“數的認識”小初銜接教學探索

摘要：基于教學內容分析，對“數的認識”小初教學銜接提出建議：辨析分數與小數的關系，預埋有理數、無理數的概念；突出正數與負數的對應，鋪墊正負數的運算法則；漫話數系擴充史，構建“數的認識”知識網絡；完善“數的運算”內部邏輯，提升數學思維水平。

關鍵詞：小初銜接；數學教學；數的認識；數系擴充

一、 教學內容分析

“數的認識”是小學數學和初中數學共同的知識板塊。小學階段主要學習自然數（零與正整數）、正的有限小數和無限循環小數、正分數等；初步接觸負數，學會用負數表達與正數具有相反意義的量；并且學習小數和分數的轉化（不包括將無限循環小數轉化為分數）。初中階段系統學習有理數、無理數和實數，強調用數軸上的點表示實數，并且進一步研究它們的性質（如相反數、絕對值、倒數等）、運算和應用。同時，“數的認識”的學習在小學階段幾乎貫穿始終，在初中階段則比較“短平快”。

考慮到學生的年齡特征，雖然整數的認識從一年級就開始了，但是真正給出整數的定義則要到后期。分數和小數的認識更是跨越了兩個學段：三年級先初步認識，五年級再系統認識。漫長的學習過程中，學生在同一個數概念的版塊內不斷強化，很容易將整數、小數、分數三者分開來考慮，從而削弱了認識數概念發展脈絡的整體性考慮。

小學教材在分數的初步認識之后，安排小數的初步認識。分數的學習對小數意義的理解有著直接的影響。學生普遍能理解小數是十進分數的另一種表達形式，但也有部分學生會因此認定所有的小數都可以轉化成十進分數。事實上，無限小數是不能用十進分數來表示的。這在一定程度上會成為初中生認識有理數的障礙。

另外，小學生在學習數的概念時，往往依托大量的生活實例（具體情境）來理解其意義，思維方式以具體形象為主。以“負數的認識”為例，小學主要是從負數的意義和負數的表示這兩個方面來認識負數的；而初中在簡單復習小學階段關于負數的認識以后，主要研究負數參與的加、減、乘、除等運算。小學階段，學生是在大量生活實例的背景下理解和應用負數的；而初中階段則以靜態、抽象、規定性的方式呈現負數概念，因此學生正確理解和應用負數是存在困難的。

二、 銜接教學建議

從小學到初中，學生的年齡特征決定了教學內容的選擇與教學目標的設計。不同年齡階段下設定的不同教學內容與目標有時難免存在知識之間的漏洞與縫隙。同時，學習內容與目標的變化，包括學習重點的轉移、學習方式的改變，都會給銜接階段學生的學習帶來一系列的影響。作為小初數學銜接教學的重點，教師應該幫助學生建構新舊知識的聯系。基于以上內容分析，建議“數的認識”小初銜接教學著力于“分數與小數的關系”“負數的認識”“數系的擴充”以及“運算的內部邏輯”這幾個方面。

（一） 辨析分數與小數的關系，預埋有理數、無理數的概念

分數與小數，是小學階段“數的認識”的重要內容。部分學生對分數與小數關系的認識存在誤區，這些錯誤的認知可能會讓學生在初中學習有理數和無理數時產生困難。

具體來說，蘇教版小學數學五年級上冊《小數的意義和性質》單元有這樣的表述：“分母是10、100、1000……的分數都可以用小數表示。一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……”這個表述沒有問題，但會有人誤讀。第一句話正著說成立，反著說就不成立了：十進分數可以用小數表示，但小數表示的不只是十進分數。第二句話其實僅指有限小數，雖然有省略號，但不能理解為所有小數。蘇教版小學數學教材中，小數的認識是在學習了小數的除法之后逐漸完善的。有限小數與無限小數的概念是在《小數乘法和除法》單元的《你知道嗎》欄目中介紹的，這使得小數分類的受重視程度被削弱。無限不循環小數則一直要到圓周率的學習中才真正涉及，這使得學生對小數分類的認知結構會出現偏頗。不少學生認為：絕大部分小數是有限小數，只有一小部分特殊的小數是無限循環小數，其中還有極少數的無限不循環小數。顯然，這樣的認識是與事實不符的。

初中學習有理數和無理數時，有限小數和無限循環小數因為能化成分數，被歸為有理數；而無限不循環小數因為不能化成分數，被歸為無理數。換句話說，如果把有理數和無理數都改寫成小數，則有理數能改寫成有限小數（包括整數）和無限循環小數，而無理數只能改寫成無限不循環小數。

有理數的概念是建立在分數與小數的關系上的，而分數與小數的互化是小學學習的。分數轉化成小數，是建立在分數是“兩個整數相除的商”的定義上的，因此，每個分數皆能化成小數。而小數化成分數，只是根據小數的意義中“一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……”這句話推理：先將小數改寫成十進分數，再化簡。小初銜接教學，不是教給學生無限循環小數化成分數的技巧——這會增加學生的學業負擔，而是在教學分數與小數的互化時引導學生進一步思考，從而使學生日后學習有理數時思路變得更加清晰。

例如，把分數化成小數（除不盡的保留三位小數）：2/3、3/5、5/2、7/8、11/9、9/16。雖然解答這道題只是練習了分數化小數的技能，但在教學中，教師不妨做個有心人，讓學生聯系小數的分類觀察結果，把化得的小數分一分類，并通過討論明晰幾個道理：（1） 所有的分數都可以轉化成小數；（2） 分數轉化成的小數有的是有限小數，有的是無限小數（有條件的班級，可以繼續深入：化成有限或無限小數，與分數的分母有關，若分母只含有2或5的質因數，則能化成有限小數；若分母含有2或5以外的質因數，就只能化成無限小數）；（3） 分數化成的無限小數都是無限循環小數（此時學生還未學習圓，對無限不循環小數缺少具體的實例，建議不涉及）。最后留一個懸念：有限小數都能化成十進分數，那么，無限循環小數也能化成十進分數嗎？建議學生課后自主研究。

這樣的教學處理，解答一道題的收獲就遠不止一個技能得到練習了。有了這樣的基礎，日后遇到像圓周率這樣的小數，可以通過回憶分數只能化成有限小數和無限循環小數的例子倒過來推理，“無限不循環小數不能化成分數”這個結論就相對容易接受了。分數與小數之間的關系，從看似一一對應到“一部分小數沒有相等的分數與之對應”，可以得到結論：分數的個數小于小數的個數。這樣，學生對分數與小數關系的認識就比較完整了。

（二） 突出正數與負數的對應，鋪墊正負數的運算法則

負數引入后，數的范圍擴大了，擴充到了有理數。從正、負數這一分類角度看，有理數是由符號和絕對值兩部分組成的。盡管學生在小學初步認識了負數，到初中理解負數概念時依然存在困難，尤其是當負數加入運算中時。究其原因，是沒有正確理解負號的三種意義：運算、性質、相反數。對學生而言，幾種意義的符號同時出現時特別容易出錯。

七年級學生不能很好地區分“＋”“-”在算式中到底是運算符號還是性質符號，這與學生不把負數看作一個整體也有關系。對正、負數的概念，蘇教版小學數學教材和蘇科版初中數學教材都采用了描述性定義，前者為“像+20、+8844.4這樣的數都是正數（正數前面的‘+可以省略不寫），像-20、-155這樣的數都是負數”，后者與之類似。而人教版小學數學教材這樣定義：“為了表示兩種相反意義的量，如零上溫度和零下溫度、收入與支出等，需要用兩種數。一種是我們以前學過的數，如3、500、4.7、3/8，這些數是正數；另一種是在這些數的前面添上負號‘-的數，如-3、-500、-4.7、-3/8等，這些數是負數……正數前面的‘+可以省略不寫。如果為了與負數對比，也可以加上正號……”人教版教材的處理，更好地揭示了負數的主要內涵：正數和負數表示兩種相反意義的量，在正數前面添上一個負號的數就是負數。

因此，教學小學階段“負數的認識”時，教師可以設置一個認知沖突：要求學生利用“一個數”簡約地描述買入與賣出、上車與下車等數據，促動學生聯系生活經驗，聚焦符號表示，突出“創生”，體會可以用“＋”“-”表示相反意義。接下來，讓學生理解每個情境中“＋”“-”被賦予的實際意義，進一步體會負數的本質：負數與正數是相對的。從而幫助學生加強對負號的理解：“-”和后面的正數連在一起，形成的是一個整體，是“一個數”，是與那個自然數（正數）量相同、意義相反的數。

利用對應的方法認識負數，數軸這一形象、可視的手段必不可少。在數軸上比較一組正、負數與0點的距離，可以讓學生充分感悟、理解負數和相應的正數是一一對應的。通過對比，學生能感受到正、負數之間“數量相等”“方向相反”的關系。這也能為今后初中學習相反數和絕對值打下基礎。

此外，小學階段并不要求學生學習負數的運算，體會負數對有理數系減法的封閉性——這些是初中的教學任務。小學階段，學生的抽象思維水平還不足，教師不能人為拔高教學要求，增加學生的學習負擔，但是可以在認識正、負號的環節，有意識地將之與以前學過的加、減號加以區分，使學生初步體會到正、負號與加、減號是同一種符號的兩種不同意義；還可以通過在數軸上的描點運動練習，借助情境中的事理（如：某地白天某時氣溫為-3℃，晚上某時降溫5℃，變為多少攝氏度？），初步滲透正、負數加、減法的直觀運算……這些都可視作為將來學習負數的運算做鋪墊。［1］

（三） 漫話數系擴充史，初步構建“數的認識”知識網絡

從自然數出發，對數和數系進行持續的擴充，是人類生產發展和社會進步的需要，也是數學自身發展的需要。根據數系的形成過程可知，數概念的形成過程是一個數概念外延多次擴張的過程。數系擴充的主要途徑是元素添加：在自然數集合中添加“負整數”就得到整數，在整數集合中添加“分數”就得到有理數，在有理數集合中添加“無限不循環小數”就得到實數……

相比于在小學用六年時間完成自然數、正小數、正分數的數概念擴充，學生進入初中后，很快就會經歷數系的第一次擴充：在小學非負有理數知識的基礎上引進負數，對數的了解擴充到有理數范圍。學生如果對數系的擴充認識不足的話，則很有可能對接下來的學習產生障礙：只能以死記硬背的方式記住新的數概念，硬生生地將其納入自己的認知結構。如果教師能引導學生從整體的角度理解數系的擴充，基于已有的經驗貫通各類數概念，讓學生真正體會到“人類生產發展和社會進步需要”的意義，學生接受一個新的數概念就不會被動了。

所以，在小學階段“數的認識”總復習教學中，從數系擴充的角度梳理小學階段學過的數就顯得十分必要了。教師在與學生交流完學過的數以后，不妨接著提問：數數的時候，有自然數就夠用了，為什么還需要那么多數呢？讓學生暢所欲言。例如，分數的擴充是人們在分東西時，需要對一個物體進行切割與配對，而整體中的“部分”無法用自然數表示，就需要有刻畫“部分”的方式，即分數是“刻畫整體與部分關系”的產物。再如，小數的產生是十進位值制記數法擴展完善的需要，也是分數書寫形式的優化改進；小數的出現標志著十進位值制記數法從整數擴展到了分數，使分數與整數在形式上獲得了統一；將十進分數改寫成不帶分數形式的數就得到小數，將分母是100的分數改寫成帶有百分號形式的數就得到百分數……

教師可以在學生解釋的基礎上講解數的發展史，配以之前的教材圖片，幫助學生回憶學習這些數產生的歷程，進而輔以樹狀圖，借助數軸，將各種數分類，初步構建“數的認識”知識網絡……這樣，學生在了解歷史活動的過程中進一步完善“數的認識”知識結構，逐漸理解：正是為了解決實踐中出現的問題，人們才不斷將數的領域加以擴充；小學只學習了其中的一部分，初中還將繼續學習，今后要學習的新數是人類生產生活的需要，是十分有意義的。

（四） 完善“數的運算”內部邏輯，提升數學思維水平

數系的擴充最初源于現實生活的需要，后來隨著數學體系的發展，也成了數學內部運算封閉性的必然要求。簡單地說，就是數的范圍被擴充了，數的運算更方便了。因此，“數的認識”與“數的運算”關系密切，數系的擴充也是為數的運算服務的。［2］

從小學到初中，數系每擴充一次（比如整數到分數、分數到小數），都會先學習相關數概念，再討論在新數系中如何進行運算。算術數及其運算是小學階段數學學習的主要內容。然而，從數的運算的角度理解數系的擴充，在小學教材中是一條較為隱蔽的線索。從運算需要的角度重新認識小學階段的數概念，也可以作為小初數學銜接教學的一個方面。

教師可以抓住適當時機，引導學生思考如下問題：如果數學中只討論加法和乘法，那么以前學過的數就夠了，但是如果要討論減法呢？顯然，負數的產生就立即成為必要，即負數的產生是為了解決“不夠減”的實際問題。同樣，如果要討論除法，也非常有必要引入新的數。兩個整數相除，有時不能得到整數商；在結果唯一的前提下，為了保證除法運算通行無阻，分數便應運而生。到了初中，用小數定義有理數和無理數：用小數來表示無理數，才能進行無理數的加法運算。由此，學生也不難理解：在數系從正整數擴充到有理數，再擴充到實數的過程中，“實踐需要”所起的推動作用顯得更小，而更多的是數學運算的需要。

這樣梳理，學生對數的認識，不僅能立足于生活實踐的角度，而且能擴展到數學背景的角度。研究視角發生了變化，思維從具體形象水平上升到了抽象邏輯水平，學生的數學素養也將在一定程度上得以提升。

參考文獻：

［1］ 魏光明.“負數的初步認識”的深度解讀與教學重構［J］.江蘇教育研究， 2020（28）：61.

［2］ 李念文.數為什么會不夠？——從運算封閉性的角度談數系的擴充［J］.湖南教育（數學教師），2007（5）：28.

（汪瑩，江蘇省蘇州市姑香苑小學校。蘇州市優秀教育工作者，蘇州市指導自學先進教師，姑蘇區教壇精英。）