解題教學中培養初中學生發散性思維能力的措施

陳艷陽

[摘? 要] 解題能力與發散性思維的培養有著密不可分的聯系. 文章以一道題的教學為例，探討如何在解題教學中有目的、有計劃、有意識地擴大學生的解題思路，鼓勵學生在解題中充分發揮想象力，多角度看待問題，從而突破學生的思維定式，體驗數學的魅力，培養發散性思維.

[關鍵詞] 發散思維;解題;觀察;

隨著新課改的推進，發展學生的發散性思維成了教育的熱點話題. 波利亞認為：“學習數學的關鍵是學會解題. ”究竟怎樣發揮每道數學題的價值，讓學生從一道道試題中感知數學獨有的魅力，培養發散性思維呢？為此，筆者以一道題的教學為例，展示如何鼓勵學生從不同視角觀察問題，讓學生通過不同視角，逐步揭開問題的神秘面紗，大膽表達自己的思維過程，從而培養學生的發散思維.

試題? m為大于1的正整數，它的三次冪能分裂成多個連續奇數的和（如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19等）. 若m3經分裂后，若奇數為103或1003，求m的值.

分析? 本題屬于一道能力題，于考試而言具有區分度的作用. 初步預估，此題的難度系數在0.2-0.3之間. 為了培養學生的發散性思維，筆者以此題的教學為例，引導學生充分展示自己的思維過程，讓學生從同伴的思維中拓展視野，獲得新的解題思想，提高解題能力.

從統計學生自主解題的結果來看，本題的正確率較高，但解題方法各不相同. 由此可見，數學的解題方法并沒有絕對性，從不同視角出發，會有不一樣的解題思路. 為了拓寬學生的思維廣度，筆者將學生從不同維度思考的解題方法羅列出來，并加以分析，為培養學生的發散思維與核心素養奠定一定的基礎.

生1：根據題意，若從13=1出發進行思考，則有：

13=1，

23=3+5，

33=7+9+11，

43=13+15+17+19，

…

從該組數據來看，這是從1開始的一組有規律的關于正整數的等式. 該等式的左邊都是一個立方數，最右邊是一個寶塔型的有規律的奇數，從上往下整體觀察是從1開始的連續奇數，且與左邊的底數有關（底數是幾，就是連續幾個奇數的和）. 書寫成寶塔形后，依次觀察數據：1，5，11，19，29，…，其規律為m（m+1）-1.

13=? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1

23=? ? ? ? ? ? ? ? ?3+5

33=? ? ? ? ? ? ? 7+9+11

43=? ? ? ? ?13+15+17+19

53=? ? ? 21+23+25+27+29

m=9，m（m+1）-1=89;m=10，m（m+1）-1=109. 因為109>103>89，所以m=10.

依照此規律，我們可以確定1003所對應的m為32. 這與學生在小學里遇到過的楊輝三角模型高度類似，教師也可趁機帶領學生區分這兩個模型的異同點，培養學生的類比思想.

生2：根據已知條件可知，所有等式的左側都是立方，右側是幾個連續奇數的和（數量與數值與左側底數有關），底數是幾就是幾個連續的奇數相加，同時下一個立方中出現的第一個奇數與上一組式子的最后一個奇數互為相鄰的關系. 如：

13=1，

23=3+5，

33=7+9+11，

43=13+15+17+19，

…

103=91+93+95+97+99+101+103+105+107+109

由此可知103存在于103所對應的式子中，所以m=10.

分析? 該方法雖然簡單、直接，但僅限于對數值較小的等式，于數值較大的問題（如1003）而言，這個方法過于麻煩，在書寫過程中也容易出現錯誤. 故此方法雖簡便，但不推薦.

生3：根據生1所書寫的寶塔圖來看，我們可從該模型的中間參數作為思維的起點. 觀察發現，底數為奇數的時候，分布于中間的數分別是1，9，25，49…，觀察這組數據，不難發現這組數據每一個都是它們所在等式對應的底數的平方. 根據這個規律可知：當m=9時，該等式右側中間的數為81，與81相鄰且位于其右側的奇數分別有83，85，87，89四個數，與103相當接近.

當m=11時，等式右側中間的數為11，即121，與121相鄰且位于左側的五個奇數有111，113，115，117，119. 由此可得，103在m=10的行.

該生將目光鎖定奇數行，通過奇數行中“中位數”的特殊規律，獲得解題方法的思維讓大家眼前一亮. 這種方法拓寬了學生的視野，發散了學生的思維，讓學生獲得從不同視角看待問題的能力.

沿著該解題思路，求1003的m值時，首先要找到符合條件的“中位數”，當m為31時，寫出與它鄰近的后15個奇數;當m=33時，寫出與它鄰近的前16個奇數，由此可確定1003所對應的m值為32.

學生的思維在同伴解題方法的影響下，明顯得到拓展，此時有學生又提出新的解題方法.

生4：觀察每個等式右側的第一個數，依次為1，3，7，13，21，31，…，仔細分析這些數具有一定的規律性，為：m（m-1）+1，當m=10，m（m-1）+1=10（10-1）+1=91;當m=11，m（m-1）+1=11（11-1）+1=111. 91<103<111，所以m的值為10. 同樣，用這個規律也能較快找到1003所對應的m值為32.

生5：在偶數的行，分別插進一列數字：4，16，36…，這些新插進的數恰好是底數的平方，由于這些數都是偶數，因此這些插入的數不會出現在每一行中. 若以該平方數作為中心的數，寫出與它鄰近且成對的奇數，這些數的平均數就是這個平方數. 觀察新組成的數據，發現在各行，中間的那個數都是完全平方數，且與等式左邊的底數相同. m=9時，中間的那個數為92=81;m=10時，中間的那個數為102=100（插入的偶數）. 以成對出現的規律來看，此行的十個數依次為：91，93，95，97，99，101，103，105，107，109. 由此可見m為10.

而當m為32時，中間的數為322=1024，1024就是插進去的那個偶數，此時以1024為中心，逐對寫出這些奇數，這些奇數中有一對為1003與1045，由此可確定1003在第32行.

觀察每一行數據的特征與規律，發現當m為奇數時，m3=[m2-（m-1）]+…+（m2-2）+m2+（2+m2）+…+[m2+（m-1）];當m為偶數時，m3=[m2-（m-1）]+…+（m2-1）+（1+m2）+…+[m2+（m-1）].

教學思考：

從不同視角觀察與分析問題，會有不同的發現. 本題大部分學生都能獲得正確答案，但解題的思路與方法卻有著千差萬別，有的方法簡單快捷，有的方法煩瑣復雜，也有的方法標新立異，讓人眼前一亮. 但不管用什么方法，最終指向的結果一致.

細細琢磨學生的解題過程，發現只要弄清試題數據之間存在的規律，即可找到解題的方法. 因此，數學解題時，只需要掌握問題的內涵，從廣泛的角度去思考，即可獲得舉一反三的能力. 為此，筆者根據實際情況，總結了幾點在解題中培養學生發散思維的方法.

1. 充分發揮想象力

發散思維的形成離不開想象力的支撐，而想象力的培養離不開對試題條件的利用. 因此，教師應引導學生善于從試題中捕捉各種已知條件或隱含條件，以此為想象的著力點，進行合理想象，對條件進行再加工與創造.

如生5，在偶數的行分別插進一列數字：4，16，36，…，再以這些數為中心點，成對添加相鄰的奇數，即可解決問題. 想象力的作用得到淋漓盡致的展現，學生就會突破常規解題思維，以數字的插入，讓解題變得得心應手.

2. 多角度看待問題

數學學習需靈活，不能揪著教材不放，亦不可人云亦云. 學生應敢于從不同的角度去觀察、分析與總結問題，勇于與同伴或老師爭辯，大膽地表達自己的想法. 如此，才能體現出高質量的多向思維. 因此，教師應鼓勵學生在解題時，給自己多設幾個“假如”之類的問題，不斷地廢舊革新，逐漸超越自己，突破自己.

如生4的解題方法，真可謂是橫看成嶺側成峰，觀察寶塔圖等號右側每一行的第一個數字依次為1，3，7，13，21，31，…，通過分析發現這些數存在的規律為m（m-1）+1，以此規律進行解題，有種柳暗花明又一村的豁然開朗之感.

3. 突破思維定式

法國的貝爾納說：“學習最大的障礙絕非是未知的東西，而是我們已有的認知. ”解題時，學生首先會以自己的生活與學習經驗為思維的起點，人們往往更善于處理自己所熟悉的問題. 一旦遇到新事物時，受思維定式的影響，難免會對新思維與方法的構建形成阻礙. 發散性思維的培養需弱化學生的思維定式，充分發揮想象，實現思維的創新.

如生2的解題方法屬于常規性的方式，雖然能獲得答案，但過程煩瑣. 為了尋求到更好的解題方法，部分學生選擇弱化思維定式的影響，換個角度從生1所寫的寶塔圖著手，發現底數為奇數的時候，分布于中間的數分別是1，9，25，49…，根據底數與這組數據存在的特殊關系而解出問題的答案. 此過程有效地提升了學生的發散性思維，為數學能力與素養的提升奠定了基礎.

總之，在解題中培養學生的發散性思維是新課改的必然趨勢，也是提升數學核心素養的有效路徑. 作為教師，在解題教學中應有目的、有計劃、有意識地擴大學生的解題思路，鼓勵學生從多個維度觀察與思考問題，在保證完成教學任務的前提下，有效地培養學生的發散性思維能力.