一道賽題的解法探究

張寧

【摘要】 本文借助軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的有關(guān)性質(zhì)給出了一道八年級(jí)賽題的三種解法.這些方法是解決折線的長與線段長度之間數(shù)量關(guān)系的通法，即“化折為直法”，將折線的長度問題轉(zhuǎn)化為線段長度問題，它具有普遍適用性.

【關(guān)鍵詞】 轉(zhuǎn)化;軸對稱;三角形;平行四邊形;圓;化折為直法

1 問題呈現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，∠C=90°，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，過點(diǎn)A與CH的中點(diǎn)D的直線交BC于K，點(diǎn)L為BC中點(diǎn)，線段AB上一點(diǎn)T滿足∠ATK=∠BTL.已知BC=1，求△KTL周長.

分析 在△ABC中，∠C=90°，BC=1，根據(jù)這些條件不能直接求得其他線段的長度.根據(jù)已知條件和圖形特征，解決本題的關(guān)鍵是探尋△KTL周長與線段BC之間的數(shù)量關(guān)系.顯然，根據(jù)已知條件“∠ATK=∠BTL”，易想到利用軸對稱性可將△KTL的邊KT和LT轉(zhuǎn)化到同一條直線上，即達(dá)到“化折為直”的目的.根據(jù)圖形特征，只需證明KT+TL=CK+BL即可得到△KTL周長等于線段BC的長度，即△KTL周長等于1.

2 解法探究

基于以上分析，筆者得到三種解法.

解法1 如圖2，延長CH到點(diǎn)M，使HM=CH，連接AM，BM，則△ABC和△ABM關(guān)于直線AB對稱.過點(diǎn)L作直線AB的垂線，交BM于點(diǎn)N，連接TN，AN，AL.過點(diǎn)A作AG⊥KT，垂足為G.

因?yàn)辄c(diǎn)L為BC中點(diǎn)，

所以點(diǎn)N是線段BM的中點(diǎn)，

即BN=MN.

易知點(diǎn)L與點(diǎn)N關(guān)于直線AB對稱，

所以∠BTL=∠BTN，

∠LAB=∠BAN，

TL=TN.

又因?yàn)椤螦TK=∠BTL，

所以∠BTN=∠ATK.

所以點(diǎn)K，T，N在同一條直線上.

易知△CAH∽△BAC，

所以AC∶AB=CH∶BC.

又因?yàn)辄c(diǎn)D為CH中點(diǎn)，點(diǎn)L為BC中點(diǎn)，

所以CH=2CD，BC=2BL，

所以AC∶AB=CD∶BL.

易得∠ACH=∠ABC，

所以△CAD∽△BAL，

所以∠CAK=∠LAB.

從而可知∠CKA=90°-∠CAK=90°-∠LAB

=90°-∠BAN=∠ANL，

所以A，K，L，N四點(diǎn)共圓，

所以∠CKA=∠ANL=∠ALN=∠AKN.

從而易得△AKC≌△AKG，

所以AC=AG，CK=KG.

由軸對稱性，易知

AM=AC，BN=BL，

所以AM=AG.

從而易得△AMN≌△AGN，

所以MN=GN.

所以KN=KG+GN=CK+MN

=CK+BN=CK+BL.

所以△KTL的周長為KL+KT+TL=KL+KT+TN=KL+KN=KL+CK+BL=BC=1.

注 為了證明KT+TL=CK+BL，這種解法利用軸對稱的性質(zhì)，將KT+TL轉(zhuǎn)化為線段KN，然后將線段KN分割為線段KG和GN，最后借助全等三角形的性質(zhì)得到CK=KG，GN=BL，從而得到△KTL的周長等于線段BC的長度.這種方法是解決折線的長與線段長度之間數(shù)量關(guān)系的通法，不妨稱這種方法為“化折為直法”，它具有普適性.

解法2 如圖3，作點(diǎn)K關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)M，KM交AB于點(diǎn)G，連接TM.

易知∠ATK=∠ATM，

∠KAT=∠MAT，

∠BKM=∠BAC，

又∠ATK=∠BTL，

所以∠ATM=∠BTL，

所以點(diǎn)L，T，M在同一條直線上.

在線段LM上取一點(diǎn)F，使FL=BL.連接AF，AL，AM.

易知△CAH∽△BAC，

所以AC∶AB=CH∶BC.

又因?yàn)辄c(diǎn)D為CH中點(diǎn)，點(diǎn)L為BC中點(diǎn)，

所以CH=2CD，BC=2BL，

所以AC∶AB=CD∶BL.

易得∠ACH=∠ABC，

所以△CAD∽△BAL，

所以∠CAK=∠LAB.

易知∠LAM=∠MAT+∠LAB

=∠KAT+∠CAK

=∠BAC.

又∠BKM=∠BAC，

所以∠LAM=∠BKM，

所以A，K，L，M四點(diǎn)共圓，

所以∠AKC=∠AMF.

因?yàn)锳K=AM，

所以∠ALK=∠ALM.

從而易知△ALC≌△ALF，

所以AC=AF.

從而可知△AKC≌△AMF，

所以CK=FM.

所以KL+KT+LT

=KL+LM=KL+LF+FM

=KL+LB+CK=BC=1.

注 這種解法利用對稱性將線段KT和TL轉(zhuǎn)化為線段LM，欲證明KT+TL=CK+BL，只需證明LM=CK+BL.由此可以想到，將線段LM截成兩條線段LF和FM，使LF=BL，只需證明FM=CK，即證△AKC≌△AMF.這種方法也是解決折線的長與線段長度之間數(shù)量關(guān)系的通法，具有普適性.

解法3 如圖4，作點(diǎn)L關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)M，連接TM，BM，AM，AL.直線MH交AK于點(diǎn)G，連接CG.過點(diǎn)B作CG的平行線，交直線MH于點(diǎn)N.

因?yàn)辄c(diǎn)L與點(diǎn)M關(guān)于直線AB對稱，

所以∠BTL=∠BTM，

∠LBH=∠MBH，BL=BM.

又因?yàn)椤螦TK=∠BTL，

所以∠BTM=∠ATK.

所以點(diǎn)K，T，M在同一條直線上.

易知LM垂直平分線段BH，

所以MH=BM，

所以BL=MH，∠MHB=∠MBH，

所以∠MHB=∠LBH，

所以BC∥GN.

從而易知四邊形BCGN是平行四邊形，

所以BC=GN.

易知△CAH∽△BAC，

所以AC∶AB=CH∶BC.

又因?yàn)辄c(diǎn)D為CH中點(diǎn)，點(diǎn)L為BC中點(diǎn)，

所以CH=2CD，BC=2BL，

所以AC∶AB=CD∶BL.

易得∠ACH=∠ABC，

所以△CAD∽△BAL，

所以∠CAK=∠LAB.

從而可知∠CKA=90°-∠CAK

=90°-∠LAB

=∠ALM=∠AML，

所以A，K，L，M四點(diǎn)共圓，

所以∠ALM=∠AKM.

所以∠CKA=∠AKM，

又∠CKA=∠KGM，

所以∠AKM=∠KGM，

所以KM=GM.

因?yàn)辄c(diǎn)D是CH的中點(diǎn)，

易知△CDK≌△HDG，

所以CK=GH.

又因?yàn)锽L=MH，

所以MN=KL.

從而可知KT+TL+KL=GN=BC=1.

注 這種解法利用對稱性將線段KT和TL轉(zhuǎn)化為線段KM，利用平行四邊形的判定與性質(zhì)證明BC=GN，利用等腰三角形的性質(zhì)證明KM=GM.由CK=GH，BL=MH，BC=GN可得MN=KL.從而將△KTL的周長轉(zhuǎn)化為線段GN的長度，即線段BC的長度.這種解法的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形，然后利用等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到“化折為直”的目的.

3 結(jié)束語

“化折為直法”是一種重要的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生對兩條線段構(gòu)成的折線問題有一定的認(rèn)識(shí)，能夠利用軸對稱性“化折為直”.三條或三條以上線段構(gòu)成的折線問題，對學(xué)生而言具有一定的難度，通常可從這幾個(gè)方面考慮：一是利用軸對稱轉(zhuǎn)化，二是利用平移或旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化，三是構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)化，四是構(gòu)造輔助圓轉(zhuǎn)化.靈活運(yùn)用這幾種方法，才能達(dá)到“化折為直”的目的.通過對本題的解法探究，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力，而且對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)大有裨益.