數學競賽中的圓

孫中權

【摘要】 圓是日常生活中的常見圖形，是中學數學的一個重要知識點，是中考試題和數學競賽的“嘉賓”，圓的性質及其應用值得我們深入研究.

【關鍵詞】 圓;三角形;數學競賽

圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它具有旋轉對稱性，因為圓的獨特性質常常出現在各類數學競賽中.垂徑定理、圓與多邊形的內切外接、三角形的等面積公式、勾股定理等都是常考內容，下面略舉幾例以窺一斑.

1 三角形的內切圓

例1 在△ABC中AC=8，BC=6，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D.若△ABC，△ACD，△BCD的內切圓的半徑分別是r1，r2，r3，則r1+r2+，r3的值是.

解 如圖1，AC=8，

BC=6，

∠ACB=90°，

所以AB=AC2+BC2

=10.

由題設易知

Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD.

于是AC2=AD·AB，

CD2=AD·BD，

從而AD=AC2AB=8210=6.4，

BD=AB-AD=10-6.4=3.6，

CD=AD·BD=6.4×3.6=4.8.

設△ABC，△ACD，△BCD的內切圓分別為⊙O1，⊙O2，⊙O3，則由內切圓的性質知

r1=12（BC+AC-AB）=12（6+8-10）=2，

r2=12（AD+CD-AC）=12（6.4+4.8-8）=1.6，

r3=12（BD+CD-BC）=12（3.6+4.8-6）=1.2，

于是r1+r2+r3=2+1.6+1.2=4.8.

注 本題利用勾股定理和三角形相似及圓的切線長相等等性質，將三個三角形的內切圓的半徑分別求出即可.

2 多圓外切與最值

例2 圖2

如圖2，在邊長為2018的等邊△ABC內有 n個依次外切的圓，記為⊙O1，⊙O2，…，⊙On，它們都與邊AB，AC相切.若⊙O1的半徑為1，則⊙On的半徑最大值.

解 作如圖所示的輔助線，顯然

O1A=2r1=2，

又r1+r2=2（r2-r1），

可得r2=3r1.

同理r3=3r2，…，rn=3rn-1，

又設m=（1+2）+2×3+2×32+…+2×3n-1，

則3m=（1×3+2×3）+2×32+2×33+…+

2×3n，

兩式相減得2m=2×3n，

解得m=3n.

顯然36<2018×32<37，

所以最多有6個圓，第6個圓最大，

半徑為r6=36-1r1=243.

注 本題涉及到一列后項與前一項的比為同一個常數的數字求和問題，不等式問題，解題關鍵是找到相鄰兩圓半徑之間的關系.

3 三角形的內切圓與外接圓

例3 已知二次函數y=x2-2與x軸分別交于A，B兩點，與y軸交于點C，則△ABC內切圓的半徑為，外接圓半徑為.

解 如圖，由題設可知A（-2，0），B（2，0），C（0，-2）.

則|OA|=|OB|=2，

|OC|=2，

|AB|=22.

在Rt△AOC 中，由勾股定理，得

AC=|OA|2+|OC|2

=（2）2+22

=6，

同理BC=6.

設△ABC內切圓的半徑為r，則

12（AC+BC+AB）·r=S△ABC=12·AB·OC，

即12·（6+6+22）·r=12×22×2，

解得r=226+2=3-1.

因為AC=BC，

所以△ABC外接圓的圓心在y軸上，設其坐標為（0，y），

則（y+2）2=y2+（2）2，

解得y=-12，

于是△ABC外接圓的半徑為

-12+2=32.

注 以二次函數為背景，考查了圓的最基本最重要的性質——垂徑定理，三角形的內切圓與外接圓的性質等基礎知識.