核心素養下初中數學單元整體教學的實踐

王夢宇

【摘要】本文以蘇科版九年級下冊“二次函數”這一單元教學為例，結合具體例題展示在運算能力、抽象能力、幾何直觀、推理能力、模型觀念核心素養下單元整體教學的具體實施，以供參考.

【關鍵詞】核心素養;初中數學;單元整體教學

“二次函數”是初中數學非常重要的單元，共包含二次函數、二次函數的圖像和性質、用待定系數法確定二次函數表達式、二次函數與一元二次方程、用二次函數解決問題共五節內容.認真學習和研究義務教育數學課程標準（2022年版）中核心素養內容，精心篩選課堂例題，借助例題求解過程的展示，鞏固學生所學，鍛煉學生能力，促進其核心素養更好地提升.

1 “二次函數”教學實踐

“二次函數”這一節利用學生熟悉的問題，自然引入“二次函數”概念，使學習者認識“二次函數”的一般形式.同時，使其具體問題具體分析，能夠運用所學構建二次函數關系[1].在進行該部分內容教學時課堂上給學習者預留思考、討論、歸納機會，使其主動參與數學知識形成中，進一步加深其印象.另外，將運算能力與核心素養融入實踐中，在課堂上展示如下例題，與學習者一起分析，通過運算過程中的展示，使其把握運算技巧，提高運算效率，使得運算能力核心素養得到一定的發展.

例1 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為5，點F為BC上一動點，兩對角線相較于點E，過點E作EG⊥EF.點G在DC上.若BF的長為x，△EFG的面積為y，求y和x滿足的函數關系.

該題主要考查三角形全等、等腰直角三角形性質以及二次函數知識.解題時需通過證明三角形全等實現等量代換，借助整體思想表示出等腰直角三角形的面積，降低運算復雜度.同時，需根據題意分析出正確的自變量范圍.

由正方形的性質可知EC=EB，∠ECG=∠EBF=45°，∠BEC=90°，

即∠BEF+∠FEC=90°.由EG⊥EF，則∠FEC+∠CEG=90°，則∠BEF=∠CEG，則△BEF≌△CEG，則EF=EG，BF=CG，△FEG為等腰直角三角形.在△FGC中FC=5-x，GC=x，由勾股定理得到：

FG2=FC2+GC2=（5-x）2+x2，

EF=FGcos45°，

則y=12（FGcos45°）2=14FG2

=14[（5-x）2+x2]=-12x2-52x+254（0≤x≤5）.

2 “二次函數的圖像和性質”教學實踐

“二次函數的圖像和性質”教學中，一方面運用多媒體技術展示二次函數圖像，在課堂上采用一問一答的形式與學習者進行互動，使其通過認真觀察、思考、抽象出二次函數圖像特點，進一步澄清其對二次函數圖像的認識.同時，引導其從數學角度描述函數圖像，尤其在屏幕上動態展示二次函數平移，使其能夠總結出正確的函數圖像平移規律[2].另一方面，在進行例題教學中，為更好地培養學習者靈活運用二次函數性質對要求解的問題進行合理抽象，課堂上講解以下例題，并要求學習者做好聽課的總結，認真揣摩解題過程，把握抽象細節.

例2 已知二次函數y=ax2-2ax+a+5的圖像上存在兩點（-2，y1），（3，y2），滿足y1

（A）-5.??? （B）-1.

（C）1. （D）-2.

該題間接考察對二次函數理解以及熟練應用程度.解題時需透過現象看本質，判斷出二次函數的二次項系數的正負，確定拋物線的開口方向.而后分析給定自變量范圍和拋物線對稱軸的大小關系，運用二次函數性質進行作答.

因二次函數圖像過（-2，y1），（3，y2）兩點，則y1=4a+4a+a+5=9a+5，y2=9a-6a+a+5=4a+5，由y1

解得a=-1，選擇B項.

3 “用待定系數法確定二次函數表達式”教學實踐

在進行這一節內容教學時可要求學習者自學課本中的例題，使其搞清楚用待定系數法確定二次函數表達式的步驟，認識到二次函數表達式中參數之間的內在聯系.同時，教學實踐中為更好地鍛煉學習者的學以致用能力，提升其幾何直觀核心素養，應注重與學習者一起剖析如下例題，使其認識到幾何圖形在分析數學問題中的重要作用，養成運用幾何圖形解題的意識與良好習慣.

例3 在平面直角坐標系中某點的縱橫坐標相等則稱該點為完美點.已知二次函數y=ax2+bx-94的圖像上只有一個完美點（32，32），且當0≤x≤m時，函數y=ax2+bx-3的最小值為-3，最大值為1，則m的取值范圍為（? ）

（A）-1≤m≤0.? ?（B）2≤m≤72.

（C）2≤m≤4. （D）m≥2.

該題以新定義為背景考察待定系數法求解二次函數表達式、數形結合等知識，難度較大.解題的關系在于能夠讀懂題意，從題干中提煉出有用信息，構建與所學知識的內在聯系，尤其能夠充分挖掘二次函數圖像中的隱含信息，從而達到順利解題[3].

根據完美點的定義令ax2+bx-94=x，整理得到：ax2+（b-1）x-94=0，即，將x=32代入整理得到：94a+32b-154=0①，Δ=（b-1）2+9a=0②，將①②聯立解得a=-1，b=4，則函數為y=-x2+4x-3，畫出其圖像，如圖2所示：

函數圖像的對稱軸為直線x=2，在對稱軸處取得最大值為1.當函數值取最小值-3時對應的x值為0或4.由圖可知當m=2時，0≤x≤2時，滿足題意.當24時，取得的最小值小于-3，不滿足題意.綜上m的取值范圍為2≤m≤4，選擇C項.

4 “二次函數與一元二次方程”教學實踐

“二次函數”和“一元二次方程”聯系緊密[4].在進行該節內容教學時在課堂上展示相關問題，組織學習者開展探究活動.同時，運用多媒體技術為學習者展示不同的二次函數圖像，要求學習者探尋與之對應一元二次方程根的情況，掌握判斷一元二次方程根個數的判斷方法.另外，為更好地拓展學習者視野，提升其推理能力，在課堂上展示如下例題，并通過解題過程的分析，使學習者認真體會推理過程，積累推理經驗，促進推理水平地提升.

例4 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像過點（-1，0）和點（3，0），關于x的方程ax2+bx+c+m=0（m>0）有兩根，其中一個根為5，則關于x的方程y=ax2+bx+c+n=0（0

（A）-2或4.??? （B）-2或6.

（C）0或4.?? ?（D）-3或5.

解答該題需要深入理解“二次函數”與“一元二次”方程根的關系，尤其搞清楚二次函數對稱軸和對應方程根的內在聯系.同時，結合二次函數圖像平移規律進行嚴謹地推理，準確地判斷.

由二次函數y=ax2+bx+c的圖像過點（-1，0）和點（3，0），根據函數與方程之間的關系可知，ax2+bx+c=0的兩根為-1和3，對稱軸為直線x=1.而方程ax2+bx+c+m=0對應的二次函數為y=ax2+bx+c+m，m>0，其相當于將函數y=ax2+bx+c的圖像向上平移m個單位，而方程ax2+bx+c+m=0其中一個根為5，可知y=ax2+bx+c的圖像應開口向下，另一根為-3.關于x的方程y=ax2+bx+c+n=0（0

5 “用二次函數解決問題”教學實踐

“用二次函數解決問題”能很好地鍛煉學習者模型觀念以及應用意識核心素養.在進行該節內容教學時應注重為學習者創設生活化、趣味性強的問題情境，更好地吸引其注意力，激發其學習的積極性.當然在講解問題之前可給學習者預留空白時間，先要求其進行思考，而后再進行講解.如此使學習者通過對比自身思路，更容易發現與彌補解題中的不足.

例5 某城市為方便市民停車，修建一個如圖3所示的停車場.停車場的長和寬分別為52m，28m，陰影部分為停車位，其余為等寬的通道，若停車位的占地面積為640m2.

（1）通道的寬度是多少米？

（2）調查發現每個車位月租金為400元，能夠全部租出.當每個車位月租金每上漲10元，租出的個位會減少1個.該停車場共有64個車位.若每個車位的月租金上漲時，該停車場的月租金收入會超過27000元嗎？

解答該題需在吃透題意的基礎上構建對應的二次函數模型，并借助函數性質求出其最值.

（1）設通道的寬為xm，由圖可知停車位的長為（52-2x）m，寬為（28-2x）m，則

（52-2x）（28-2x）=640，整理得到x2-40x+204=0，解得x1=6，x2=34，因28-2x>0，則x=6，即，通道的寬為6m.

（2）設每個車位租金上漲為m元，停車位的月租金收入為y元.根據題意可租出的車位數為（64-m10）個，每個停車位的租金為（400+m）元，則可構建如下數學模型

y=（400+m）（64-m10）

=-110m2+24m+25600

=-110（m-120）2+27040.

由二次函數性質可知當m=120元時y取得最大值27040>27000，因此，停車場的月租金收入會超過27000元.

6 結語

“二次函數”是初中數學中非常重要的單元，是中考的必考內容.為更好地提高該單元整體教學效率，應做好以往教學經驗的總結與靈活應用，尤其注重在初中數學核心素養指引下做好教學內容以及教學環節的認真設計，增強學習者的課堂學習體驗以及心理感受，激發其內在學習動力以及學習潛力，牢固掌握二次函數知識的同時，核心素養得到針對性地提升.

【本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃立項課題“基于核心素養的初中數學單元整體教學實踐研究”研究成果，課題批準號為：D/2021/02/136”】

參考文獻：

[1]儲偉明.初中數學核心素養的精確理解與培養[J].數理化解題研究，2022（11）：59-61.

[2]齊菊.初中數學教學中如何培養學生的核心素養[J].中學數學，2022（06）：48-49.

[3]夏良文.初中數學課堂中核心素養的培養方法[J].試題與研究，2022（05）：67-68.

[4]李生軍.初中數學單元整體教學研究[J].數學學習與研究，2021（33）：35-37.