第3屆世界數學團體錦標賽少年組試題

（2012.11北京）

團體賽

1. 已知a，b，c都是非零自然數，a4+b8+c16的近似值是 5.3，那么它的準確值用小數形式表示是什么？

2. 如圖1，五個正方形的邊或頂點在同一條直線上，相鄰的兩個正方形有一個頂點重合，中間三個正方形的面積依次是289，64，100.求△AOK的面積.

3. 如圖2，微型機器人M，N分別從邊長為6 m的正方形ABCD的頂點A，B處，同時按順時針方向沿正方形ABCD的周界勻速出發，M的速度是N的速度的2倍，當出發后20 min時，M第二次追上了N，問：N每分鐘行走多少米？

4. 一家商店銷售某種計算器，開始按定價售出（小于200元的整數元），后來按定價的六折售出，當售出200臺時，共得款30498元.問：打折前，按定價售出的是多少臺？

5. CD是腰長12 cm的等腰直角三角形ABC的斜邊上的高，點E在CD上，若ED=6 cm，點P在△ABC內，并且∠DPE是銳角，則點P所在區域R的面積是多少平方厘米（用最接近準確值的整數表示）？

6. 若n513-2n是整數的平方，求自然數n中最大的.

7. 有A，B，C三人，A每說3次話時有2次是真話，B每說7次話時有6次是真話，C每說5次話時有4次是真話.如果有一句話，A，B都說是對的，C說是錯的.那么，這句話是對的的概率是多少（用最簡分數表示）？

8. 已知x+y+z=3，

x2+y2+z2=7，

x3+y3+z3=12.

求xyz.

9. 求方程8（2x2+6x+6）（3y2-3y+2）=15的解（x，y）.

10. 已知△ABC的邊長是整數而且彼此不等，周長是21.比較這些三角形的最大角的大小，求含有最大的最大角的那個三角形的邊長.

參考公式：余弦定理cosC= a2+b2-c22ab，其中a，b，c是△ABC的三邊的長，C的對邊是c，則cosC的值愈小，C愈大.

11. 求方程2x+xy+xy=243的正整數解.

12. 已知正整數x，y，z滿足方程組{xy+z=13，x+yz=23，求x+y+z的最小值.

13. 一個容積是50 L的桶裝滿了酒，用這桶酒灌滿一個水壺，然后用水裝滿少了酒的桶，攪勻后，再將桶中稀釋了的酒灌滿另一個同樣的水壺，又用水將桶裝滿，這時，桶中的酒和水的體積相等.求水壺的容積.

14. 如圖3，線段DE將正方形紙片ABCD分成△ADE和四邊形EDCB.已知S△ADE∶S四邊形EDCB =5∶19，求 △ADE的周長和四邊形EDCB的周長的比.

15. 已知Rt△ABC，AB=BC，點P在此三角形內，若PA=5，PB=4，PC=1，求△ABC的面積.

16. 已知長方形的邊長是整數，它的周長m是3的倍數，若90≤m≤100.求符合條件的長方形的最大面積.

17. 邊長是整數，周長為24的三角形中，面積最大的那個三角形的三條邊的長分別是多少？

（注：若三角形的三邊的長是a，b，c 并且a +b + c = 2l，則三角形的面積S滿足公式S2=l（l-a）（l-b）（l-c）.）

18. 已知有從1開始的n個自然數，去掉其中4個最大的質數后，剩下的自然數的平均數是24346，求符合要求的n的所有值.

19. 如圖4，懸空放置的長方體ABCD-EFGH中，AE=6，AB=7，AD=8，點M是矩形ABFE的中心，點N是線段FG的中點.已知點M、點N處各有一塊糖，點D處有一只螞蟻，問：螞蟻最少爬多遠能找到糖？

20. 某三位數的數字的乘積加上數字和的十倍，仍等于這個三位數，寫出所有能夠滿足這個要求的三位數.

接力賽

1A.若n是不超過10的非負整數，那么，使n3+n2+7是質數的n的值有幾個？

1B.設前面隊友傳來的答案是T.

已知矩形ABCD的周長是24+2T，較短的一邊的長為T+3.設點P在此矩形內，求AP>T+3的概率，取π=3（結果保留1位有效數字）.

2A.在圖6中所有擺放如圖5的三個方格都有A=B+C，求x的值.

2B.設前面隊友傳來的答案是T.

已知等腰△ABC的周長為T.AB=BC，AC=5，點D在AB上，AC=DC，求AD.

3A.有三種鹽水：甲種鹽水35 L，濃度8%;乙種鹽水25 L，濃度3%;丙種鹽水30 L，濃度11%.若要用這些鹽水配制50 L濃度為7%的鹽水，則丙種鹽水最多可用多少L.

3B.設前面隊友傳來的答案是T.

以T為面積的正方形的邊長是m，求圖7中陰影部分的面積（用最簡分數表示）.

個人賽

1. 無理數2+3+37在哪兩個相鄰的整數之間？

2. △ABC的三條邊長分別是25，32和26.求此三角形的面積.

3. 求使F（n）=1n+2n+…+15n為整數的自然數n的個數.

4. 求2212012被9除所得的余數.

5. 有幾個學生去旅游，需要共同支付旅游總費用，若每人交28元，則差18元;若每人交30元，則余4元.問：旅游總費用是多少元.

6. 以a，b，h分別表示等腰三角形的腰、底邊、腰上的高的長度，如果a比b大3，a，b，h都是自然數，并且三角形的周長和面積的數值相等，求h.

7. 一根圓木，橫截面的周長是3 m，長為45 m，從山上滾下來200 m，這期間，一只松鼠正好從圓木的一頭跑到另一頭，并且始終在圓木上面，問：松鼠跑了多少m？

8. 如圖8，⊙O中兩條互相垂直的弦AB和CD的弦心距是3和2，它們將⊙O分為四部分：S1，S2，S3，S4.求（S1+S3）-（S2+S4）.

9. 在邊長為1的正方形ABCD中，以A為一個頂點作正三角形AMN，使頂點M在邊BC上，頂點N在邊CD上，求BM.

10. 直角三角形的斜邊長是|x-3|，一條直角邊的長是|4-3x|，當另一條直角邊的長達到最大值時，求這個直角三角形的周長.

11. 已知a是一個既約分數，若a+154a是一個正整數，那么，a有多少個不同的值？

12. 有一列順序排列的數：7，8，11，…設an是其中第n個數，若

an+an+1+an+2+an+3=31，

求這一列數中前2013個數的和.

13. 微型機器人m和n分別以2 m/min和3 m/min的速度，同時從邊長為20 m的等邊△ABC的頂點A，B向頂點C運動，經t min各自到達點M （AC上），點N（BC上）.當MN=BN時，求t的整數部分.

（參考公式：余弦定理 cosC=a2+b2-c22ab，其中a，b，c是△ABC的三邊的長，角C的對邊是c，則cosC的值愈小，角C愈大. ）

14. 如圖9，邊長是5的正方形ABCD內，半徑為2的⊙M切邊DC和CB，⊙N與⊙M外切于點P，并且切邊DA和AB.EF是兩圓的內公切線，點E和F分別在DA和AB上，求EF的長.

15. 鈍角三角形的最短邊長是10，其余兩邊分別長2a+3和3a+2，已知a>0，求a的取值范圍.

16. 若實數x，y，z滿足

x+1y=32，y+1z=73，z+1x=4.

求xyz的值.

參考答案

團體賽

1.答案：5.25或5.3125.

解：因為

a4+b8+c16=4a+2b+c16≈5.3，

所以4a+2b+c≈5.3×16=84.8.

由于a，b，c都是非零自然數，因此4a+2b+c是整數，故可知它的值是84或85.

當4a+2b+c=84時，

a4+b8+c16=5.25，

當4a+2b+c=85時，

a4+b8+c16=5.3125.

2.答案：153.

解：如圖10，連接AC，CK，則AC∥KO，

0

于是S△AOK=S△CKO，

注意到S△CKO=12·CO·KN，

所以需要先求CO，KN.

易求得DE=EF=289=17，

LH=64=8，

IJ=100=10，

EL=EF2-FL2=289-64=15.

由題設條件，易知

KN=HJ=IJ2-IH2=100-64=6，

CO=CE+EL+LH+HJ+JN+NO

=FL+EL+LH+HJ+LH+HJ

=8+15+8+6+8+6=51.

于是S△CKO=12×51×6=153.

則S△AOK=153.

3.答案：32（2+1）.

解：設M，N的行走速度分別是每分鐘2x m，x m.

因為M，N出發點分別是A，B，所以當M第一次追上N時，M比N多走了一條邊長，即6 m，故可知

當M第二次追上N時，M比N又多走四條邊長，此時，M比N多走了5個邊長，得

5×6=30 m，

于是20（2x-x）=6×5，

得x=32（2+1），

即N每分鐘行走32（2+1） m.

4.答案：91.

解：設按定價售出了x臺，每臺y元（y<200，是整數），則由題設可得方程

xy+60100y（200-x）=30498，

經恒等變形，即

xy+300y=5×15249，

亦即y（x+300）=3×5×13×17×23.①

因為0≤x≤200，

所以300≤x+300≤500.②

由①、②，得x+300=15×23=345，

或x+300=17×23=391.

于是x=45或91，

相應的y=221或195.

因為y是小于200的整數，195<200，所以只取

x=91，y=195.

故按定價售出的是91臺.

5.答案：44.

1

解：如圖11，以ED為直徑作⊙O（此圓在△ABC內，并且與邊AB相切）.

當△ABC內的點P在⊙O外時，∠DPE就是銳角，所以

SR=S△ABC-S⊙O

=12×122-π×（62）2

=72-9π

=72-28.26…

=43.7…

≈44 cm2.

6.答案：256.

解：依題意，可設

n513-2n=m2（m是自然數），①

顯然，當n是自然數時，513-2n≠0，

所以①可化為

n=513m22m2+1.②

因為n是自然數，所以2m2+1必須是513的約數，

因為513=1×33×19，

故可得下表：

2m2+1139192757171513

m20149132885256

m012313288516

n0171228243256

在這些可能性下，只有

2m2+1=1，3，9，19，513

符合條件.

解得m=0，1，2，3，16，

由②，得n=0，171，228，243，256.

因此n的值中最大的是256.

7.答案：34.

解：如果這句話對，則A，B說了真話，C說了假話，那么，“這句話對”的概率是

23×67×15=12105.①

如果這句話不對，則A，B說了假話，C說了真話，那么，“這句話不對”的概率是

13×17×45=4105.②

由①、②可知，這句話可能是真話，也可能是假話，因為總計16次中，12次對，4次不對，所以“這句話是對的”的概率是1216=34.

8.答案：-2.

解：由題設條件及公式

（a+b+c）2

=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca），

得ab+bc+ca

=12[（a+b+c）2-（a2+b2+c2）]，

于是xy+yz+zx

=12[（x+y+z）2-（x2+y2+z2）]

=12（9-7）

=1.

再考察恒等式

（t-x）（t-y）（t-z）

=t3-（x+y+z）t2+（xy+yz+zx）t-xyz

=t3-3t2+t-xyz，

令t=x，y，z，依次代入，則得

x3-3x2+x-xyz=0，①

y3-3y2+y-xyz=0，②

z3-3z2+z-xyz=0.③

將①、②、③等式等號兩邊分別相加，并將題設等式條件代入，則得

12-3×7+3-3xyz=0，

即xyz=-2.

9.答案：（-32，12）.

解：題設的方程即

（2x2+6x+6）（3y2-3y+2）=158.

易知2x2+6x+6=2（x+32）2+32≥32，

3y2-3y+2=3（y-12）2+54≥54，

所以（2x2+6x+6）（3y2-3y+2）

≥32×54=158，

當且僅當x=-32，y=12時，題設的方程成立，

所以（x，y）=（-32，12）是唯一解.

10.答案：5，6，10.

解：由ai+bi+ci=21及ai，bi，ci是彼此不同的整數，知

最長邊長不能超過10，并且不小于8.

當最長的邊長是10時，考慮到三邊彼此不等，則其余兩邊的長是

9和2，或8和3，或7和4，或6和5，

同理，當最長的邊長是9時，其余兩邊的長是8和4，或7和5.當最長的邊長是8時，其余兩邊的長是7和6.

由余弦定理cosC= a2+b2-c22ab知道，當cosC愈小時，C愈大.

由上面的七組數值，可得下表：

a9876877

b2345456

c10101010998

cosC-512-916-58-1320-164-11014

觀察此表可知，有最大的最大角的那個三角形的邊長是5，6，10.

11.答案：x=24y=8或 x=54y=2.

解：因為x，y是正整數，所以由題設方程的結構可知xy也是整數.故可設

x=my（m是正整數）.

將它代入已知的方程，得

2my+my2+m=243，

m（y+1）2=243，

即（y+1）2=243m.

觀察它的結構，可知243m應是平方數，故只能取

m=3或27.

于是得下表：

m327

x2454

y82

故滿足條件的正整數解是

x=24y=8或 x=54y=2.

12.答案：12.

解：將已知的兩個方程分別進行相加和相減，可得

（y+1）（x+z）=36.（y-1）（z-x）=10.①②

因為x，y，z都是正整數，所以，

由①得y+1=2，3，4，6，9，12，18，

即y=1，2，3，5，8，11，17.③

由②得y-1=1，2，5，10，

即y=2，3，6，11.④

觀察③、④，得y=2，3，11.

將y的值代入到①、②可得下表

x121

y2311

z1172

x+y+z141214

所以（x+y+z）min=12.

13.答案：50-252.

解：設水壺的容積是x L，則前后兩次倒入水桶的水共2x L.

因為從桶中灌入另一個水壺的稀釋的x L酒中也含有水，水的量是x·x50 L，

所以，桶中水的量是

2x-x250 L，①

兩次倒出又先后被裝滿水后，桶中酒的量是

（50-x）-x·50-x50 L，②

由題設知①=②，即

（50-x）-x·50-x50=2x-x250，

整理后，得x2-100x+1250=0，

x=50±252，

由題設知x<50，故只取

x=50-252.

14.答案：15∶22.

解：設正方形的邊長是12，因為

S△ADES四邊形EDCB=12AE·AD12（BE+CD）·BC=AEBE+CD

=AE（AB-AE）+CD

=AE（12-AE）+12

=AE24-AE，

又因為S△ADES四邊形EDCB=519，

所以AE24-AE=519，得AE=5.

又在△ADE中，

DE2=AE2+AD2=52+122=169=132，

DE=13.

所以△ADE的周長=AE+AD+DE

=5+12+13

=30，

于是四邊形EDCB的周長

=BC+CD+DE+EB

=12+12+13+7

=44.

故△ADE的周長和四邊形EDCB的周長的比是

30∶44=15∶22.

2

15.答案：172.

解：如圖12，從點P作PD⊥AB于點D，PE⊥BC于點E.設AB=BC=a，PD=x，PE=y，則由點P在△ABC內及PA=5，知a>5.

由題設條件及所設，有

42-x2=BD252-x2=（a-BD）242-y2=（a-EC）212-y2=EC2.①②③④

由②-①，整理后，得

BD=a2-92a.⑤

由③-④，整理后，得

EC=a2-152a.⑥

因為∠PEC=90°，

所以PE2+EC2=1.

注意到BD=PE，于是可得

（a2-92a）2+（a2-152a）2=1，

即a4-26a2+153=0，

以a2為未知數，解得

a2=17，a2=9（不合題意，舍去）

所以S△ABC=a22=172.

16.答案：576.

解：因為數m是3的倍數，

90≤m≤100，

所以m=93，96或99.

又m是長方形的周長（即：兩個長+兩個寬），

所以m是偶數.

于是只取m=96.

設長方形的長和寬分別是a，b，則

2（a+b）=96，

a+b=48.

要求符合條件的長方形的面積最大，也就是ab的值最大.

易知ab≤（a+b2）2=（482）2=242=576.

所以，符合條件的長方形的最大面積是576.

17.答案：8，8，8.

解：設三角形三條邊的長分別是a，b，c，則

a+b+c=24，l=12.

因為a，b，c是整數，1

a234455666778

b111111101110111099108

c111091089789878

共11組.

由S2=l（l-a）（l-b）（l-c）及l=12知，當l-a，l-b，l-c三個數彼此越接近時，l-a，l-b，l-c三個數的積越大.觀察上表，可知當三邊的長都是8時，該三角形的面積最大，此時

S2=12×4×4×4=768.

18.答案：50.

解：由題意知道，去掉n個數中4個最大的質數后剩下（n-4）個數，它們的和是

（n-4）×24346

=（n-4）×（24+346）

=24（n-4）+346（n-4）.

這個結果應當是自然數，于是推知（n-4）×346是自然數，故

n-4是46的倍數.

若n-4=46×1，則n=50，此時，四個最大的質數是47，43，41，37，它們的和是

47+43+41+37=168.

從前50個自然數中去掉這四個質數后，剩下的數的和是

50+12×50-168=1275-168=1107，

它們的平均數是 110750-4=24346，

所以n=50是符合題意的一個值.

當n-4≥46×2時，n≥96.由于在92和96之間沒有質數，所以去掉四個質數后，剩下的（n-4）個自然數的和

Sn-4>1+2+3+…+92

=1+922×92=92×932，

它的平均值是

Sn-492=92×932×192=932>24346.

故可知除了50，沒有符合題意的n.

綜上所述，僅有n=50符合題意.

19.答案：133.25.

解：將長方體沿DH，EA，HG展開，得圖13，則

3

DN1=72+（4+6）2=149，

DM1=（62）2+（8+72）2=141.25.

將長方體沿EH，EF展開，得圖14，則

4

DN2=（82）2+（6+7）2=185，

DM2=（6+72）2+（8+62）2=211.25.

若螞蟻從底面ABCD穿過，得圖15，則

5

DN3=（6+7）2+（82）2=185，

DM3=（72）2+（8+62）2=133.25.

將長方體沿著GC展開，得圖16，則

6

DN4=（7+82）2+62=157.

綜上，螞蟻最少爬133.25能找到糖.

20.答案：119，166，195，379，498，999.

解：設三位數是abc，則由題意得

100a+10b+c=abc+10（a+b+c），

即90a-9c=abc，①

①可化為1a+b9=10c，②

因為a，b，c是三位數的數字及②，

所以a，b，c≠0.

于是19≤1a，b9≤1，

故由②得29≤10c≤2，

于是5≤c≤45，

從而5≤c≤9，③

所以，c取5，6，7，8，9中的值.

當c=5時，由②得

1a+b9=2，

即a=918-b，

得b=9，a=1，abc=195，

經驗算，知此數符合題意.

當c=6時，由②得1a+b9=53，

即a=915-b，

得b=6，a=1，abc=166，

經驗算，此數符合題意.

當c=7時，a，b都不是整數.

當c=8時，由②得1a+b9=108，

即a=3645-4b，

得b=9，a=4，abc=498，

經驗算，此數符合題意.

當c=9時，由②得1a+b9=109，

即a=910-b，

得b=9，a=9，abc=999，

或b=1，a=1，abc=119，

或b=7，a=3，abc=379.

經驗算，這3個數均符合題意.

綜上，符合題意的三位數是119，166，195，379，498，999.

接力賽

1A.答案：4.

解：設f（n）=n3+n2+7.將n=0，1，2，…，9，10逐一代入：

f（0）=7，

f（1）=9=3×3，

f（2）=19，

f（3）=43，

f（4）=87=3×29，

f（5）=157，

f（6）=259=7×37，

f（7）=73+72+7=7×57，

f（8）=583=11×53，

f（9）=817=19×43，

f（10）=1107=33×41，

故滿足題意的n的值共有4個，

即：0，2，3，5.

1B.答案：0.4.

解：前面傳來的答案是T=4.

7

如圖17，在矩形ABCD內，DC=AB=9，DA=CB=T+3，以A為圓心，AD為半徑畫弧，交AB于點E，弧DE將矩形分為兩部分.

當點P在陰影內時，

AP>T+3.

設f（P）表示AP>T+3的概率，則

f（P）=S矩形ABCD-S扇形ADES矩形ABCD

=9（T+3）-14×3（T+3）29（T+3）

=1-112（T+3）

=1-712

=512

≈0.4.

2A.答案：35.

解：依題意，得

x=y+z

=（c+8）+（8+d）

=[（4+a）+8]+[8+（b+7）]

=27+（a+b）

=27+8圖18

=35.

2B.答案：53.

解 如圖18，由題意知道

△ADC∽△CAB，

于是ADAC=CACB=CAAB，

得AD=AC2AB=AC2T-52=2AC2T-5=50T-5.

前面隊友傳來的T=35，

所以AD=5035-5=5030=53.

3A.答案：25.

解：設用甲種鹽水x L，乙種y L，丙種z L，

且x≤35，y≤25，z≤30.

則 {x+y+z=508%·x+3%·y+11%·z=50×7%①②

化簡②，得8x+3y+11z=350，③

①×8，得8x+8y+8z=400.④

因為丙種鹽水要盡可能多用，所以乙種鹽水也需要相應增加.

④-③，得5y-3z=50，

3z=5y-50≤5×25-50=75，

z≤25.

經驗證，將乙種鹽水25 L、丙種鹽水25 L混合后，恰是50 L濃度為7%的鹽水.

所以，丙種鹽水最多可用25 L.

3B.答案：272.

解：如圖19中所設，則陰影面積

9

S=m2-12[xy+（m-y）（x+2）+（m+1-y）（m-x-2）+（y-1）（m-x）]

=m2-12（xy+mx+2m-xy-2y+m2-mx-2m+m-x-2-my+xy+2y+my-xy-m+x）

=m2-12（m2-2）

=12m2+1.

由隊友答案知T=25=m2，得

S=12×25+1=272.

注意：若以u，v分別替換1，2，則

S=12（m2+uv）.

個人賽

1.答案：2和3.

解：因為37≈6.0…，

3+37≈9.0…≈3.0…，

2+3+37≈5.0…≈2.2….

所以無理數2+3+37在整數2和3之間.

2.答案：9.

0

解 用圖形法.

如圖20，作4×5的方格圖：易知

AC=32，

CB=25，

AB=26，

所以S△ABC=4×5-12（9+8+5）=9.

3.答案：16.

解：因為F（n）=1n（1+2+…+15）

=1n×1+152×15

=120n，

而120=1×23×3×5，

所以n=1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120，

即n的值有16個.

4.答案：7.

解：因為221=24×9+5，設24×9=a，則9|a，且

221（mod 9）≡5（mod 9）.

于是2212（mod 9）≡52（mod 9）≡7（mod 9），

2213（mod 9）≡7×5（mod 9）≡8（mod 9），

2214（mod 9）≡8×5（mod 9）≡4（mod 9），

2215（mod 9）≡4×5（mod 9）≡2（mod 9），

2216（mod 9）≡2×5（mod 9）≡1（mod 9），

2217（mod 9）≡1×5（mod 9）≡5（mod 9），

所以221k（mod 9）≡221k+6（mod 9）

（其中k為整數），

因為2012÷6=335……2，

所以2212012（mod 9）≡2212（mod 9）

≡7（mod 9）.

故2212012被9除，余數是7.

5.答案：326.

解：設有x位學生，旅游總費用是y元，則由題設條件可得

28x=y-1830x=y+4，①②

②-①，得2x=22，

即x=11（人），

于是由①，得

y=28x+18=326（元）.

6.答案：不存在.

解：依題意，得

a-b=312ah=a+a+b，①②

由①、②消去b，得

ah=6a-6

即h=6-6a.

因為h，a是非零自然數，

所以a只可取1，2，3，6.

因為a-b=3，并且b是自然數，

所以只有a=6符合條件，此時h=5.

但是，當h=5時，原三角形的腰是6，底是3，腰上的高是5，顯然不可能.

所以這樣的三角形不存在.

7.答案：205.

解：松鼠跑的距離是兩條直角邊長分別為45 m和200 m的直角三角形的斜邊的長，即

452+2002=42025=205 m.

8.答案：24.

1

解：如圖21，以O為對稱中心，在⊙O內分別作與AB，CD對稱的弦A′B′，C′D′.

觀察此圖，由題設條件，及圓的對稱性可知

（S1+S3）-（S2+S4）

=陰影長方形的面積

=4×6

=24.

9.答案：2-3.

2

解：如圖22，易證

△ABM≌△ADN.

設BM=x，則DN=x.由△AMN是等邊三角形，得

AM2=MN2，

即12+x2=2（1-x）2，

x2-4x+12=0，

解得x=4±232=2±3.

因為0

所以x=2-3.

故BM=2-3.

10.答案：52+542.

解：依題意可知，另一條直角邊長a的平方是

a2=|x-3|2-|4-3x|2

=（x2-6x+9）-（16-24x+9x2）

=-8x2+18x-7

=-8（x2-94x+8164-8164）-7

=-8（x-98）2+258，

可知，當x=98時，得到

amax=258=542，

這時，直角三角形三條邊的長依次是

|x-3|=3-x=3-98=158，

|4-3x|=4-3x=4-278=58，

a=258=542，

所以周長是

158+58+542=52+542.

11.答案：4.

解：設a+154a=m（m是正整數）.①

因為a是一個既約分數，故不是0，

所以①可化為

4a2-4ma+15=0.②

②可視為關于a的二次方程，它有根，是既約分數，也是有理數，于是Δa是完全平方數，

因為Δa=（-4m）2-4×4×15

=16（m2-15）

于是m2-15是完全平方數，

故設m2-15=A2（A是正整數），③

即（m+A）（m-A）=15

=1×15=3×5.

因為m+A>m-A，

于是有

m+A155

m-A13

解得m=8或4.

當m=8時，由②得

a=4×8±4×72×4=152或12;

當m=4時，由②得

a=4×4±4×12×4=32或52.

故不同的a值有4個.

12.答案：15600.

解 因為an+an+1+an+2+an+3=31，

所以a1+a2+a3+a4=31，

a2+a3+a4+a5=31，

a5+a6+a7+a8=31，

即每4個相鄰的數的和為31，且a1=a5，

即ak=a4n+k，n為整數.

因為2013÷4=503……1，

所以這一列數中前2013個的和是

31×503+7=15600.

13.答案：3.

解：如圖23：

由題設條件，得MN2=BN2，

即CM2+CN2-2CM·CNcosC=BN2，

亦即（20-2t）2+（20-3t）2-2（20-2t）·

（20-3t）cos60°=（3t）2，

3

化簡后，即

t2+50t-200=0，

解得t=±533-25.

因為t>0，

故只取 t=533-25

=5×5.74…-25

=28.7…-25

=3.7…，

于是可知t的整數部分是3.

14.答案：62-4.

解：由圓、正方形的對稱性及題設條件，知

點N和M在AC上，①

AC⊥平分EF.②

設⊙N的半徑是r，則由①、②知

AC=AN+NP+PM+MC，

于是AC=2r+r+2+22，③

又AC=52，④

由③=④，得r（2+1）=32-2，

r=32-22+1=8-52.

于是EF=2AP=2（2r+r）

=2r（2+1）

=2（8-52）（2+1）

=62-4.

15.答案：21

解：因為鈍角三角形的最短邊長是10，

所以3a+2>102a+3>10，

解得a>72.①

假設2a+3>3a+2，則a<1，

這與①矛盾，所以3a+2是最長邊.

若10，2a+3，3a+2是鈍角三角形的三邊邊長，則須且只須

10+2a+3>3a+2102+（2a+3）2<（3a+2）2，a>72

即a<11|a|>21，a>72

解得21

16.答案：6或16.

解：以①、②、③分別表示題設的三個等式，則

①+②+③，得

x+y+z+1x+1y+1z=476 ④

①×②×③，得

xyz+1xyz+x+y+z+1x+1y+1z=14，⑤

將④代入⑤，得

xyz+1xyz+476=14，

即xyz+1xyz=376，

6（xyz）2-37（xyz）+6=0，

解得xyz=6或16.