數學知識在高中物理解題中的運用

摘 要：在以往的分科式教學中，教師和學生會將數學和物理視作“經典”的理科，這是因為兩門學科中的許多知識是互通的。而在高中階段的物理教學中，引導學生將數學學科中的解題方法和公式定理等知識遷移運用到物理的題目解答中，則不僅可以讓學生從新的角度看待物理問題，還能夠讓學生提升解答物理題目的速度，提升準確率。而要使學生有效地運用數學知識，教師就需要在教學中合理地對學生進行啟發、引導。

關鍵詞：數學知識;高中;物理解題;融合運用

觀察、理解、總結、實驗、應用是物理學科的重點教學內容，而反映在物理學科的題目中，便是其題目基本都是由圖形和理論知識構成的[1]。因此，在學習物理時，學生會遇到各種困難，如審圖困難、空間想象困難、圖形與知識聯系困難等。而數學知識的遷移應用，則能夠幫助學生更好地進行邏輯、抽象思考。即在運用數學數形結合等方法、三角函數等知識的情況下，學生能夠有效地厘清物理題目的問題，進而更加有效地解題。

一、結合實際物理問題，合理運用數學知識

數學作為一切學科的基礎，與物理學科聯系緊密。在學生解答物理題目的過程中，經常需要借助數學知識進行快速計算和理解，但是二者在本質上是存在較大差異的，物理是獨立于數學之外的學科。因此，在解題中要理解物理題意，了解題目情境，便于充分理解解題思路后，考慮用何種數學知識進行解題。例如：在計算物體位移問題中，會有這樣的問題：一輛出租車車速30m/s，以5m/s2的加速度進行急剎車，要求求出后10s內的位移距離。對這類題型，可以通過數學方法算出6秒后出租車速度已經下降為0，不可能進行移動，最后4秒，出租車不動，位移為零。面對這種問題，學生不能簡單使用數學知識，避免進入計算的誤區。因此，數學知識在高中物理應用是存在局限的，需要結合具體題目分析哪種數學知識可以為物理解題提升效率和準確率，也要通過不斷教學研究來對數學知識在高中物理應用進行深入探討，從而有效探索出適當的應用途徑，確保數學知識促進物理教學的發展，也保障學生物理學習成效的增強。要清楚認識物理和數學知識的關系，不能將其擴大化應用，要選擇性地進行物理案例的示范性解題，以此通過數學知識推動物理教學走向高質量發展。

二、以數學思維方法，進行物理解題思考

數學和物理是兩門極為相似的學科，這就使得許多數學的學習思維也可以在物理學科的學習中使用[2]。例如：在數學中，包含著數形結合、函數與方程、等價轉換以及分類討論等數學思維方法。這些思維方法，是數學知識的重要內容，也是學生數學學習的基礎。而從高中物理的教學視角來看，這些思維方法在物理的解題中也有極強的作用。

以數形結合思想方法的應用為例，在物理學科的題目中，純理論且數據較為復雜的題目類型有許多，計算人車之間的距離便是其中比較經典的一類。例如：汽車在靜止的狀態下，以2米/s的加速度啟動，車后40米處有一人，其以速度V勻速追趕汽車。當人在離汽車小于30米時開始吶喊，若他在與汽車的距離小于30米范圍內持續吶喊2秒，司機便能聽清并停車。求解，該人若要讓司機停車，那么他的速度V最小為多少？這是一道較為簡單的物理題，考查的主要是速度的相關知識，但是學生在解這一題時容易出現錯誤，比如：忽略“吶喊”的那2秒。因此，在引導學生閱讀與分析題目時，教師需要嚴格要求學生使用數形結合的數學思想方法，即以數軸的方式，畫出簡圖，并且可以用細箭頭的方式，將題干中的數字與圖形聯系起來。

三、以特定數學定義，進行物理解題運算

（一）使用比例定義，進行簡便運算

在高中物理的解題中運用數學知識，包括引導學生熟練運用數學中的某種定義，以此來對物理的題目進行解答和優化[3]。在各類數學定義中，比例是一種較為常用的定義。教師可以引導學生在面對一些簡單的問題的時候，使用比例定義，進行較為簡便的運算。

以初速度為0的勻加速直線運動的選擇題為例，三個一樣的木塊緊挨著固定在桌面上，一子彈以水平速度V從左至右，以水平的路線打進木塊中，并做勻減速直線運動，并且，在穿透第三塊木塊時，速度正好為零。求子彈打進三個木塊時的速度比和穿過所用時間比。對于這一題，學生可以先用逆向思維，即子彈做的是勻加速直線運動，又因為木塊一樣，所以學生可以直接以位移等分為前提的比例式，即t1∶t2∶t3=1∶∶，之后再結合vt=at，便可以得到速度的比。這樣的解題方式，便充分應用了比例的知識，十分簡便。

（二）使用極值定義，進行快速思考

相對于比例定義，極值的定義在物理學科的題目中應用的機會較多。在高中物理的章節知識中，包括電路、磁場等相關內容[4]。而在物理的題目中，這些章節的知識常被設計成解釋某種極端的情況。在這樣的題目中，使用極值的相應定義進行思考，便能夠增強學生對物理題目的理解，并讓學生在少計算甚至是不計算的情況下，完成對題目的解答。

以簡單的電路選擇題為例，在一串聯電路中，有一滑動變阻器R1和一定值電阻R2，二者阻值分別為200歐和300歐。電路中有一電壓表，其接線方式如上圖所示;R1的a端連接正極，另一端為b。求當變阻器的滑片由a滑向b時，電壓表的變化。在面對這一題目時，部分學生會一頭霧水，或者開始進行較為煩瑣的計算。而應用數學中的極值定義，學生則能夠在簡單的運算之后，就找到正確的選項。具體而言，在應用極值定理時，學生可以分別取滑動變阻器的兩個極值，即假設滑片分別處于a/b段，然后分析兩種情況下電壓表的測量值。當然，在這個過程中，教師應當提示學生應用數形結合的方式，即對提出的兩個假設，分別繪制出相應的電路圖，避免出錯。在繪圖之后，學生便可以很直觀地判斷出，在a點時，電壓表測量的是電源電壓;而在b點時，電壓表測量的便是R2的電壓。如此，學生便可以再進行直接的計算，得出變化過程中的電壓情況。在實際的解題過程中，這樣的思路反映在學生腦海中，便是十分清晰的，且邏輯較為嚴謹，既能夠保證學生解題的準確率，又可以提升學生的解題速度以及增強學生對電路相關知識的理解。

四、以對應數學公式，進行物理解題計算

（一）利用三角函數公式，優化物理解題計算

三角函數知識在高中物理的題目解析中有十分重要的作用，教師在引導學生解答受力分析、光折射等題目時，便可以要求學生在讀完題目，并根據題目進行基礎的圖像繪畫之后，利用三角函數的公式，對題目進行有效的解答和計算。

以物體運動的解答題為例;已知一條河寬為260米，小明想駕駛一條渡船以垂直河岸的形式渡河，已知渡船在靜水中的航行速度為36千米/小時，而河水的流速為18千米/小時。請問，小明該如何駕駛船，才能以垂直的方式渡河。這一問題的關鍵點便是題目詢問的是船駕駛角度，厘清題目后，學生把速度圖像畫出來，就可以清晰地聯系到數學內容，利用三角函數的相關知識快速地列出式子進行求解，即cosα=V水/V船=1/2，即α=60。。相比于純粹利用物理知識進行解題，結合數形結合思想和三角函數的相關知識，學生便可以又快又好地解答這一題目。

（二）利用函數方程定理，優化物理解題計算

在高中物理的題目中，有些題目粗看起來可以直接使用函數的相關知識，但是在實際解答時，學生便會發現這些題目的陷阱較多，且比較容易出錯。對于這類題目，教師可以引導學生合理利用函數方程的相關知識，進行有效的計算。此外，在章節知識的教學中，教師也可以基于不同的內容，滲透進不同類型的函數知識，以此潛移默化地培養學生使用數學知識解決物理問題的能力。以在電學問題的解決過程中使用反比例函數的情況為例，現有一電源Q，其電動勢為E，內電阻為r，連接一滑動變阻電阻R，求電源的最大輸出功率。在解題時，教師可以引導學生使用各種函數知識。比如：教師可以先引導學生設電源的輸出功率為P，流出電源的電力為I，電源兩端的電壓為U。然后，教師便可以引導學生使用“P～R函數關系法”“P～I函數關系法”“P～U函數關系法”。如此，通過畫出函數圖像以及列出式子，學生的解答思路便會比較清晰。

（三）利用各類基礎知識，優化物理解題計算

在高中物理的解題教學中，三角函數、方程等知識點是應用較多的內容，而其他的數學基礎知識雖然被應用的機會較少，但也有較強的應用價值。因此，教師需要結合不同的物理題目，引導學生運用各類基礎知識進行解題的計算。

以不等式的性質為例，在選擇類型或者部分計算類型的物理題目中，這一數學知識的應用價值相對是比較高的。這一數學知識，對抓住不同物理量之間的大小情況有較強的針對性，能夠使物理問題的主要求解本質顯示出來。比如：現有一正方形豎直平面，其高為H，平面右上角現為一光滑圓弧，其為四分之一半圓，若一小球從圓弧上端從靜止自由滾下，要使小球有最大的射程，求最大射程時的圓弧半徑。在解答這一題時，學生需要基于相關物理知識，再結合不等式的性質。需要先設最大射程時的半徑為R，此時射出的速度為V。基于此，便可以結合機械能守恒定律，得到式子：，并解得。之后，再結合時間和射程，得到兩個式子，即和。之后，便可以結合基本不等式，得到S≤R+（H-R）=H。即最終結果為，R=1/2H時，水平射程是最大的。在解題教學時，學生會認為解題過程中不等式的相關內容好像并沒有用到多少，對此，教師就需要為學生點出：在求解未知條件的內容時，應當是先找到問題中的物理量關系，而它們的關系一般可以用不等關系來表示，在明確關系之后，才能夠思路清晰地進行列式，并最終完成問題的解答。如此，學生不僅能夠了解題目的實際解法，還會對數學知識在解題中的應用產生更加深刻的認知。

五、增強數學思維應用，轉變物理解題思路

高中物理產生的基礎是數學知識的不斷發展，其內在也是對數學思維的靈活運用。因此，高中物理除需要掌握物理知識外，還應增強對數學思維的應用，可以讓學生在面對物理案例分析中在有限的時間內找到解題的思路，提升解題效率。大部分數學問題需要不斷進行方程和公式的變換，其過程是復雜的。一些存在未知數的題目中短時間很難快速得到結果，一旦采用逆向思維就可以根據結果來找原因，從結論出發來不斷論證和推理可以分析出題目未能給到的條件，提高解題效率。

例如：數學中的極限思維模式，一種在知道條件的基礎下，將給出的條件進行縮小或者擴大，轉換成極限的模式，再結合分析來找到結果。運用極限思維，可以讓難以進行數量估計的題目打破限制，從而找出結論的取向。物理教學中，有的需要通過物理量的變動趨勢來判斷產生量的大小。通過對已知的條件進行極限思維的轉化，可以對兩極變化清楚掌握，從而分析和計算出結果，以此判斷物理現象的變動趨勢。借助數學思維需要注意的是，所有的數學思維都不是完全適合物理案例，要結合分析來判斷采用哪種數學思維。就像極限思維一樣，并不能判斷出所有物理量變化趨勢，由于存在極少數的物理量需要一定物質和環境基礎，這種時候采用極限思維并不能起到積極作用。因此，在借助極限思維上要通過物理案例的實際進行判斷，不能完全依賴于數學思維，要清楚地考慮，以此避免解題出錯。

結束語

在高中階段，數學和物理是“本質”較為相似的兩門學科，數學知識能夠有效幫助學生進行物理的解題。并且，在這個思路中，數學知識包含的不僅僅是確定的公式定理，還包括概念性的思維方式。所以，教師在進行教學設計時，需要深入挖掘物理題目與數學知識之間的共同點，然后通過開展訓練、習題講解、組織活動等方式，輔助學生將數學知識有效應用在物理題目的解答上。但是，也要注意并不是所有的數學知識都可以使用物理解題，要通過實際的案例進行深入分析，來判斷采用哪種數學知識進行解題上的應用，確保物理解題的效率和準確率。

參考文獻

[1]鄒澤明.數學知識在高中物理解題中運用的幾點思考[J].科學咨詢（科技·管理），2020（9）：192.

[2]張君瑜.高中數學與物理的滲透式教學策略探究[J].考試周刊，2020（77）：76-77.

[3]李睿鴻.三角函數在物理中的應用[J].新課程，2020（33）：21.

[4]李玉文.數學知識在高中物理解題中運用的若干思考[J].科技資訊，2020，18（21）：140-142.

作者簡介：虞小琳（1978—），女，漢族，廣西賀州人，廣西壯族自治區賀州第一高級中學，中學一級教師，學士學位。研究方向：中學物理教學。

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