數(shù)學動點問題題型分類與方法歸納

摘 要：所謂動點問題是指在線段上、射線上、圓上、立體圖形中、函數(shù)圖象中存在一個或者幾個運動的點，這些點的運動問題就是動點問題。[1]作為歷年中考第24題的必考內(nèi)容，動點問題在中考中占有重要地位，同時，動點問題的求解方法也是中學數(shù)學教學中一個重點和難度內(nèi)容。本文通過對近年來大連市中考試題進行分析，根據(jù)問題提出維度，將中學階段動點問題分為求線段、求面積兩種題型，根據(jù)題型的不同，相對應地，總結(jié)出不同的解題方法。旨在更好地服務于中學動點問題教學實踐。

關(guān)鍵詞：動點問題;題型分類;解題方法

一、求線段類動點問題

（一）例題

例1 （2014年大連市中考24題） 在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8。折疊紙片，使點B落在AD上，落點為點B′。B′從點A開始沿AD進行移動，折痕所在的直線l，位置也隨之發(fā)生改變，當直線l經(jīng)過A時，B′停止移動，連接BB′。設(shè)直線l與AB相交于E，與CD所在直線相交于F，B′移動的距離為x，點F與點C的距離為y。

（1）求證：∠BEF=∠AB′B;

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍.[2]

（二）題目共性特征

1.借助圖形變換，考察學生通過觀察，推導線段或角之間的特殊數(shù)量關(guān)系的能力;

2.圖形中包含諸如等腰三角形、直角三角形、矩形等特殊圖形，便于考察特殊圖形的相關(guān)性質(zhì)定理。[3]

（三）求解共性方法

1.通過觀察圖形中的相關(guān)幾何變換，利用這些幾何變換的性質(zhì)，得出相等的邊或角。例如，在常見的幾何變換中，平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后，圖形中的對應線段、對應角依然相等，

2.通過分析題目中的圖形和已知條件，得出特殊圖形，在利用特殊的性質(zhì)，推導出邊或角的特殊數(shù)量關(guān)系。例如，等腰三角形的三線合一，直角三角形可以利用勾股定理，矩形的邊、角的特殊性質(zhì)等等。

3.利用上述邊或角的相等關(guān)系，得出圖形的全等或相似，在利用全等或相似的性質(zhì)，得出線段的表示方法，即為所求。[4]

二、求面積類動點問題

（一）例題

例2? （2016年大連市中考24題） 如圖1，△ABC中，∠C=90°，線段DE在射線BC上，且DE=AC，線段DE沿射線BC進行運動，開始時，D與B重合，D到達C時運動停止，過D作DF=DB，與射線BA相交于F，過E作BC的垂線，與射線BA相交于G.設(shè)BD=x，四邊形DEGF與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示（其中0

（二）題目共性特征

1.與函數(shù)圖象相聯(lián)系設(shè)定已知條件;

2.借助運動過程和分段函數(shù)圖像，考察分情況討論的數(shù)學思想方法;[7]

3.借助求面積公式，啟發(fā)學生構(gòu)造平行或垂直的輔助線;

4.借助特殊的圖形或特殊的位置關(guān)系，考察相關(guān)的性質(zhì)定理;

5.借助圖形變換，給出特殊的線段或角的數(shù)量關(guān)系，進而考察學生對于全等或相似相關(guān)知識的運用;[8]

6.考察求特殊圖形面積公式或割補法求不規(guī)則的圖形的面積。

（三）求解共性方法

1.觀察圖像，得出特殊值。如例2中（1）的求解，由圖象可知BC=3，故答案為3。

2.分析題目已知的運動過程，以及分段函數(shù)圖像中，每一段所對應的自變量所在區(qū)間，進行分情況討論。如例2中（2）的求解分為三種情況，分別是：當0≤x≤1時，當1

3.在利用面積公式過程中，通過分析圖形，構(gòu)造垂直或平行的輔助線。如例2中（2）第①種情況中，為求△BFD的面積，作DM⊥AB于M。[10]

4.分析題目中已知的特殊圖形或特殊位置關(guān)系，運用相關(guān)性質(zhì)定理，[8]如在例2中，運用平行線分線段成比例，直角三角形勾股定理等等，求相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系或線段長度。

5.分析已知條件中的圖形變換，得出特殊的線段或角的數(shù)量關(guān)系，進而得出全等或相似，運用全等或相似的性質(zhì)，求出相關(guān)線段的長，再代入特殊的圖形的面積公式或利用割補法求不規(guī)則的圖形的面積來求解。

結(jié)語

回顧歷年中考第24題，動點問題在中考中占有重要地位，同時，動點問題的求解方法也是中學數(shù)學教學中一個重點和難度內(nèi)容。總結(jié)近年來大連市中考試題，中學階段動點問題根據(jù)問題提出的維度，分為：求線段和求面積兩種題型，題型的不同，其對應得解題方法也不同，在實際的問題求解和教學過程中，可以根據(jù)題型，進行對應方法套用。

參考文獻

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[2]李寒月.空間與圖形課程內(nèi)容的教科書比較研究[D].長春：東北師范大學，2008.

[3]張哲.初中數(shù)學動態(tài)幾何問題的解題障礙分析及對策[D].蘇州：蘇州大學，2016.

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[6]朱立明.義務教育階段學生數(shù)學符號意識分析層次的建構(gòu)[J].數(shù)學教育學報，2019（2）.

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[9]劉永東，王艷萍.“全等三角形”數(shù)學活動課的教學設(shè)計與實踐反思[J].中學數(shù)學教學參考，2013（1）.

[10]馬德軍，常傳紅.“角平分線（一）”教學紀實與點評[J].中學數(shù)學教學參考，2013（1）.

[11]張林.基礎(chǔ)生長 本質(zhì)回歸——一節(jié)習題課的教學設(shè)計與思考[J].中學數(shù)學教學參考，2015（6）.

[12]王擁軍.數(shù)學教學中的過程性例[J].中學數(shù)學教學參考，2012（1）

作者簡介：張馨月（1987-）滿族，女，遼寧大連人，碩士，大連市第三十九中學數(shù)學教師，中學一級教師，主要從事數(shù)學教學研究。

基金項目：大連市教育科學“十三五”規(guī)劃2018年度一般課題“動點問題中培養(yǎng)初中生邏輯推理素養(yǎng)策略研究”，課題編號：ND2018111。