“圖形與幾何”小初銜接教學探索

摘要：從小學到初中，圖形與幾何領域內容在相互聯系、漸進發展的同時，又在數學表達、知識體系、研究方法等方面表現出一些明顯的差異。由此，做好圖形與幾何領域小初銜接教學，需要引導學生規范數學表達，注意靜動結合，學會知識梳理，聚焦尺規作圖，嘗試幾何推理。

關鍵詞：小初銜接；數學教學；圖形與幾何；實驗幾何；論證幾何

一、 教學內容分析

“圖形與幾何”是義務教育數學課程內容的四個領域之一。研究《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中圖形與幾何領域的課程內容，不難發現：初中階段“圖形的性質”主題是小學階段“圖形的認識與測量”主題的延伸，初中階段“圖形的變化”主題和“圖形與坐標”主題是小學階段“圖形的位置與運動”主題的延伸。進一步分析可以發現，從小學到初中，圖形與幾何領域內容在相互聯系、漸進發展的同時，又表現出一些明顯的差異：

一是數學表達方面。小學階段對圖形與幾何領域知識的表達更加直觀、具體、通俗，尤其是淡化了規范的定義，多使用描述性語言，注重圖形語言，便于學生借助經驗和直覺感悟、理解相關概念、性質、公式等，培養學生的直觀想象素養。初中階段對圖形與幾何領域知識的表達更為抽象、嚴謹、科學，尤其是指向數學本質，凸顯要素關系，注重數形結合，在培養學生直觀想象素養的同時，培養學生的抽象能力、推理能力。例如，對于軸對稱圖形，小學教材這樣描述：“對折后能完全重合的圖形是軸對稱圖形。”初中教材這樣定義：“把一個圖形沿一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形是軸對稱圖形。”相對而言，語言問題在圖形與幾何領域的學習中比在數與代數領域的學習中更突出，因為數與代數領域學習的就是規范化表達數量以及數量關系的數學語言。

二是知識體系方面。小學圖形與幾何領域內容教學的重點在于以觀察、操作為主，引導學生認識圖形特征（了解圖形概念），探索簡單的周長、面積、體積的計算方法。初中圖形與幾何領域內容的教學則在重新建構圖形定義的基礎上，以邏輯思維、推理論證為主，引導學生廣泛、深入地探索圖形的性質，包括有關的公式、結論。

三是研究方法方面。小學圖形與幾何領域內容的研究更注重直觀感知、操作體驗的手段，更關注實物圖形和幾何圖形之間的抽象和具現，更接近實驗幾何。因此，教學更多地借助實物教（學）具、多媒體軟件進行演示，更多地讓學生觀察、操作、實踐。初中圖形與幾何領域內容的研究更注重空間想象、邏輯推理，更關注幾何圖形及其性質之間的關系，更接近論證幾何。因此，教學的方式也更抽象一些。

二、 銜接教學建議

上述差異會讓剛踏入初中的大多數學生感到難以轉變，很不適應，因此，教師需要做好銜接教學。具體地，可以從數學表達、知識體系、研究方法等方面入手。

（一） 規范數學表達

小學階段，學生可以更多地用自己的語言描述性地表達圖形的概念、特征、性質、判定等。這樣的表達常常相對含混、模糊、隨意。對此，教師要循序漸進地引導學生對語言做規范化處理，使之更加明確、清晰、嚴謹，凸顯數學本質，從而與初中階段的規范表達做好銜接，也完善學生的數學理解，提升學生的邏輯思維。

例如，對于三角形概念，小學教材中的定義為“由三條線段首尾相接圍成的圖形”，而初中教材中的定義為“由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接組成的圖形”，給“三條線段”增加了“不在同一條直線上”的定語，給“首尾相接”增加了“依次”的狀語。再如，對于梯形概念，小學教材中的定義是“只有一組對邊平行的四邊形”，而初中教材中的定義是“一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形”，強調了另一組對邊的關系。這些都是教師在教學中可以引導學生規范數學表達的地方。

（二） 注意靜動結合

初中圖形與幾何領域的學習更關注圖形要素之間以及圖形之間的關系。而多個圖形（要素）之間的關系常可以通過單個圖形（要素）的運動變化顯現出來。比如，點動成線，線動成面，面動成體。因此，在小初銜接教學中，教師要注意動靜結合，引導學生在靜態認識的基礎上，充分發揮直觀想象，適當開展動態探究，更好地認識圖形的特征與性質。

例如，小學學習《圓的認識》一課，僅通過看、折、量等活動探究發現圓的特征，是靜態認識的過程，不能很好地認識圓“一中同長”的數學本質。對此，應當引導學生在圓（或圓上的點）繞圓心轉動的過程中再認識圓，感受到圓是與定點之間的距離保持定長的所有點的集合（形成這個感受即可，不必知道“集合”這個概念），從而理解為什么同一圓內的半徑都相等，更好地認識圓的本質，為初中學習圓的規范定義做好鋪墊。

（三） 學會知識梳理

初中圖形與幾何領域的知識更豐富，從而更關注知識的相互聯系形成的整體結構。因此，在小初銜接教學中，教師要引導學生學會梳理知識結構，整體理解圖形以及圖形關系的有關知識。為此，教師需要重點引導學生在具體圖形的研究中，體會圖形研究的基本角度與一般步驟。如從“點、角、邊”的角度研究平面圖形，從“點、棱、面”的角度研究立體圖形，借助已有圖形知識體系類比研究新的圖形，按“定義—表示—特征—分類—性質—判定—應用”的順序研究圖形。同時，要在適當的時候，如單元復習、期末復習、總復習中，給予學生自主梳理的空間，以問題驅動的方式，引導學生嘗試運用思維導圖、知識結構圖等，建立所學圖形知識的結構體系。

（四） 聚焦尺規作圖

尺規作圖一直是初中幾何的重要內容。新課標圖形與幾何領域內容最重要的一個變化就是，在小學階段增加了尺規作圖的內容及要求。［1］用測量工具作圖主要基于對長度、角度等的測量，是實驗性的；而尺規作圖主要基于對圖形性質的推理，是邏輯性的。因此，尺規作圖是圖形與幾何領域小初銜接教學重要的聚焦點。教師要引導學生認識尺規功能，厘清作圖步驟，探明作圖道理，以建立直觀操作與抽象推理之間的聯系，理解知識關系，發展邏輯思維。

例如，教學“三角形三邊關系”時，教師可以給定的三條線段（如圖1所示），讓學生用尺規作三角形。學生在嘗試中，會從將第二條邊與第三條邊的端點“湊”到一塊的方法，進階到畫兩條弧相交來確定第三個頂點的方法（如圖2所示），但是不能清晰地說明背后的道理。對此，教師要引導學生溯源推理，啟發學生思考：為什么兩條弧的交點是三角形的第三個頂點？再組織學生交流，使其理解：以點B為圓心所畫的弧上所有點到點B的距離都等于b，以點C為圓心所畫的弧上所有點到點C的距離都等于c，所以兩條弧的交點A到點B的距離為b、到點C的距離為c，是符合要求的第三個頂點。

（五） 嘗試幾何推理

從小學到初中，圖形與幾何領域內容最大的變化是，從實驗幾何向論證幾何的轉變。因此，在小初銜接教學中，教師要引導學生嘗試進行幾何推理，用簡單（一兩步）的推理論證幾何結論，從而不僅培養學生的直觀想象素養，而且培養學生的推理能力。

例如，教學“三角形內角和”時，教師可以引導學生思考：除了用“拼一拼”“量一量”的方法，如何能證明三角形的內角和是180°？對此，教師可以引導學生借助密鋪原理，即任意一個三角形都能密鋪（如圖3所示），推理得出三角形的內角和是180°；也可以引導學生借助平行線來證明……此外，教師還可以引導學生利用三角形的內角和是180°，推理得出任意三角形至少有兩個銳角。類似地，教學“三角形三邊關系”時，教師可以引導學生利用“兩點之間線段最短”這一基本事實，推理得出三角形兩邊之和大于第三邊。

再如，“軸對稱圖形”的復習教學中，教師可以引導學生發現正三角形有三條對稱軸，正四邊形有四條對稱軸，正五邊形有五條對稱軸……正n邊形有n條對稱軸，進而發現n越大，正n邊形越接近圓，直至趨向于無窮大時，就成了圓，從而說明圓有無數條對稱軸。

參考文獻：

［1］ 呂世虎，顏飛.新課標“圖形與幾何”內容分析：從結構到要求［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（10）：11.

（湯琪，江蘇省蘇州市虎丘實驗小學校。蘇州市優秀教育工作者，蘇州市“教科研融合建議基地”項目先進個人，姑蘇教育青年拔尖人才，姑蘇區教壇精英。）