“數學運算”小初銜接教學探索

摘要：基于教學內容分析，對“數學運算”小初銜接教學提出建議：注重算理和算法的比較，溝通各種運算之間的聯系；運用運算定律和運算性質，鋪墊從“數”到“式”的變化；追溯數與運算知識的源頭，體會運算思維的發展性；加強針對性的專項訓練，提高運算能力。

關鍵詞：小初銜接；數學教學；數學運算；運算思維

一、 教學內容分析

運算是數學的核心內容之一，貫穿于各個階段的數學學習中。從小學到初中，數學運算的有關內容有兩大顯著變化：一是數的范圍從自然數、正小數、正分數擴充到有理數、實數領域，數的運算也相應地在加、減、乘、除的基礎上引入了乘方、開方，實現了由局部到“全局”（實際上是更大的局部）的跨越；二是運算對象從“數”擴充到“式”，即從算術運算過渡到代數運算，實現了由具體到抽象、由特殊到一般的跨越。具體的變化關系（銜接內容）如下：

關于有理數的運算，小學階段學習自然數、正小數、正分數的四則運算，分為加減、乘除兩級；初中階段學習有理數（包括負數）的加、減、乘、除、乘方、開方運算，分為三級，一般包括確定符號、進行計算兩個步驟。

關于運算律和運算性質，小學階段學習加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律，以及乘法對加法的分配律，還學習減法的性質、除法的性質等；初中階段數系擴充后，運算律和運算性質依然適用，但靈活運用的要求更高。

關于代數式的運算，小學階段學習用字母表示運算律和數量關系，以及簡單的代數求值；學習倍數關系和因數關系、公倍數和最小公倍數、公因數和最大公因數；還學習從長方形的面積公式推導出正方形、平行四邊形等平面圖形的面積公式。初中階段學習合并同類項和去括號的法則，簡單的整式加法和減法運算，簡單的整式乘法運算；學習因式關系、公因式、提取公因式，以及因式分解；學習分式的約分、通分，簡單的分式加、減、乘、除運算；還學習由面積公式推導出乘法公式。

二、 銜接教學建議

上述變化會讓剛踏入初中的大多數學生感到很不適應，因此，教師需要做好“數學運算”的小初銜接教學。總的來看，從小學到初中，雖然數學運算的內容以及形式都有很大變化，但是本質上的運算思維是一脈相承的。著名數學教育家弗賴登塔爾指出：運算的本質是計數，好的方法都強調計數。［1］運算思維是指為了更好地計數，在理解算理、應用算法的過程中產生的一系列類比、遷移、歸納、演繹、聯想、想象等思維活動。因此，從運算思維出發，突破外在的表象，探索運算的本質，是做好“數學運算”小初銜接教學的基本思路。具體地，需要做好以下幾點：

（一） 注重算理和算法的比較，溝通各種運算之間的聯系

算理決定算法。無論小學還是初中，各種運算的基本算理是一脈相通的。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出：數的運算教學應注重對整數、小數和分數四則運算的統籌，讓學生進一步感悟運算的一致性。［2］因此，我們在教學中，應注意引導學生比較算理和算法的共性和差異，溝通各種運算之間的聯系，形成對運算的整體認識。

例如，在“數的運算”的復習教學中，教師出示如下題組：① 278+1436=；② 37.3+9.92＝；③ 3/4-1/6＝。對此，學生在正確計算方面應該不存在困難。教師要重點引導學生通過練習分別復習整數、小數、分數加（減）法的計算法則。這三種運算表面上看有比較大的差異：整數加（減）法要求末位對齊；小數加（減）法要求小數點對齊；分數加（減）法強調通分（分母統一）。教師可以繼續引導學生從表面走向深入：實質

上，三個計算法則不是相互割裂的，它們的核心都是相同計數單位方可直接相加（減）。如此，返回算理進行解釋，將整數、小數、分數加（減）法的計算法則統一起來，突出本質，更有利于知識的理解和保持。

在學生認識到“數的加減運算就是‘基本單位相同的情況下，‘基本單位個數的加減運算”的基礎上，可以順勢拓展。比如2x+6x，“基本單位”是x，就是2個x加6個x等于8個x，即8x；再如7ab-3ab，“基本單位”是ab，就是7個ab減3個ab等于4個ab，即4ab；還如3/m+2/m，“基本單位”是1/m，就是3個1/m加2個1/m等于5個1/m，即5m。如此嘗試運用“基本單位”的方法來進行含有字母的式子的加減運算，學生進入初中以后，通過類比便能很快掌握和理解式的運算，特別是合并同類項。

此外，小學階段的計算教學，大多通過生活情境引入。如整數四則混合運算，就是通過模擬購物，先分步，再綜合，最后得出運算順序。這樣的編排符合小學生的年齡特征，也利于他們通過現實情境理解先乘除再加減的運算順序。進入初中以后，引入了乘方和開方運算，由二級運算拓展到三級運算。因此教學中，可以結合情境向學生說明：從運算的發展來看，加減法是最基本的運算，乘法是相同加數連加的簡便運算，除法則是相同減數遞減的簡便運算（也是乘法的逆運算），乘除法比加減法高一級，因此“先乘除再加減”既是解決實際問題的需要，也是基于運算意義的規定；而乘方可以看作乘法的簡便運算，開方則是乘方的逆運算，因此乘方、開方是更高一級的運算，要優先計算，這是由運算的意義以及運算之間的關系決定的。這樣，就便于學生循序漸進地理解和掌握三級運算的意義、關系以及順序。

（二） 運用運算定律和運算性質，鋪墊從“數”到“式”的變化

小學階段的運算主要是數的運算，通常需要從運算的意義出發，分析算理、得到算法，程序操作、得到結果。而初中階段的運算主要是代數式（整式、分式、有理式、根式等）的運算，更抽象，更一般，更凸顯數學本質，更適合解決問題，通常需要基于普遍成立的運算律、運算性質進行，是一種變形，而無具體結果。正如項武義先生所說的：代數學的基本思想就是有效、有系統地運用普遍成立的運算律（運算性質）去解答多種多樣的代數問題。［3］因此，要做好小初銜接教學，就要加強運算律和運算性質及其運用的教學，并做適當拓展。

例如，代數式的合并同類項運算（變形）其實就是“根據乘法分配律把同類項合并成一項”。小學高年級的教學中，可以安排這樣的練習：如圖1所示，求這個場地的總面積。對此，可以采取兩種方法計算，即15a+15a+15a+ab=45a+ab=（45+b）a與（15+15+15+b）a=（45+b）a，從而滲透運用乘法分配律合并同類項的基本方法。

其實，在小學低年級，學生也經常會做這

樣的練習：6個3加4個3等于10個3，6個3減4個3等于2個3……這正是乘法分配律歸結為乘法運算意義的具體化算理解釋。進而，在小學階段，還可加強運用乘法分配律進行簡便運算的各種變式練習，如：4.44×3.3+2.22×3.4=（2.22×2）×3.3+2.22×3.4=2.22×6.6+2.22×3.4=2.22×10=22.2，333×222÷666=（3×111）×（2×111）÷（6×111）=（3×2×111）×111÷（6×111）=（6×111）×111÷（6×111）=111。由此，讓學生通過找相同的“數”（項），體會“合并”的數學思想；借助“數”的運算，體會“式”的運算，從而感悟“數式相通”的道理。

此外，新課標雖然將“方程”的學習完全放在了初中，但是并沒有削弱小學階段代數思維的培養。這主要表現為提升了“用字母表示數”的要求，將其設置在“數量關系”主題下。［4］小初銜接教學中，教師需要注意引導學生用字母表示稍復雜的數量關系，體會其一般性，從而為初中學習代數式及其運算（變形）打好基礎。一方面，對具有一般性的數量關系，如運算律、計算公式、常見數量關系等，要注意突出字母表示；另一方面，對一些具體情境中的數量關系，如“爸爸的年齡是兒子的4倍，媽媽比兒子大26歲”，也要讓學生嘗試用字母來表示——設兒子今年a歲，則爸爸今年4a歲，媽媽今年（a+26）歲。

（三） 追溯數與運算知識的源頭，體會運算思維的發展性

從自然數開始，每擴充一次數的集合都是為了滿足某種運算的需要。［5］數與運算關系密切，相關知識是交叉遞進發展（螺旋上升）的。因此，在小初銜接教學中，要梳理整體觀念，注意引導學生回到數與運算知識的源頭去思考問題，主動對接小學與初中知識體系，體會運算思維的發展性。

例如，蘇教版小學數學五年級上冊《用字母表示數》單元中表示正方形的面積公式時，提到了“平方”的概念：“a×a可以寫成a·a，也可以寫成a2。a2讀作a的平方。”六年級上冊《長方體和正方體》單元中提到了“立方”的概念：“a·a·a也可以寫成a3，讀作a的立方。”而蘇科版初中數學七年級上冊《有理數》單元對“有理數的乘方”進行了系統的教學，并指出：“特別地，一個數的二次方，也稱為這個數的平方；一個數的三次方，也稱為這個數的立方。”這就溝通了前后知識的聯系，明確了“平方”和“立方”實質都是“求相同因數的積的運算”。

實際上，小學學習“平方”和“立方”主要是了解它們的意義、讀法和寫法，以及作為計量單位（如m2、cm3）的表示方式和含義；初中學習“乘方”則作為一種運算直接參與有理數的混合運算。對此，在小初銜接教學中，我們可以加強以下幾個方面的指導：

首先，讓學生在對比中理解a2和a3的意義，如a2=a×a表示2個a相乘，與2a=a+a表示2個a相加，在“形”與“意”方面相通。

其次，適當安排簡單的乘方運算，如32=3×3=9，43=4×4×4=64……在運算中，強調讓學生寫出過程，即幾個幾相乘，以加深對乘方意義的理解。除了求整數的乘方之外，還可以安排小數和分數的乘方運算，如0.1 2=0.1×0.1=0.01，0.23=0.2×0.2×0.2=0.008，（2/3）2=2/3×2/3=4/9……

再次，滲透含有乘方的混合運算的運算順序。對比初中和小學的混合運算，不同之處是初中增加了乘方運算的優先權。含有乘方的混合運算雖然是七年級的全新內容，但是在小學階段其實也有所涉及。例如，圓的面積計算公式S=πr2，圓柱的體積計算公式V=πr2h。教師可以強調類似含有“平方”的式子需要優先計算，并安排一些計算練習讓學生體會，如32-23，82-14，8+22等。需要注意的是，含有乘方的混合運算，除了乘方運算之外，其他運算以一步為宜。

最后，在六年級總復習階段，復習到“平方”和“立方”的知識時，也可以適當拓展，如：10×10寫作102，10×10×10寫作103，那么10×10×10×10可以寫作怎樣的形式呢？讓學生以找規律的形式合情推理，為后續學習科學計數法（乃至其他進制進率的表示方法）做好鋪墊。

此外，在知識銜接的過程中，還要抓住“變與不變”的辯證關系進行滲透，這是思維發展（學習遷移）的基本特征——無論類比、歸納、演繹還是聯想思維，都蘊含著變與不變的要素。比如，從正數加法到正、負數的加法（或正數的加、減法），要注意使用交換律（不變）時，不能忘記帶上符號（變），如5.2-216+2.8-56不能錯誤地變為5.2-2.8+216-56。再如，從因數分解到因式分解，注意體會質數、一次式的基礎性以及試商思想、待定系數法的普適性。

（四） 加強針對性的專項訓練，提高運算能力

大部分學生會在七年級學習有理數的相關運算時遇到困難，錯誤不斷。因為這時的運算相比于小學，不僅增加了負數（涉及相關的運算法則），而且混合程度較高，步驟較多，同時會出現假分數和帶分數。因此，在小初銜接教學中，可以適當增加一些針對性的專項訓練，以積累經驗，發展數感，鞏固基本的計算方法，提高學生的運算能力，提升計算的熟練度和準確率。

首先，加強分數與小數的互化訓練。如，對12=0.5、14=0.25、34=0.75、15=0.2、25=0.4、35=0.6、45=0.8、18=0.125、38=0.375、58=0.625、78=0.875、110=0.1、120=0.05、140=0.025、150=0.02等常用的分數與小數的互化，應熟記過關。

其次，加強分數與小數的專項運算訓練，如13+0.5、0.4-14、13×0.3、14÷0.2等，提高學生算法多樣化和優化的意識。當然，分數和小數的混合運算，重點是提高熟練度，步驟不宜過多。

再次，加強帶分數與假分數的互化訓練，如94=214、323=113等。同時，可以進行簡單的含有帶分數的加減運算，如214+12、413-123等；還可補充一些簡單的含有帶分數的乘除運算，如225×112、54÷214等。

最后，適當增加混合運算的步驟，提高學生計算的熟練度。如：48÷74÷12×134=48×47×112×74=4；2.25+5.1+14-418-910=2.25+5.1+0.25-4.125-0.9=2.575……

參考文獻：

［1］ 王永.數學化的視界——小學“數與代數”的教與學［M］.北京：北京師范大學出版社，2013：24.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：26.

［3］ 項武義.基礎代數學［M］.北京：人民教育出版社，2004：2.

［4］ 呂世虎，顏飛.新課標“數與代數”內容分析：從結構到要求［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（11）：12.

［5］ 史寧中.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題［M］.北京：高等教育出版社，2013：3.

（陸椿，江蘇省蘇州市虎丘教育集團金閶新城實驗小學校。蘇州市優秀教育工作者，蘇州市教科研先進個人，姑蘇教育青年拔尖人才。）