高中數學中變式訓練教學的實效性探析

艾焰

摘 要： 高中數學相比初中階段所學的數學知識有更強的理論性和邏輯性，難度也增加了很多.為取得更好的教學效果，教師經常會使用變式訓練這一教學方式來促使學生增強對知識和方法的理解，讓學生在解題過程中能迅速理清解題思路，得到正確有效的解題方法.

關鍵詞： 高中數學教學；變式訓練；實效性

1 變式訓練的必要性

變式訓練教學是指學生在掌握了基本知識和基本解題方法之后，在原有的問題上進行適當的改變，這種改變可以是對原問題中的部分條件加以調整，也可以對原問題的結論進行調整，變成一個新的問題.新問題與原問題在所用知識和解決方法上有一定的關聯和相似度，但又不完全一樣，這就對學生帶來一定的挑戰，好的變式訓練能高效地培養學生對知識的理解能力以及對問題的解決能力，能促使學生拓展思維，增加思考的廣度和深度，極大地增強課堂的教學效果.

2 變式訓練的幾點基本原則

2.1 明確變式訓練的目標

我們的課堂始終是圍繞明確的教學目標開展的有效活動，所設計的變式訓練也是為了更好地完成教學目標而進行的.數學課堂中的每一個例題都有明確清晰的目標導向，例題對應的變式訓練的功能則是更加全面深入地完成這一目標.

2.2 提高學生參與變式的主動性

變式訓練的作用是幫助學生更全面深刻地理解某個知識點或某種解題方法，遇到新問題時也能輕松自如的應對.高中生面對的數學問題有很強的邏輯性和系統性，思維難度也較大，所以在進行例題的變式時，應積極地啟發學生，讓學生在掌握例題的數學本質的基礎上，去提出、分析并解決新問題.在這一過程中，學生會對這一問題所涉及的知識點和方法有一個全面深入的思考，并做一些預判，如何改會降低問題的難度，如何改會加大難度，或者改動某個條件和某數據就會變成不一樣的問題等等.這種研判的過程正是學生主動思考自主創新的過程，當學生思考成熟后提出的變式就成了學生原創的數學題，這會極大提升學生學習數學的自信心和滿足感，刺激學生學好數學的強烈的愿望.所以教師一定要引導學生積極主動地參與到變式訓練的研究中來.

2.3 增加變式訓練的思維廣度與深度

在教學過程中，基于每堂課的教學內容、教學目標不同，我們對變式訓練的要求也不同.我們有的課以概念定理為主，有的課以專題復習為主，也有的課以練習講解為主，不同的課有不同的教學任務，這就對變式訓練提出不同的要求.比如以概念為主的新授課，做變式時應為概念的辨析服務；而我們在以例題講解、定理應用為主的課堂中，所設計的變式就要求在數學思維方面有所拓展，引導學生從多個角度多個層次去改編原有的問題，增加課堂的邏輯思維量.這對于提高課堂的思維容量、鍛煉學生的邏輯思維能力有極大的幫助.

3 變式訓練的運用策略

3.1 深化學生對數學概念的理解

高中數學中，學生需要掌握許多抽象的數學概念，這些基本概念是高中數學的根基，它們揭示了數學知識的本質與內涵.許多同學在初學時無法理解或者只是一知半解.這時我們需要借助變式訓練，將抽象的數學概念借助某個對象來形象化、具體化，體現出概念的外延，使學生更容易接受.比如高一階段學生在學習函數性質時，有一個重要概念是函數的單調性，單調性的概念是：設函數y=f（x）的定義域為D，且ID.如果對于任意的x 1，x 2∈I，當x 1＜x 2時，都有f（x 1）＜f（x 2），則稱y=f（x）在I上單調遞增.對于這個概念的掌握分為兩個方面，一是對于任意兩個字的理解，如果一味地和學生強調x 1，x 2是區間I上的任意兩個量，學生依然覺得很抽象不易理解，這時如果給學生一個變式：如果1，2是區間I中的兩個量，且f（1）＜f（2），能否判斷函數f（x）在區間I上單調遞增？學生經過思考，立刻會得出否定的答案，因為很容易舉出滿足條件但是在區間I上卻不是單調遞增的函數.所以通過這一簡單的變式，能幫助學生更好地理解任意這兩個字的內涵.二是對“當x 1＜x 2時，都有f（x 1）＜f（x 2）”這句話的理解，學生用自己的語言描述就是自變量小對應的函數值也小.這句話言簡意賅，通俗易懂，但是我們需要將其轉化為數學表達式.這時再引導學生給出另一個變式：如果對于任意的x 1，x 2∈I，均滿足（x 1-x 2）［f（x 1）-f（x 2）］＞0，函數f（x）在區間I上具有單調性嗎？學生通過該變式會發現函數單調遞增的本質是（x 1-x 2）與［f（x 1）-f（x 2）］同號，許多學生會得出另一個變式：如果對于任意的x 1，x 2∈I，均滿足 f（x 1）-f（x 2） x 1-x 2 ＞0，則函數f（x）在區間I上單調遞增.這樣的變式訓練能很好地幫助學生深刻地理解那些抽象的數學概念.

3.2 完善學生的知識體系

高中數學的課堂教學中，對例題的變式訓練的研究會極大地提高課堂教學效果，提升學生解決一系列問題的能力.

比如這樣的一個問題：已知x，y滿足x2+y2=1，求x+2y的取值范圍.這個問題常見的解決方法是三角換元，令x= cos ?α，y= sin ?α，α∈ R ，將目標函數轉化為三角函數求值域.另一種解法是令S=x+2y，則y=- 1 2 x+ 1 2 S，學生很容易能得到當直線與圓相切時S分別取到最大和最小值.這個問題在做變式訓練的時候可以引導學生將條件做適當的變化，x2+y2=1表示的是單位圓的方程，學生自然能想到改變圓心坐標或改變半徑得到不同的圓方程，也能想到將圓方程改為橢圓方程；再引導學生從另一個角度做變式訓練改變目標函數時，學生想到x+2y是二元一次函數，它與直線的縱截距有關系，而我們學過的能直接表示幾何量的數學表達式還有一次比一次的分式函數（它表示斜率），還有x，y一次式的平方和（它表示距離的平方）.沿著這個思路，學生很自然地想到這樣的變式訓練.

變式1： ?已知x，y滿足x2+2y2=1，求x+2y的取值范圍.

變式2： ?已知x，y滿足x2+y2=1，求 y-2 x-3 的取值范圍.

變式3： ?已知x，y滿足x2+y2=1，求（x+1）2+（y+2）2的取值范圍.

由一個例題引出這樣的三個變式訓練，學生對于已知二元的約束條件求二元的目標函數的取值范圍問題這樣的一類型題就有了較為深刻的理解和掌握，真正做到舉一反三，使自己的數學知識以及解題方法系統化，取得很好的學習效果.

3.3 強化學生的探索性思維

高中數學中，學生經常會遇到一些探索性的問題，這類問題對于學生來說是一個難點.如果這類問題能得到有效的解決，將會極大提升學生的數學學習能力.而適當的變式訓練就是解決這類問題的行之有效的方法之一.比如我們在高三立體幾何的復習課中，遇到這樣一個問題：

在棱長為1的正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E是邊AB上的動點，且AE =λ AB ，λ∈［0，1］，F是BC的中點，是否存在λ，使得直線BD 1⊥平面B 1EF.

這是一個探索性的問題，若存在滿足條件的λ，使得直線BD 1⊥平面B 1EF，則直線BD 1一定垂直于直線B 1F，所以直線BD 1在平面BCC 1B 1的射影BC 1與直線B 1F垂直，而在正方形BCC 1B 1中這樣的垂直關系不成立，所以不存在滿足條件的λ.在題目的分析過程中，發現直線BD 1在平面BCC 1B 1的射影BC 1與B 1C滿足垂直關系，所以可以引導學生對這一題做一個變式訓練，將結論中的直線BD 1⊥平面B 1EF改為直線BD 1⊥平面B 1EC，則存在λ=0滿足題意.

對于探索性問題進行適當的變式訓練，在改變條件或結論的過程中能逐漸揭示問題的本質，能有效地降低這類問題的難度，能有效增加學生解決這類問題的能力和信心.

4 結束語

變式訓練的教學在高中數學中是教師們的一大法寶，通過變式訓練，使學生能更深刻地理解數學中的概念、定理，更靈活地運用各種解題方法，拓展解題思路.變式訓練也能幫助學生提高知識遷移應用能力和創新思維能力，更加全面地提升數學的學科素養，是教師教學、學生學習過程中不可或缺的重要方式.

參考文獻：

［1］ 史寧中，王尚志主編.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀［M］.北京：高等教育出版社，2020.

［2］ 劉軍，何志奇主編.高中數學新課標案例解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2020.