一題多解闊思路，發散思維形成中

洪堅

摘 要： 本文通過一道圓的相關題目，引導學生學習輔助線的多樣添法，利用“一題多解”，歸納總結出圓中計算求值的基本方法，滲透、活化所學的知識，達到“講好一題，帶活一片”的效果.有關圓中計算求值的一般方法有：一、 構造相似三角形，利用對應邊成比例求解；二、 構造直角三角形，利用勾股定理求解； 三、 尋找其他量，利用等量關系轉化.講好一道題，歸納多種解法，比較解法的優劣，做到舉一反三，觸類旁通，真正培養學生的發散思維、創新思維能力.

關鍵詞： 一題多解；發散思維；創新意識

“怎樣才能學好數學呢？”這是讓絕大多數學生頭疼的問題.常言道：熟能生巧.很多老師認為學好數學最為有效的方式就是多刷題，通過多做練習題來提升數學成績.因此，“題海戰術”便得到了部分數學老師的認同.確實“題海戰術”會有一定的作用.但是數學題是做不完的.尤其在“雙減”的背景下，既要讓學生學好數學知識，還要減輕學生的課業負擔，這就要求提升學生的數學思維能力.因此，教師要激發學生的學習興趣，培養學生的數學思維能力，在盡可能減少練習題的情況下提升學生的學習效果.

圓是初中數學學習的一塊重要內容，而圓中經常需要添加輔助線，這是學生學習的一個難點，學生思維不開闊，往往無從下手.筆者在教學中，通過圓中一個題目，引導學生學習輔助線的多樣添法，利用“一題多解”，歸納總結出圓中計算求值的基本方法，滲透、活化所學的知識，收到“講好一題，帶活一片”的效果.［1］

例題 ??（原題） ：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90 ° ，以AB為直徑的圓O交BC于點F，連接OC，過點B作BD//OC交圓O于點D.連接AD交OC于點E.

（1） 求證：BD=AE.

（2） 若OE=1，求DF的值.

分析： ?（1） 第一小題的證明.AB=AC，∠AEC=∠BDA=90 ° ，∠ACE=∠BAD得△AEC≌△BDA，所以BD=AE.（2） 對于第二小題，當OE=1時，利用中位線性質，有BD=2OE=2，從而有AE=2，DE=2，OA= 5 ，AB=AC=2 5 ，BC=2 10 ，BF=CF= 10 .在這樣的基礎上，因考慮的角度不同，能得到不同的解法.

這樣，通過一題多解，讓學生對相關的基礎知識有了更加深入的了解，對基礎知識進行了強化和鞏固，從而在解題過程中讓學生發散思維，培養了學生探索問題的能力和解決問題的能力，這樣可以解決圓中一大片有關計算的問題.現歸納如下：

1 構造相似三角形，利用對應邊成比例求解

利用相似三角形的對應邊成比例求線段的長度，是初中幾何計算的重要方法.我們首先要熟悉相似三角形常見的基本類型，如：平行型、斜交型、旋轉型和垂直型等.利用相似三角形，本題提供如下四種解法：

（1） ??分析： ?因為DF是△BDF一條邊，圖中已有∠BFD=∠BAD，所以只要再有兩個角對應相等，就可以構造相似三角形，連接BE，就有共點旋轉型相似三角形△BDF和△BEA.

解： ?連接BE，

∵∠ABC=∠DBE=45 ° ，

∴∠FBD=∠ABE.

∵∠BFD=∠BAE.

∴△BFD∽△BAE，

∴ DF AE = BF BA .

∴ DF 2 = ?10 ?2 5 ?.

∴DF= 2 .

（2） ??分析： ?根據同弧所對的圓周角相等，有∠ABC=∠ADF，所以想到連接AF，構造DF邊所在的△ADF，再利用∠DAF=∠DBF=∠OCB，構造相似三角形△ADF和△CBO.

解： ?連接AF，

∵OC∥BD，

∴∠OCB=∠DBF.

∵∠DAF=∠DBF，

∴∠OCB=∠DAF.

∵∠ADF=∠CBO，

∴△AFD∽△COB.

∴ AD CB = DF BO .

∴ 4 2 10 ?= DF ?5 ?.

∴DF= 2 .

（3） ??分析： ?記AD，BC交于點G.利用OC//BD，聯想到“X”型的三角形相似，有△CEG與△BDG相似.同時可證 △BEG與△FDG相似.

解： ?連接BE，

∵BD=DE=2，∠BDE=90 ° ，

∴BE=2 2 ，∠BED=45 ° .

∵OC∥BD，

∴△CEG∽△BDG.

∴ EG DG = CE BD =2.

∵∠ADF=∠ABC=45 ° =∠BED，

∴BE∥DF.

∴△BEG∽△FDG.

∴ DF EB = DG EG = 1 2 .

∴ DF 2 2 ?= 1 2 .

∴DF= 2 .

（4） ??分析： ?圓中有兩條相交的弦，利用蝴蝶型相似，有△BAG與△DFG相似.

解： ?∵OC∥BD，

∴△CGE∽△BGD.

∴ EG DG = CE BD =2.

∵DE=2，

∴DG= 2 3 ，EG= 4 3 ，BG= 2 10 ?3 ，AG= 10 3 .

∵△BAG∽△DFG，

∴ BA DF = BG DG .

∴ 2 5 ?DF = ?2 10 ?3 ??2 3 ?.

∴DF= 2 .

2 構造直角三角形，利用勾股定理求解

圓的證明與計算中經常會出現直徑、切線等比較特殊的條件，那么在相關的證明或計算中必然利用圓周角定理及其推論、垂徑定理、切線判定以及性質的相關條件尋找或構造直角三角形，在相關計算中運用勾股定理建立線段之間的關系，從而構造方程解決問題.利用勾股定理，提供兩種解法如下：

（5） ??分析： ?由于∠BFD=∠BAD，是定值，并且由于直角△BAD邊長確定，相當于∠BFD的大小是確定的，所以過D作DF⊥BC于M，構造以DF為邊的直角△FMD，利用勾股定理，構造方程求解.

解： ?連接AF，過D作DM⊥BC于M.

∵OE=1，∴BD=2.

∴AE=BD=2，OA= 5 ，AB=2 5 .

∵AF=BF，∠AFB=90 ° ，

∴AF=BF= 10 .

∵∠BFD=∠BAD，

∴ tan ?∠BFD= tan ?∠BAD= 1 2 .

設DM=a，則FM=2a，DF= 5 a，BM= 10 -2a，

∴a2+（ 10 -2a）2=22.

解得a 1= ?10 ?5 ，a 2= 3 10 ?5 （舍去），

∴DF= 5 a= 2 .

（6） ??分析： ?由于∠ADF=∠ABC＝45 ° ，是特殊角，所以過點F作FH⊥AD于H，可以構造以DF為底邊的等腰直角△FHD和直角△AFH，利用勾股定理，構造方程求解.

解： ?連接AF，過P作FH⊥AD于H，

設DH=FH=x，則

x2+（4-x）2=（ 10 ）2，

解得x 1=1，x 2=3（舍去），

∴DH=FH=1，

∴DF= 2 .

3 尋找其他量，利用等量關系轉化

對于一個數學問題，根據已知條件不能直接得出所求結果，需要借助其他一些數據，這個數據可以稱為中間量，中間量是轉化問題的橋梁，有時候是解決問題的關鍵，通過中間量的代換，從而建立等量關系達到解題的目的.利用等量關系轉化，提供三種解法如下.

（7） ??分析： ?由題中△ABC是等腰直角三角形這個條件，連接AF，則AF是底邊BC上的高，AF=BF= 10 ，又有BD=AE，∠DBF=∠DAF，聯想到全等三角形，連接EF，有△BDF和△AEF全等，從而有DF=EF.

解： ?連接EF，AF.

∵OE=1∴BD=2，

∵△ABD≌△CAE，

∴AE=BD=2.

∴DE=AE=2.

∵DF =DF ，

∴∠DBF=∠EAF.

∵△ABF是等腰直角三角形，

∴AF=BF.

∴△BDF≌△AEF.

∴DF=EF.

∵∠EDF=∠ABC=45 ° ，

∴△DEF是等腰直角三角形.

∴DF= DE ?2 ?= 2 .

（8） ??分析： ?由已知∠ADF=∠ABC＝45 ° ，∠ADB=90 ° ，聯想到等腰直角三角形，所以延長FD可以構造等腰直角三角形，從而利用等量關系求出DF.

解： ?過B作BH⊥FD于H.

∵∠BFH=∠BAD，

∴ sin ?∠BFH= sin ?∠BAD= BD AB = 2 2 5 ?= ?5 ?5 .

∴ BH BF = ?5 ?5 ，而BF= 10 .

∴BH= 2 ，HF=2 2 .

∵△BHD是等腰直角三角形，

∴HD=BH= 2 .

∴DF=HF-HD= 2 .

（9） ??分析： ?由已知∠ADF=∠ABC＝45 ° ，∠DEF=90 ° ，聯想到等腰直角三角形，所以延長DF交CE于H，就可以得到等腰直角△DEH，從而利用等量關系求出DF.

解： ?延長DF交CE于H，連接EF.

由已知可得△BDF≌△CHF，

∴CH=BD=2，DF=HF.

∵CE=4∴EH=2=DE，

∵∠DEH=90 ° ∠ADF=∠ABC=45 ° ，

∴△DEH是等腰直角三角形.

∴DH= 2 DE=2 2 .

∴DF=HF= 2 .

解決問題的策略、方法和途徑可以是多種多樣的，《數學新課程標準》（2011版）強調了這種“多樣性”，并且希望學生由此發展創新意識.對于第一問出現不同的解決方法時，教師應該因勢利導，引導學生自主討論，分析和對比不同方法的優劣.學生在解決問題的過程中鍛煉了解決問題的能力，培養了創新意識.

本題的多種解法，讓我們看到了數學思想方法的多樣性，培養了學生的發散思維、分析能力、創新意識.通過一題多解，可以尋找一種最優、最簡便的方法，掌握“一題多解”能拓廣思維力度，還能夠對相關基礎知識進行鞏固，同時培養了學生的數學思維和創新能力.所以，講好一道題，歸納多種解法，比較解法的優劣，能更大程度的激活思維.做到舉一反三，觸類旁通，讓學生切身感受到數學的魅力和樂趣.

參考文獻：

［1］ 李美華.“一題多解與一題多變”在培養學生思維能力中的價值研究［J］.數學學習與研究，2018（10）：137.