手工制作融入數學教育教學的探究

朱旭穎

摘 要：用數學教學實踐案例說明手工制作融入數學教育教學的可行性，落實用數學眼光觀察世界的數學教育理念，一方面把抽象的數學概念滲透于勞動教育之中，另一方面在勞動中提升數學教育的質量，養育中學生的核心素養與思維品質。

關鍵詞：勞動教育;數學教學;核心素養;教育功能

手工制作是一種勞動的一種形式，勞動是人維持自我生存和自我發展的唯一手段.勞動可分為腦力勞動和體力勞動。勞動教育是使學生樹立正確的勞動觀點和勞動態度，熱愛勞動和勞動人民，養成勞動習慣的教育，能直接決定著學生的勞動精神面貌、勞動價值取向和勞動技能水平。2020年新高考數學命題中開始滲透勞動教育的命題，勞動教育重在“育”，重在滲透。作者在多年的教學實踐中，積極探索勞動教育如何滲透數學教學，現將實踐具體案例與探究思考呈現，以引起教師關注。

一、動手制作成習慣

（一）落實用數學眼光看世界理念

2020年修改版《普通高中數學課程標準》已將“用數學眼光觀察世界”作為數學教育的基本理念寫入課程標準[1]，將數學“勞動實習”引入高考，其教育功能顯而易見.關鍵是教師要有落實這一理念的自覺行動.2020年新高考山東數學命題就是最好的例證。“某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的界面如圖所示，O為圓孔及輪廓圓弧AB所成圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BCDG，垂足為C，，BH∥DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分面積為____cm2”

（二）養成數學眼光觀察環境習慣

2020年某日在輔導新高三學生時，遇到一件尷尬的事，請學生做下列三視圖題：

（2020年浙江卷第5題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（? ?）

此學生對此三視圖的直觀圖腦海中沒有印象，畫不出其直觀圖。然而，此學生的眼鏡盒就放在桌前如照片，此問題情境貼近此題直觀模型，為什么學生天天用的眼鏡盒（幾何體）沒有在自己的腦海中形成數學概念呢？事實上，學生缺少“用數學眼光觀察周圍事物”的意識，也說明現實的數學教學脫離實際.當給學生以眼鏡盒為模型解讀后學生頓悟。事實上，在教學中學會用身邊的物件解讀數學概念與方法，引導學生學會用數學眼光觀察是非常重要的。

（三）培養動手制作小物品的習慣

在立體幾何教學中引導學生制作空間圖形是“勞動教育”最佳載體.比如“玩泥巴”——用泥土制作三棱錐、四棱錐、正方體等，用刀切割上述幾何體觀察截面形狀培養空間概念;再如，“搭建幾何體”——用羊肉串簽搭建正四面體、正方體等。教學中遇到一非常好的案例：一個正方體鐵絲框架，在8個頂點處焊接小鉤子，每個面的面對角線由橡皮筋掛在小鉤子上，學生用兩只手拿著一對橡皮筋在“玩”，并將一對面對角線橡皮筋向外拉，當一位、二位、三位學生參與此活動后，提出并判斷下列前3個問題的正確性，探究第4個問題的規律：

（1）一個成員抓住一對面的面中心向外拉成十二面體;

（2）二個成員同時抓住兩對面的面中心向外拉（垂直面的距離相同）成十八面體;

（3）三個成員同時抓住三對面的面中心向外拉（垂直面的距離相同）成二十四面體;

（4）在上述動手實驗過程中構造了許多多面體，請研究一下，這些多面體的棱數、面數、頂點數之間有沒有規律？

學生發現第（1）個正確，第（2）（3）個必須有限制條件才能成立，學生在“玩”中不僅理解了凸多面體的概念，在第（4）問題中還發現了“歐拉公式”。

二、實驗實習成風氣

（一）用數學方法參與動手實驗

解三角形教學后組織學生測量建筑物高度就是一個動手實驗的過程，在2017年版2020年修改《普通高中數學課程標準》的案例15與2000年第2期《中學數學教學》 “ 培養中學生數學創造性思維的途徑”文章中都有介紹[2].

（二）用親自調查參與社會實習

針對學習生活中某些問題，設計一個項目進行調查研究，用數學的方法解決，這期間可以進行數學“建模”實習，由于需要動手參與才能完成.比如，在2010年第12期《數學通報》“新課程數學中實習作業的教育價值與設計——實習作業型設計”文章中介紹的課桌椅的設計問題[3]，就是組織學生參與數學實習，動手測量，設計方案，建立數學模型，提出解決問題的建議，在此過程中離不開勞動體驗.

（三）數學實驗探究中體驗勞動

爬（上）樓梯已成為年輕人鍛煉身體，體驗勞動的一種方式，然而在爬（上）樓梯的過程中，可以設計數學實驗活動.按身材高低分成兩個小組，一個小組A身材較矮腿較短，一步只能上一階或二階樓梯;另一小組B身材較高腿較長，一步能上一階或二階或三階樓梯，分別思考上1，2，3，4，…，10階樓梯的方法數.有人親自爬（上）樓梯，有人在旁邊計算方法數，對于高一的學生可以開展此項活動，會有各種意想不到的結果.當然，一旦接觸數列知識后，特別是了解“斐波那契數列”遞推方法后，他會覺得他的勞動是值得的，特別是B組的學生，能夠尋找到方法數的一般模型（通項公式）嗎？

三、動腦思考成品質

教學中滲透的“勞動”觀念，更多的是動手與動腦的結合，特別是動手實踐中要多“思”，養成從不同的視角去思考問題的品質.

（一）手工制作勞動中數學思考

2020年新高考山東卷第15題“加工制作零件”，正是引導學生數學邏輯推理中學會綜合應用.比如下列問題是一個經典的手工制作勞動：

婚禮上需要大量的喜糖，某包裝公司為包裝喜糖設計兩種包裝盒，如圖，甲、乙是邊長為4a的兩塊正方形硬紙板，現將甲剪接成一個正四棱柱型包裝盒，將乙裁剪接成一個正四棱錐型包裝盒，使它們的全面積都等于原正方形的面積（不計粘貼縫的面積）（Ⅰ）將你的裁剪方法用虛線標示在圖中，并作簡要說明;（Ⅱ）試比較你所制作的正四棱柱包裝盒與正四棱錐包裝盒體積的大小，并證明你的結論。

以上裁剪方法有很多種（略），進一步數學思考拓展：

探源（1）將一個正方形分割拼接成一個正四棱柱，正方形的面積為16a2，拼接的正四棱柱的表面積2b2+4bh也為16a2，從理論上說b、h的選擇方法有無數種，只是人們會從較易拼接的角度去思考，因b2+2bh=8a2，即b（b+2h）=a×8a= 2a×4a=a×4a=…，從而選擇b=a，h=3.5a;b=2a，h=a;b=a，h=1.5a;…，但仍要考慮可拼性，否則會犯錯誤。

（2）將一個正方形分割拼接成一個正四棱錐，正方形的面積為16a2，拼接的正四棱錐的表面積b2+4×bh′也為16a2，同樣b、h′的選擇方法也有無數種，人們也會從較易拼接的角度去思考，因b2+2bh′=16a2，即b（b+2h′）=2a×8a=4a×4a=2 a×8a=…，從而選擇b=2a，h′=3a;b=4a，h′=0（一種不可拼的情形）;b=2a，h′=3a;…深化（1）對于給定的正方形，裁剪成的正四棱柱的體積V柱=4a3是最大值嗎？

數學直覺告訴我們，對于給定的正方形，只要所剪接的正四棱柱接近于正方體，則體積可以達到最大。設正四棱柱底面邊長為b，高為h，則問題轉化為求V=b2h在條件b2+2bh=8a2下的極值問題，

當且僅當b=h=a時，取等號，即所剪拼的正四棱柱為正方體時，體積最大，最大體積為a3（2）對于給定的正方形，裁剪成的正四棱錐的體積V錐=a3是最大值嗎？

設正四棱錐的底面邊長為b，高為h，斜高為h′，則問題轉化為：求V=b2h在條件b2+2bh′=16a2，h′2=h2+（）2下的極值問題。

（二）勞動實踐中學會數學思考

社會實踐——游學正成為學生一種特別的學習方式。比如在瑞士登（爬）雪郎峰時，乘坐四段纜車的過程可以數學思考，把函數融合在旅游之中。乘纜車登雪山可設計分段函數，海拔高度與起點水平距離之間關系，給出纜車速度，研究乘坐纜車登山時間，提出下列數學思考：

問題：在瑞士登雪郎峰時要乘坐四段纜車才能到達海拔2970m的峰頂，海拔高度 （m）與起點水平距離 （m）之間關系圖象如圖，起點O（0，0），A（100，500），B（200，1300），C（400，2100），D（508，2964），

（Ⅰ）寫出函數h（x）的表達式;

（Ⅱ）如果纜車的行駛速度為6公里/小時，且中間需要三次換乘打卡，每次用時2分鐘，則游客從山底到山頂乘纜車需要多少分鐘？

（三）動手與動腦相結合育品質

勞動教育與數學教育的融合最明顯的特征是動手與動腦結合，直觀與抽象結合，創新與創造結合，比如，下列動手實驗類似于上述正方體的動手“玩”：一個單位正四面體框架（鐵絲），四個面為中軟橡皮，玩一個數學游戲，抓住各面的面中心向外拉且垂直相應的面，拉的長度（垂直面的距離）設為d，構造新的凸多面體，試判斷下列結論是否正確？

（Ⅰ）一位學生抓住一個面的面中心向外拉，構成七面體;

（Ⅱ）二位學生同時抓住二個面的面中心向外拉，構成十面體;

（Ⅲ）三位學生同時抓住三個面的面中心向外拉，構成十三面體

（Ⅳ）四位學生同時抓住四個面的面中心向外拉，構成十六面體

事實上，作為一個勞動者，每時每刻的勞動都離不開動手與動腦，在數學教學中把它們有機結合對學生而言是一件非常愉快的事，對教育者而言，正是在養育學生的勞動品質。

參考文獻

[1]普通高中數學課程標準[M]，中華人民共和國教育部制定，2017年版2020年修訂，48-50

[2]余繼光，培養中學生數學創造性思維的途徑[J]，中學數學教學，2000（2）：25-26

[3]余繼光，新課程數學中實習作業的教育價值與設計——實習作業型設計[J]，數學通報，2010（12）：23-27