思維導(dǎo)圖與波利亞解題思想融合的教學(xué)實(shí)踐研究

霍云

摘要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要構(gòu)成.在新的教育生態(tài)下，如何整合現(xiàn)代教育技術(shù)與數(shù)學(xué)解題思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)解題，是當(dāng)前培養(yǎng)和發(fā)展初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的應(yīng)有之舉.以波利亞解題思想作為理論支撐，以“二次函數(shù)”教學(xué)實(shí)踐為載體，活用思維導(dǎo)圖，探索優(yōu)化數(shù)學(xué)解題過(guò)程、提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的實(shí)踐路徑.

關(guān)鍵詞：思維導(dǎo)圖；波利亞解題思想；初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)

數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程是學(xué)生遷移運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、感知數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程.在新課程改革持續(xù)推進(jìn)的背景下，數(shù)學(xué)教育工作者如何在傳授知識(shí)的基礎(chǔ)上，促使學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)解題，是數(shù)學(xué)教學(xué)順應(yīng)新課程改革、提高教學(xué)質(zhì)效、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的應(yīng)有之義.波利亞的數(shù)學(xué)解題思想則為提高學(xué)生解題能力、教會(huì)學(xué)生思考提供了理論支撐.波利亞的解題思想具體地體現(xiàn)在《怎樣解題》一書(shū)中，他將解題過(guò)程分為“理解問(wèn)題、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、檢驗(yàn)回顧”四個(gè)步驟.思維導(dǎo)圖作為一種現(xiàn)代教育形式，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，從而幫助學(xué)生理解問(wèn)題、明晰解題思路.本文中以“二次函數(shù)”教學(xué)為例，探索思維導(dǎo)圖與波利亞解題思想的有機(jī)融合，提高學(xué)生問(wèn)題解決能力.

1 以圖示意，理解問(wèn)題

理解問(wèn)題是解決問(wèn)題的前提.在理解問(wèn)題的過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生找出題目蘊(yùn)含的未知和已知信息，分析已知量與未知量的關(guān)系，幫助學(xué)生明確問(wèn)題的本質(zhì)、求解的條件和目標(biāo).在此環(huán)節(jié)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)題目中的已知條件，整合已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，繪制思維導(dǎo)圖，以圖示意，在梳理題目信息的過(guò)程中找到解題的關(guān)鍵信息.

例1 根據(jù)“上加下減、左加右減”的圖象平移規(guī)律，分別畫(huà)出函數(shù)y=x²，y=2x²，y=-2x²，y=2x²-3，y=2（x+4）²，y=2（x+4）²-3的圖象.

師：以一般式y(tǒng)=ax²+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）為例，其中的系數(shù)a，b，c分別有什么作用？

生1：a的正負(fù)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向.

生2：a與b決定對(duì)稱(chēng)軸的位置.

生3：c決定拋物線(xiàn)與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

師：y=a（x-h）²+k（a≠0）是二次函數(shù)的什么形式？h和k的意義分別是什么？

生：頂點(diǎn)式.h和k分別是拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).

師：頂點(diǎn)式和一般式可以相互轉(zhuǎn)化嗎？如果可以，頂點(diǎn)式中的h和k與一般式中的系數(shù)a，b，c之間是否存在關(guān)系？存在怎樣的關(guān)系？

生：頂點(diǎn)式和一般式可以相互轉(zhuǎn)化.h=-b/2a，k=4ac-b²/4a.

在師生的對(duì)話(huà)交流中，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)和梳理關(guān)于二次函數(shù)圖象的知識(shí)點(diǎn)，從而形成如圖1所示的思維導(dǎo)圖.

2 按圖索旨，擬定計(jì)劃

擬定計(jì)劃是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，同時(shí)也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、引導(dǎo)學(xué)生形成解題思路的重要過(guò)程.波利亞解題思想認(rèn)為在擬定計(jì)劃階段，解題者在理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上，應(yīng)對(duì)要解決的問(wèn)題進(jìn)行模式識(shí)別，熟練運(yùn)用已有的解題經(jīng)驗(yàn)和掌握的數(shù)學(xué)思想方法，在知識(shí)遷移運(yùn)用的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生題目的解決方案.按圖索旨，讓學(xué)生通過(guò)思維導(dǎo)圖重構(gòu)自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，將零散的知識(shí)信息變?yōu)橄到y(tǒng)化的知識(shí)體系，使學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，可以快速在腦海中找到解決問(wèn)題所需要的知識(shí).

例2 將拋物線(xiàn)y=（x-3）²-4沿著直線(xiàn)y=2x-10的方向平移，平移后的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，10），則平移后得到的拋物線(xiàn)的解析式是什么？

分析：例2是例1的延伸，學(xué)生面對(duì)此問(wèn)題時(shí)，會(huì)在已有經(jīng)驗(yàn)中搜索關(guān)于此類(lèi)問(wèn)題的解題方法，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律，形成如圖2所示的思維導(dǎo)圖.同時(shí)，在數(shù)學(xué)建模思想的作用下，設(shè)平移后的拋物線(xiàn)解析式為y=（x+h）²+k，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)得出平移前的拋物線(xiàn)y=（x-3）²-4的頂點(diǎn)為（3，-4），且點(diǎn)（3，-4）在直線(xiàn)y=2x-10上，由此推斷出平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-h，k）也在該直線(xiàn)上，將（-h，k）代入y=2x-10中，得k=-2h-10，又10=（0+h）²+k，很容易就會(huì)求出h和k的值，從而得到平移后的拋物線(xiàn)解析式.

3 以圖梳理，執(zhí)行計(jì)劃

執(zhí)行計(jì)劃是學(xué)生將解題思路具體化的階段，也是鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、養(yǎng)成良好答題習(xí)慣的重要過(guò)程.解題者可以通過(guò)思維導(dǎo)圖梳理解題思路，使解題過(guò)程的書(shū)寫(xiě)邏輯性更強(qiáng).

例3 已知a∈R，二次函數(shù)f（x）=x|x-a|，求f（x）在區(qū)間［1，2］上的最小值.

分析：該函數(shù)的關(guān)鍵為|x-a|的取值，結(jié)合定義域發(fā)現(xiàn)，此題需要運(yùn)用分類(lèi)討論思想，根據(jù)a的取值分為三種情況討論f（x）在區(qū)間［1，2］上的最小值.本題的思維較為復(fù)雜，如圖3所示的思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生在復(fù)雜抽象的問(wèn)題情境中明晰解題過(guò)程，繪制思維導(dǎo)圖的過(guò)程也是拓展學(xué)生思維的過(guò)程.

4 借圖發(fā)散，檢驗(yàn)回顧

檢驗(yàn)回顧是促進(jìn)學(xué)生強(qiáng)化、內(nèi)化知識(shí)的過(guò)程，在幫助學(xué)生檢驗(yàn)問(wèn)題解決準(zhǔn)確性、梳理解題過(guò)程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)問(wèn)題中蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)，以及解決問(wèn)題所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法，更新知識(shí)體系，同時(shí)思考是否存在更優(yōu)化的解題方法，積累解題經(jīng)驗(yàn).

例4 某一運(yùn)動(dòng)服裝專(zhuān)賣(mài)店，在8月份上市了新設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)套裝，已知該運(yùn)動(dòng)套裝的進(jìn)價(jià)為180元/套，若售價(jià)為340元/套，則每月可以賣(mài)出50套，售價(jià)每下降10元每月就會(huì)多賣(mài)出6套運(yùn)動(dòng)套裝，為了獲得最大利潤(rùn)，現(xiàn)將每套運(yùn)動(dòng)套裝降價(jià)x元（x為10的倍數(shù)），每月運(yùn)動(dòng)套裝的銷(xiāo)量為y（單位：套），月利潤(rùn)為W（單位：元）.

（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式；

（2）如何確定售價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

分析：第（1）問(wèn)部分學(xué)生通過(guò)繪制思維導(dǎo)圖（如圖4），找到了y與x之間的關(guān)系，隨即確定函數(shù)解析式為y=50+35x.在檢驗(yàn)回顧環(huán)節(jié)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，得到除以上解題思路外是否還有其他解題方式，如比例法，同時(shí)，延伸比例法在相似圖形解題過(guò)程的應(yīng)用，拓展學(xué)生解題思路.

第（2）問(wèn)考查二次函數(shù)最值問(wèn)題，一般來(lái)講，二次函數(shù)的最值在頂點(diǎn)處取得，但是也存在特殊情況.教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題具體分析自變量的取值范圍，進(jìn)而求出最大值或者最小值.

根據(jù)波利亞解題思想與思維導(dǎo)圖的融合，在以圖示意、按圖索旨、以圖梳理、借圖發(fā)散的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)理解問(wèn)題、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃、檢驗(yàn)回顧的解題過(guò)程.一方面，幫助學(xué)生梳理解題思路，為學(xué)生指明解題思維方向，優(yōu)化解題過(guò)程，發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的解題能力；另一方面，在解題過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

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