回歸原點 探尋本質 發展素養

［ 摘 要 ］新課程背景下的中考命題常以策略性知識作為試題背景，基于高立意的視角考查學生的基礎知識、關鍵能力與素養水平等．在教學試題時，教師要將“就題論題”模式上升至“融會貫通”模式，讓學生通過探索一道題獲得解決一類題的能力．研究者以一道中考題為例，分別從解題分析、回歸原點與變式應用三個方面展開教學實踐與思考．

［ 關鍵詞 ］原點；本質；素養；中考題

數學例題包含了與課程相對應的知識要點，是學生實際應用新知的起點．帶領學生回歸到知識原點，探尋問題本質，不僅能促使學生更好地掌握“四基”，還能進一步發展學生的“四能”，讓學生在探索中提煉思想方法，為發展核心素養奠定基礎．日常教學中，常會發現一些學生存在解題思路狹窄，只能通過模仿解決問題，無法達到深度學習的要求．究其主要原因還在于教學例題時，教師沒有充分挖掘出問題的教育價值，學生沒有真正發散思維，缺乏觸類旁通的學習能力．面對這些問題，應該怎么辦？本文以一道中考題為例，探討解決之法．教學實踐

原題呈現 如圖 1，已知矩形ABCD 中邊 AB，AD 的長度分別為b，a（單位：cm） ，且 a＞b＞4 ，矩形內有一個半徑為2 cm的⊙ O 分別與邊 AB，CD 成相切的關系．有一個動點 P 在矩形 ABCD 的邊上，沿著由 A → B → C → D 的方向勻速移動，即以點 A 為起點，運動到點 D處停止；⊙ O 在矩形內沿著 AD 勻速向右側平移，當平移到與邊 CD 相切的位置時，再勻速向左側平移，直至與邊 AB 相切停止．按照這種規律，當點 P 與⊙ O 同時開始移動，各自到達終點時所用的時間一樣．

問題：（1） 用含有 a，b 的式子表示點 P 從點 A 處出發，移動到點 D處，共運動了________ cm ．

（2） 若點 P 以點 A 為起點，運動至點 B 處需2 s，繼續移動，當抵達 BC 的中點時，又用了 3 s．假設⊙ O 與點 P 的運動速度是一樣的，那么當點 P 由點 A 出發，按順序移動到 BC 的中點時，⊙ O 運動的路程是多少？

（3） 如圖 2，若明確 a，b 的值分別為 20 cm、10 cm，那么當⊙ O抵達⊙ O 1 時，且圓心 O 1 位于對角線BD 上， PD 與⊙ O 1 為相切的關系嗎？說明理由．

1.解題探索

在中考復習階段，大部分學生都能順利完成前兩個問題，因此本研究不展開剖析．此處主要針對第三問進行深入探索與分析，教師帶領學生嘗試從一次函數的解析式與圓的方程兩個維度出發，通過方程組的聯立，將原本難以理解的問題轉化成學生所熟悉的一元二次方程存在解的問題．通過解題教學將學生的思維拉回到知識的原點，讓學生通過對知識本質的探索，獲得良好的解題能力，為銜接高中知識與發展核心素養奠定基礎．

分析 以上解題過程主要從圓和直線相切的維度展開探索，當圓與直線之間為相切的關系時，存在唯一一個公共點，這個公共點可用“圓所相對應的解析式”與“直線相對應的二元一次方程”聯立方程組之后的一個解來描述．

2.回歸原點

從本題的探索思路來看，這是一個值得深入探索的問題，它具有開放、靈活等特點．只有回歸問題原點，探尋問題本質，才能讓學生真正領悟到數學的魅力，為形成良好的邏輯推理、直觀想象等素養奠定基礎．

在追溯本題根源的過程中，筆者發現教材上有這樣一道例題：如圖 4，已知四邊形 ABCD 為一個矩形，其中邊 AB，BC 的長度分別為16 cm 與 6 cm，若動點 P 從點 A 出發，以 3 cm/s 的速度沿著 A → B 的方向移動，到點 B 處停止運動；在同一時刻，動點 Q 從點 C 出發，以2 cm/s 的速度向點 D 處移動．過多久之后，點 P，Q 之間的距離恰好為10 cm？

觀察原題與教材上所呈現的這道題，容易看出本節課探索的問題由教材上的例題改編而來，由此發現問題的母題．回歸原點，本題的核心是雙動點幾何問題，從“動”中探尋“靜”的規律為解題的關鍵．本題可借助勾股定理來構造一個一元二次方程解決問題．該怎樣讓學生通過解題完善認知結構，并提升解題能力與綜合素養呢？最好的辦法就是讓學生真正領悟問題中所蘊含的思想方法，并在經驗積累的基礎上不斷完善認知結構，為形成完整的知識架構奠定基礎．

探尋到知識原點之后，教師可帶領學生從教材內容與課標要求出發，深入探索問題本質，引導學生在求變與創新中發展“四基與四能”，為揭露本質、提升學力、發展素養奠定基礎．

3.變式應用

變式是在不改變問題本質的基礎上，拓寬學生思維的一種教學方式．解題教學中，變式的應用可增強學生綜合分析能力，讓學生學會從不同的視角觀察與分析問題，靈活處理不同背景下的問題，強化各個知識模塊間的關聯性，為提升學力與發展素養奠定基礎．

以上環節探索的是數量間的等量關系．研究變式時，可將問題關系拓展到不等關系中，以發散學生的思維，拓寬學生的解題思路．

變式1 如圖5所示，已知矩形ABCD 中邊 AB，BC 的長度分別為16 cm，6 cm，動點 P 以點 A 為出發

逐層遞進的變式，給學生的思考帶來了挑戰．不等式的應用與圖形的改變，進一步靈活了學生的思維，但問題本質上并沒有發生變化，學生只要基于以上解題思路稍加思考，即能順利獲得結論．如此設計，意在活化學生的思維，讓學生學會抓住問題本質解決問題，獲得解題技巧，發展推理能力．

教學思考

1.回歸原點是解題教學的基礎

教材是教學的依據，從教材中能探尋到中考試題的原型．當教師在與學生探討一些綜合性的問題時，可帶領學生回歸教材，通過對教材原題的分析與探討，增強學生的理解程度，此為解題教學的基礎．本節課所應用的例題為一道中考真題，從題干信息來看，問題確實有一定的難度．在學生的認知中，動點問題本身就很復雜．本題在動點問題的基礎上增加了動圓，使問題難度大幅提升，很多學生看到就想放棄．怎樣降低問題的難度，讓學生獲得良好的解題技巧呢？對此，教師帶領學生回顧教材中兩個動點問題，即引導學生回到問題的原點．這種回歸原點的教學方法，為學生的思維搭建了腳手架．隨著變式的應用，學生對這一類問題有了突破性的認知，此為解題技能融會貫通的過程，對發展學力具有重要價值．

2.探尋本質為解題教學的關鍵

數學思維的原點是感知，解題的基礎就是要充分感知條件所生成的信息，感知圖形所隱含的結論．探尋數學本質對數學教學來說至關重要，尤其對解題教學而言，揭露數學本質可讓學生更好地掌握解題技巧，為形成“四基與四能”“三會”能力奠定基礎．本節課，在一道中考真題的驅動下，學生積極開動腦筋，展開探索與分析，不僅開闊了視野，也有效發散了思維．為了增強學生的應用意識，教師與學生一起研究母題與變式，將問題的本質暴露在學生面前，促使學生形成良好的解題能力．

3.發展素養為解題教學的目標

新課標背景下的數學教學必然將核心素養的發展作為教學的導向，不論是新知教學，還是解題教學，抑或是試卷講評，時刻都需關注學生核心素養的發展．本節課的解題分析環節，有效發展了學生幾何直觀、推理能力、數學運算等素養；其他幾個環節，同樣致力于提升學生的學力，尤其注重培養學生的數學思維品質與關鍵能力，并取得了不錯的效果．