直線兩兩相交時(shí)，一個(gè)新的模型應(yīng)運(yùn)而生 — —兩條直線被第三條直線所截，該模型有什么特點(diǎn)？

生 1：兩條直線被第三條直線所截，形成的平面圖形中存在 8個(gè)均小于平角的角.

師：不錯(cuò)，這些角有什么特別的地方嗎？

生2：除了我們所熟悉的兩線相交所形成的具有公共頂點(diǎn)的鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角之外，還出現(xiàn)了新的成員.師：新的成員指什么？

生2：沒有公共頂點(diǎn)的角.

師：觀察得很細(xì)致，這就是本節(jié)課研究的重要概念之一 — —同位角.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)旨在基于學(xué)生原有的認(rèn)知體系進(jìn)行拓展延伸，促使他們的認(rèn)知框架由“兩線四角”擴(kuò)展至“三線八角”.在此過程中，自然且順暢地引出“同位角”這一核心概念，為后續(xù)的深入探索與學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)而穩(wěn)固的基礎(chǔ).

問題4 觀察圖3，從不含公共頂點(diǎn)的角中鑒別哪些符合“同位角”的定義范疇.

問題 5 觀察下列圖形，其中∠1，∠2 不是同位角的是（ ）

設(shè)計(jì)意圖 要求學(xué)生觀察“三線八角”模型，找到不含公共頂點(diǎn)的同位角，意在鞏固同位角的概念，同時(shí)提升學(xué)生的觀察與辨識(shí)能力.關(guān)于同位角的甄別，難點(diǎn)在于準(zhǔn)確判斷誰是截線，誰是被截線，只有明確各條直線所扮演的角色，才能快速、高效、準(zhǔn)確地判斷出同位角.

2.深入探究，理解概念

新時(shí)代背景下，數(shù)學(xué)教育正從知識(shí)的傳承逐漸向?qū)W生的長(zhǎng)期可持續(xù)發(fā)展轉(zhuǎn)變.因此，課堂教學(xué)并非給學(xué)生搭建一個(gè)基礎(chǔ)的知識(shí)體系那么簡(jiǎn)單，而是要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引發(fā)學(xué)生的自主探索與合作交流，以提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).然而，課堂的時(shí)間是有限的，如何在有限的時(shí)間內(nèi)盡最大可能提升探究成效呢？這就需要教師從“探究”的內(nèi)涵出發(fā)，主動(dòng)關(guān)注學(xué)生在探究中的感受與體驗(yàn)，為深度理解知識(shí)特點(diǎn)，發(fā)展學(xué)力奠定基礎(chǔ).

師：大家是否還記得判斷兩條直線互為垂直關(guān)系的方法？

生 3：如圖 4，只要確定∠1 為直角，即可確定AB與CD垂直.

師：兩條直線之間為垂直或平行關(guān)系，屬于兩類特殊的位置關(guān)系.這位同學(xué)根據(jù)兩直線垂直的定義，用圖示的方法簡(jiǎn)潔明了地揭露了兩直線為垂直關(guān)系的特點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 回顧直線垂直關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)角的度數(shù)在判定兩條直線位置關(guān)系中的作用的理解，同時(shí)清晰界定學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為后續(xù)從角度視角探討兩條直線平行關(guān)系奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

問題6 如圖5，通過類比直線垂直的判定方法，我們?nèi)绾螛?gòu)想兩條直線平行關(guān)系的判斷依據(jù)？

師：由于圖 5 中不存在角，因此無法探討角的數(shù)量關(guān)系，這該如何應(yīng)對(duì)呢？

生4：可以考慮構(gòu)造一些角.師：這是個(gè)不錯(cuò)的想法，可否具體描述？

生4：如圖６，添加一條截線，產(chǎn)生了多個(gè)角，而后研究這些角之間的數(shù)量關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)，通過問題有效激發(fā)學(xué)生的思維活力，引導(dǎo)他們自主探索出“構(gòu)造角”的方法，這不僅是對(duì)“三線八角”模型學(xué)習(xí)的深化與延續(xù)，而且顯著提升了學(xué)生對(duì)輔助線應(yīng)用的理解與掌握，為后續(xù)從角度數(shù)量關(guān)系探索直線位置關(guān)系奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

探究 1 由角度數(shù)量關(guān)系探索直線位置關(guān)系.

師：請(qǐng)大家取出課前準(zhǔn)備好的木條，并按照?qǐng)D 7所示，在同一平面內(nèi)將三根木條相交擺放.同時(shí)，固定住 b，c 兩根木條，木條 a 可以自由轉(zhuǎn)動(dòng).

（1） 當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)木條 a 時(shí)，∠2的度數(shù)會(huì)發(fā)生變化，∠2 的大小變化與∠1之間存在怎樣的關(guān)系？ a，b 兩根木條的位置關(guān)系會(huì)不會(huì)發(fā)生變化？木條 a 處于什么位置時(shí)， a ∥ b ？

（2）若改變∠1的度數(shù)，重復(fù)以上實(shí)驗(yàn)過程，則∠1，∠2 在什么條件下，可使 a ∥ b ？

設(shè)計(jì)意圖 問題是數(shù)學(xué)的靈魂，借助問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，不僅能夠鍛煉學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、動(dòng)腦思考及細(xì)致觀察能力，還能促使學(xué)生親自驗(yàn)證自己的猜想，并對(duì)結(jié)論的推導(dǎo)過程形成深刻而清晰的理解.這是根據(jù)角度數(shù)量關(guān)系探索直線平行關(guān)系的過程，是踐行深度學(xué)習(xí)理念的重要舉措.

探究2 畫平行線的方法.

師：大家還記得用三角板畫平行線的方法嗎？

當(dāng)學(xué)生回顧平行線的畫法時(shí)，教師提供圖 8，要求學(xué)生過點(diǎn) C 畫直線 AB 的平行線 l 1 ，并思考：可以畫幾條滿足條件的直線？如果在直線 AB 的下方再添加一點(diǎn) D ，過點(diǎn) D作直線 AB 的平行線 l 2 ，那么直線l 1 ，l 2 之間的位置關(guān)系是怎樣的？可以畫幾條與直線 AB 的距離為 2 的直線？

設(shè)計(jì)意圖 要求學(xué)生畫出滿足條件的平行線，不僅能進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，還能讓課堂充滿探究味.

3.課堂總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)

要求學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，并分享個(gè)人的感悟與收獲，同時(shí)，猜想下節(jié)課即將探討的主題.設(shè)計(jì)意圖 課堂總結(jié)不僅能夠深入整理學(xué)習(xí)要點(diǎn)，還能顯著增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用實(shí)踐能力，為后續(xù)教學(xué)奠定基礎(chǔ).

教學(xué)思考與感悟

1.關(guān)注知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)

新知的建構(gòu)離不開舊知的支撐，新課標(biāo)同樣強(qiáng)調(diào)了新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)作用，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需建立在學(xué)習(xí)者的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知發(fā)展水平基礎(chǔ)上.課堂上，教師應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)，根據(jù)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在多元化的情境中親歷知識(shí)的形成與發(fā)展過程，從而培育出卓越的探究技能與邏輯思維能力.

例如本節(jié)課，教師從學(xué)生熟悉的“兩線四角”模型切入，引導(dǎo)學(xué)生在此基礎(chǔ)上添加一條直線，構(gòu)建出“三線八角”模型，實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)的平滑銜接 . 關(guān)于探索是否存在公共頂點(diǎn)角的問題，旨在讓學(xué)生直觀感受直線位置關(guān)系對(duì)角分類的影響，進(jìn)而引出“同位角”這個(gè)概念 . 為了促進(jìn)學(xué)生自主運(yùn)用角的數(shù)量關(guān)系來推斷平行線的位置關(guān)系，教師引領(lǐng)學(xué)生共同回顧了兩條直線垂直的判定方法 . 在類比思想的作用下，學(xué)生成功實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的正遷移 . 從上述教學(xué)設(shè)計(jì)來看，本節(jié)課的核心在于強(qiáng)化知識(shí)的前后關(guān)聯(lián)，真正實(shí)現(xiàn)了新舊知識(shí)的無縫對(duì)接，使得新知的構(gòu)建過程更加嚴(yán)謹(jǐn)且富有邏輯性.

2.精心設(shè)計(jì)教學(xué)問題

問題是數(shù)學(xué)課堂不可或缺的基石，課堂的成效往往取決于這些或大或小的問題 . 此處所言的問題，并非單純指學(xué)生需解答的傳統(tǒng)“題目”，還可能是待完成的一些任務(wù).高質(zhì)量的問題，對(duì)于一節(jié)課而言，具有舉足輕重的地位，它們能夠“牽一發(fā)而動(dòng)全身”，引領(lǐng)整個(gè)課堂的節(jié)奏與深度 . 核心素養(yǎng)背景下的問題，需在“以生為本”理念的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)情與教情精心創(chuàng)設(shè) .

本節(jié)課的教學(xué)流程之所以自然、樸實(shí)、流暢，是因?yàn)橛胸S富的問題支撐了整個(gè)課堂 . 學(xué)生的思維在問題的驅(qū)動(dòng)下，由淺入深、逐層遞進(jìn) .學(xué)生不僅建構(gòu)了系統(tǒng)的知識(shí)體系，還掌握了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比分析等思想方法，形成了良好的數(shù)學(xué)邏輯推理、抽象概括、直觀想象等素養(yǎng).

3.注重活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的經(jīng)歷及其內(nèi)化知識(shí)后的感悟與認(rèn)識(shí).每位教師對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的領(lǐng)悟不盡相同，其在實(shí)際教學(xué)中的落實(shí)也各具特色，甚至有個(gè)別教師直接忽視了對(duì)學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注與培養(yǎng).學(xué)生參與了哪些活動(dòng)？這些活動(dòng)又為學(xué)生帶來了哪些深刻的體悟與收獲？等等.此類問題，無疑是課堂教學(xué)中必須深入探究與密切關(guān)注的重要內(nèi)容.

莎士比亞曾說：本來無望的事，大膽嘗試，往往能成功.縱覽本節(jié)課教學(xué)，學(xué)生不僅在課堂中基于已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)了新的知識(shí)體系，還掌握了知識(shí)的縱橫類比與遷移能力，提煉了數(shù)學(xué)思想方法，形成了求真務(wù)實(shí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.這一過程充分體現(xiàn)了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累對(duì)核心素養(yǎng)發(fā)展的推動(dòng)作用.

受傳統(tǒng)教學(xué)理念的影響，當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)仍存在一些不足之處，如“掐頭去尾，僅留中間”“忽視過程，重視結(jié)果”等，致使學(xué)生陷入被動(dòng)接受知識(shí)的思維模式中，難以全面且有效地促進(jìn)其核心素養(yǎng)的發(fā)展.作為一線數(shù)學(xué)教師，應(yīng)敏銳地洞察這些問題，并致力于激發(fā)學(xué)生的思維活力，將核心素養(yǎng)融入每一節(jié)課堂之中，旨在達(dá)成深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)，從而推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與提升.