淺談習題課教學中形成一般觀念的路徑

施永紅

[摘? 要] 章建躍先生在文[1]中提到：能自覺地運用一般觀念指導數學學習與探究活動，是學生學會學習的標志，是從“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的過程，也是理性思維得到良好發展的表現. 新課程理念下的習題課教學，就可以通過“活用教材→深入探究→注重數學通性通法→掌握數學思想和方法→形成一般觀念→指導數學學習與探究活動→……”的路徑達到培養數學核心素養、落實“四基”和“四能”的教學目標.

[關鍵詞] 通性通法;思想方法;核心素養;一般觀念？搖

引言

“直線方程”是解析幾何的起始內容，也是解析幾何的基礎，所以在這個單元要充分挖掘有利于育人的教學素材.其中通過習題課教學充分調動學生學習與探究的積極性，注重數學通性通法，有利于形成一般觀念，進而培養數學核心素養、落實“四基”和“四能”. 下面從直線方程的習題課教學過程及課后作業批改體會等方面淺談習題課教學中形成一般觀念的路徑.

習題課典型例題分析

【課堂典例1】 人教A版課本P115B8

過點P（3，0）作直線l使它被直線l ：2x-y-2=0和l ：x+y+3=0截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.

解法一分析：要求出過點P（3，0）的直線l的方程，還需要另外一個點，可以把l 與l的交點A的坐標設出來，因為l ：2x-y-2=0，所以設交點只需要設出橫坐標a，縱坐標用2a-2表示，即設A（a，2a-2）;再利用中點坐標公式求出l 與l的交點B的坐標B（6-a， 2-2a），把B的坐標代入l 的方程，求出a，即得A ， ，用兩點式求解.

這是平常思維比較活躍的學生提供的思路，即運用“坐標法”.

解法二分析：要求出過點P（3，0）的直線l的方程，還缺一個“方向”，經分析斜率存在，設為k.分別聯立l ：2x-y-2=0與l的方程y=k（x-3）及l ：x+y+3=0與l：y=k（x-3）的方程，用k分別表示l 與l的交點A ， ，l 與l的交點B ， ，再利用A，B的中點是P（3，0），求出k即可.

這是另一位學生提供的思路，設出所求直線方程的方法，即“待定系數法”.從計算量大小的角度看，本例題用設點坐標法更好.

【課堂典例2】 人教A版課本P110B9

已知△ABC的頂點A（6，1），AB邊上的中線CM所在直線方程2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，求：（1）頂點C的坐標;（2）直線BC的方程.

分析：（1）C ，4，解略.

（2）以下是兩位學生提供的不同解法.

解法一分析：設B（2n+5，n），則AB中點M ， ，把M的坐標代入直線2x-y-5=0，得2· - -5=0，得n=- ，從而B- ，- ，再用兩點式求得直線BC的方程（下略）.

解法二分析：依題意，直線BC有斜率，設為k，則直線BC方程為y-4=kx- ，聯立x-2y-5=0，得B ， ，AB中點M ， 在中線CM所在直線2x-y-5=0上，即： 2· - -5=0，解得：k= （下略）.

第一位學生運用的是“坐標法”，第二位學生運用的是“待定系數法”.同樣，從計算量大小的角度看，本題運用“坐標法”更好.

【課堂典例3】 蘇版的B組題

已知兩條直線a x+b y+1=0和a x+b y+1=0都過點A（1，2），求過兩點P （a ，b ），P （a ，b ）的直線方程.

分析：已知兩條直線a x+b y+1=0和a x+b y+1=0都過點A（1，2），即有：a +2b +1=0且a +2b +1=0，即：點P （a ，b ），P （a ，b ）的坐標（a ，b ），（a ，b ）均滿足x+2y+1=0，所以方程x+2y+1=0表示的直線必過點P ，P ，所以過兩點P （a ，b ），P （a ，b ）的直線方程為：x+2y+1=0.

本題不乏其他解法.上述解法是“坐標法”的典型應用：用“直接把交點A（1，2）代入兩條直線方程”來代數化“兩條直線都過點A（1，2）”，再觀察所得方程的形式特點，得到P ，P 的坐標同時滿足的方程，此方程即為所求，體現了代數問題幾何化和再從幾何問題代數化的數學思想和方法.

通過本節習題課中學生的表現，可以看出筆者在教學中不斷強調解析幾何的最基本的思想及注重通性通法的教學效果. 解析幾何的基本思想和方法是“幾何問題代數化”和“代數問題幾何化”，而解決本節課中問題的通法就是“坐標法”和“待定系數法”. 所以在這種習題課中形成一般觀念的路徑是：活用教材→深入探究→注重數學通性通法→掌握數學思想和方法→形成一般觀念. 除了課堂中的學習與探究活動，還需要在初步形成的一般觀念指導下，課后通過完成作業的方式，繼續讓學生參與學習與探究活動，進而逐步形成良好的循環圈.只有形成了這樣的循環圈（即路徑），才能培養學生的核心素養、落實“四基”和“四能”.所以本節習題課結束后，筆者布置了如下的作業題：

已知三角形的三個頂點分別是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求角A的平分線的方程.

作業批改中發現的教學效果

作業題的難點是：如何把“角平分線”的條件代數化.結果在批改中發現學生在作業中的良好表現，筆者按照“如何代數化‘角平分線的條件”來將方法歸類.

【類型一】 用“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”來代數化“角平分線”的幾何條件

解法一：（待定系數法）

設出角A平分線的點斜式方程，利用角平分線的性質求斜率（有增根，要舍根）.

解析：若角平分線的傾斜角為90°，則不可能. 設角A的平分線斜率為k，則角A的平分線方程為：y-1=k（x-4），令x=0，y=1-4k，得角A平分線與y軸的交點為N（0，1-4k），則點N到直線AB：4x-3y-13=0與到直線AC：3x+4y-16=0的距離相等，所以

= ，

即3k-4=-4k-3，所以k=-7或k= ，易得k= 是外角平分線的斜率，舍去. 所以角A平分線l的方程7x+y-29=0.

解法二：（軌跡法）

角A平分線上的動點M（x，y）滿足的幾何條件：點M到直線AB與到直線AC的距離相等. 由點到直線的距離公式，將幾何條件代數化，得到角平分線上的動點M的橫坐標x與縱坐標y的關系式，從而得到角平分線的方程. 由距離公式的特點，有增根，要舍根. 如圖1，解略.

此方法從本質上與法一大同小異，都是利用“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”來代數化“角平分線”的幾何條件;解法一通過設直線的點斜式方程，得到角平分線的斜率;解法二通過設直線上的動點坐標直接得到角平分線上動點滿足的方程.事實上學生剛接觸解析幾何，動點軌跡的思想還很薄弱，因此法一尤其顯得難能可貴.

【類型二】 對稱轉化“角平分線”法

解法三：（坐標法）

設出對稱點坐標，通過“距離相等”代數化“對稱（角平分線特點）”的條件，求出對稱點坐標，再利用對稱性求角平分線的斜率.

解析：把直線AB，AC關于角平分線對稱，轉化為直線上的點關于角平分線對稱，即：設點C關于角A平分線的對稱點C0（或點B關于角A平分線的對稱點B0）的坐標（由于直線已知，所以所設的橫、縱坐標只有一個未知數），再用“AC=AC ”或“AB=AB ”來代數化“對稱（角平分線特點）”的條件，從而建立對稱點坐標的方程來求解.

解析：如圖2. 設在AB：4x-3y-13=0上與點C關于角平分線對稱的點C a， ，且有AC=AC （所設的定點C 所滿足的幾何條件），利用兩點的距離公式，將條件代數化： 10= ，解得：a=10，或a= -2（舍），所以C （10，9）. 又C（-4，7），所以k = = . 因為CC ⊥角平分線l，所以k =-7（下略）.

或者：如圖3，在AC：3x+4y-16=0上設出與B關于角平分線對稱的點B a， . 由AB=AB 同理可得：a=0，或a=8（舍），所以B （0，4）（下略）.

注意：本題是用“角的頂點到兩邊上關于角平分線對稱的點的距離相等”來代數化“對稱（角平分線的特點）”的條件，從而建立相關對稱點坐標的方程來求解.

解法四：（數形結合法）

充分挖掘圖形的幾何特征，直接找到點B關于角平分線對稱的點的坐標.

解析：因為AC=10=2AB，取AC中點M（0，4）. 因為AM=AB=5，所以點M（0，4）與點B（7，5）必是關于角A平分線的對稱點，因為k = = ，BM⊥角平分線l，所以k =-7（下略）.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

法四的價值在于：發現AC=10=2AB，自主求出AC中點M（0，4），必有AM=AB=5，所以點M（0，4）必是點B關于角A平分線的對稱點，從而由對稱性得到角A的平分線的斜率.

同樣是用“角的頂點到兩邊上關于角平分線對稱的點的距離相等”來代數化“角平分線”的條件，解法四與解法三不同的是：通過觀察探究，直接找到了點B關于角平分線對稱的點的坐標（0，4），而不是通過常規的“設點坐標、建立方程”求解.可見，充分挖掘圖形的幾何特征有利于減少代數的計算量.

【類型三】 利用“角平分線與角的兩邊所成的角相等”代數化“角平分線”的條件.

解法五：（三角法）

先充分挖掘圖形的幾何特征，再找角平分線的傾斜角從而得到斜率.

因為k ·k =- · =-1，所以AC⊥AB，如圖4，角平分線的傾斜角β為AB的傾斜角α加上45°.因為k = =tanα，角平分線的斜率k=tanβ=tan（α+45°）= = =-7，由點斜式得（略）.

本方法利用圖形的幾何特征，從觀察傾斜角為切入口，利用“角平分線與角的兩邊所成的角相等”代數化“角平分線”的條件，直接找到角平分線的傾斜角與角的兩邊的傾斜角的關系，從而求出斜率. （若設直線AC的傾斜角為γ，則γ=β+45°，所以β=γ-45°，tanγ=- ，亦同理可得.）

解法六：（三角法）

由角相等，挖掘傾斜角的關系，用斜率來坐標化傾斜角. 作出直線AB，AC及角A的平分線與x軸的交點，則直線AB的斜率為k = ，傾斜角為α ;角A平分線的斜率為k ，傾斜角為α ;直線AC的斜率為k =- ，傾斜角為α . 由對頂角相等及三角形外角和定理得：α -α =α -α （1），由k =tanα ，k =tanα ，k =tanα ，所以將（1）式兩邊取正切（本題有意義）：所以tan（α -α ）=tan（α -α ），所以 = ，所以 = .

所以 = 整理得：（3k -4）2=（4k +3）2，從而求出斜率（有增根，要舍根）（下略）.

此方法與解法五如出一轍，都是利用“角平分線與角的兩邊所成的角相等，由傾斜角入手來代數化“角平分線”的條件. 解法五是首先挖掘到“角的兩邊互相垂直”，很明顯解法六更具一般性.

【類型四】 利用角平分線定理求出角A平分線與BC的交點D的坐標

解法七：設點（角A平分線與BC交點D）（向量法）

利用角平分線定理，結合數乘向量，求出角A平分線與BC交點D的坐標，用兩點式得AD的方程.

解析：設角A平分線與BC交點為D，由等面積法或正弦定理易證： = = ，因為點D在線段AB上，可以把線段的距離比轉化為數乘向量： =2 ，

因為C（-4，7），D（x，y），B（7，5），所以（x+4，y-7）=2（7-x，5-y），

所以x+4=14-2x，y-7=10-2y，所以x= ，y= ，所以D ， . 又A（4，1），由兩點式得直線AD（即角平分線）的方程.

本方法的價值是：利用數乘向量把角平分線中的距離比 = = 轉化為 =2 ，使得二維的距離代數運算（二元）轉化為一維的代數運算（一元），大大減少了計算量;但是本方法要求學生對“角平分線的性質”很熟悉.

通過比對發現，凡是能夠充分挖掘圖形的幾何特征的方法，如法四、五、六、七等，計算量都比較小. 可見解析幾何中數學運算素養的發展，是與數形結合、直觀想象的素養發展緊密聯系的.

筆者在批改作業的時候，深深為學生的拓展思維所折服. 即使是基礎較弱的孩子，也有閃光的智慧. 很明顯，學生已經逐步形成了解決解析幾何問題的一般觀念：作圖（數形結合挖掘可代數化的幾何條件），設點（求定點坐標或求動點軌跡），或者根據題意設方程（本題是設直線方程的點斜式）. 一般觀念不僅能引領學生開展前后一致、邏輯連貫的學習活動，而且還能激發學生的創造性思維，使發現數學對象的本質、關系和規律成為可能，從而使學生應用概念思維的一般觀念解釋較大范圍的一系列相關現象，感受一般觀念的普適性以及在解決數學問題中的威力[1] ，這樣才能逐漸發展學生的數學學科核心素養.

筆者認為學生在作業中令人眼前一亮的驚艷的表現，必是這一段時間的課堂教學積累的成效;通過解析幾何中的問題解決，學生充分發揮自己的潛能，創造性地解決新情境下的問題，而不是機械地復述數學，可以使學生體驗數學的思想方法，構建自己的數學觀念，激發學生的自主性特征，即自尊、自信、自律和自我激勵，培養學生對數學的興趣[2]，這樣的“活用教材習題，掌握思想方法，形成一般觀念”教學只要持之以恒，學生的數學學科素養必定得到不斷提升.

教學后的反思

“坐標法”是解決解析幾何問題的通性通法，也是解析幾何的核心思想和方法，即“幾何問題代數化”. 在教學中我們要反復強調“先直觀感知圖形性質、再用坐標代數化”的一般觀念，概括起來就是：

1. 數形結合（充分挖掘圖形的幾何特征，使得幾何條件可以坐標化;同時重視代數式子幾何化）.

2. 在坐標系中設點坐標（定點或動點），然后利用幾何條件，求出定點;或者求出動點坐標x，y的關系，即點的軌跡方程（注意純粹性和完備性），通過研究方程來研究圖形性質（本單元的圖形是直線;之后會學習圓及橢圓、雙曲線、拋物線，由一般觀念同理可得）.

3. 如果圖形是直線，則設出方程的相關形式，即待定系數法;注意直線方程各種形式的適用條件. 若采用點斜式，應先分類考慮斜率不存在的情況;若采用截距式，應先分類判斷截距是否為零（本單元的圖形是直線;之后會學習圓及橢圓、雙曲線、拋物線，由一般觀念同理可得）.

當學生在老師的引導下概括出以上三點，同時把“數學運算”的核心素養扎實落地，那么以后再持續學習解析幾何可以說“走遍天下都不怕了”，這就是“一般觀念”的威力！

參考文獻：

[1]? 章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續4）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學數學教學參考，2019（28）.

[2]? 何小亞. 數學學與教的心理學[M]. 廣州：華南理工大學出版社，2016.