賞析數(shù)學(xué)競賽中的代數(shù)求值技巧

劉賢華

【摘要】 代數(shù)式的求值問題是各類考試的重要考題，這類題目有利于考查和培養(yǎng)推理論證、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力，本文精選幾例探究其解題規(guī)律.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)競賽;代數(shù)求值;技巧

當(dāng)前的試題越來越重視邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，代數(shù)式求值問題是各類模擬題和競賽試題的必考題型，解題方法靈活多變，因題而異，怎樣才能快速、準(zhǔn)確地求出代數(shù)式的值呢？下面提供幾種常見的技巧.

1 利用恒等式求值

例1 已知1b+1c-1a=34，abc+bac+cab，b2|c|-2c2|b|-4（|b|-2|c|）=0，b與c同號(hào)，且b≠2c，求a4+b4+c4的值.

解 由題意知

b2|c|-2c2|b|-4（|b|-2|c|）

=|b||bc|-|bc||2c|-4（|b|-2|c|）

=|bc|（|b|-|2c|）-4（|b|-2|c|）

=（|bc|-4）（|b|-2|c|）

=0，

因?yàn)閎與c同號(hào)，且b≠2c，

所以bc=4.

由1b+1c-1a=34，得

ac+ab-bc=34abc=3a.①②

由abc+bac+cab=32，得

a2+b2+c2=32abc=6a.②

因?yàn)閇a-（b+c）]2=a2+b2+c2-2a（b+c）+2bc，

將①②代入上式，可得

a=b+c.

由a2+b2+c2=6（b+c），得到

2（b+c）2-2bc=6（b+c），

即2（b+c）2-8-6（b+c）=0，（b+c）2-3（b+c）-4=0，

由此得b+c=4或b+c=-1（無解）.

所以b=2，c=2.

于是a=4.

故a4+b4+c4=288.

注 先對題目條件中的等式分別化簡，利用恒等式求各字母的值，進(jìn)而求得代數(shù)式的值.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

2 利用整體思想求值

例2 若實(shí)數(shù)a，b，c滿足（a+b+c）1a+b-5c+1b+c-5a+1c+a-5b=95，求（a+b+c）1a+1b+1c的值.

解 記a+b+c=x，ab+bc+ca=y，abc=z，則

（a+b+c）1a+b-5c+1b+c-5a+1c+a-5b

=x1x-6a+1x-6b+1x-6c

=x[3x2-12（a+b+c）x+36（ab+bc+ca）]x3-6（a+b+c）x2+36（ab+bc+ca）x-216abc

=x（-9x2+36y）-5x2+36xy-216z，

結(jié)合已知條件可得

x（-9x2+36y）-5x2+36xy-216z=95，

整理得xy=272z，

所以（a+b+c）1a+1b+1c=xyz=272.

注 化繁為簡是數(shù)學(xué)解題的基本思路，代數(shù)換元、整體代入都是最重要的數(shù)學(xué)方法，需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

3 巧用放縮法求值

例3 記[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若S=1+12+13+…+11020100，則[S]=（）

（A）1010.（B）2018.

（C）2019.（D）2020.

解 因?yàn)?/p>

n-1+n<2n

所以2n+1+n<1n<2n-1+n，

即2（n+1-n）<1n<2（n-n-1），

從而可知2（2-1）<11=1，

2（3-2）<12<2（2-1），

2（4-3）<13<2（3-2），

……

2（1020101-1020100）<11020100

<2（1020100-1020099），

以上各式相加，得

2（1020101-1）

又因?yàn)?020101>1020100，

所以2（1020100-1）

因?yàn)?020100=1010，

2（1010-1）=2018，

所以2018

所以[S]=2018，

故選（B）.

注 本題考查放縮的方法，取倒數(shù)，運(yùn)用疊加法，根據(jù)新定義得到答案.此類問題是訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算的好素材.