情境—問題—活動—評價：基于大概念的“平面向量數量積”教學實踐

劉國祥 姚偉榮

[摘? 要] 以大概念統整單元教學設計已成為共識，但在單元整體設計視角下課時設計如何對接大概念？文章就課時設計提出了四個維度——情境、問題、活動、評價，結合平面向量數量積的教學實踐給出了設計策略.

[關鍵詞] 情境;問題;活動;評價;核心素養

學科大概念并非指學科中某一具體的概念或定理、法則等，而是指向學科核心內容和教學核心任務，反映學科本質的、能將學科關鍵思想和相關內容聯系起來的特殊的概念. 大概念視角下教學與設計就是從整體思維的視角和學科知識結構出發的，引領教師的教學過程和學生的學習過程，提升學生的核心素養. 如何基于學科大概念設計課堂教學？下面結合蘇教版必修4“平面向量的數量積”進行“情境—問題—活動—評價”設計，探討大概念背景下課堂的設計與教學.

“情境—問題—活動—評價”設計策略

首先，教師要在大概念引領下，創設一個真實的、與實際生活緊密聯系的數學情境，將要解決的問題蘊含在特定的情境中，讓學生通過對情境中相關信息的感知和理解來提出核心概念;其次，教師要基于情境與核心概念，設計出指向核心概念的結構化、分層次的子問題和任務;最后，學生圍繞子問題和任務開展有針對性的合作、探究等自主學習活動，構建核心概念. 評價活動貫穿整個教學活動之中，重點評價知識的遷移與應用，實現教、學、評一致.

以“平面向量數量積”的“情境—問題—活動—評價”設計案例？搖

1. 情境指向核心概念

在教學中從單元大概念出發，創設能激發學生興趣、連接學生已有經驗、引發學生情感共鳴的真實情境，幫助學生建構概念、發展思維、形成觀念. 圖1是情境與問題的設計框架.

平面向量大概念：向量化思想，其核心將幾何圖形及其關系向量化，通過向量的代數運算解決幾何問題.？搖平面向量的數量積是學習了向量加法、減法和數乘之后一種新的運算，從大概念出發提出核心問題：“向量線性運算可以研究封閉圖形的平行問題，對于平面圖形中的垂直問題，特別是長度及角度問題能否用向量來解決？”這樣解釋了“為什么要引入平面向量數量積概念”這個問題，讓教材邏輯結構與學生認知結構貫通. 針對核心問題，類比物理學中的功，教師創設以下情境：①如圖2，在力F的作用下物體位移為s，求力F對物體所做的功是多少;②如圖2，在力F的作用下物體位移為s，求力F對物體所做的功是多少;③如圖3，在力F的作用下物體位移為s，求力F對物體所做的功是多少. 你是如何考慮的？

設計意圖：圖4中力F和位移s的夾角為θ，類比引發向量的夾角;力F可以分解成兩個等效的力來替代，可以轉化為圖2、圖3，類比引發向量投影概念;功的表達式類比建構數量積的定義及幾何性質，從情境中提煉出核心概念.

2. 問題啟迪學生的思維

學生的問題源于情境，思維始于疑問. 教師創設情境后，讓學生走進情境，提出指向核心概念的結構性問題和任務來啟發學生的思維. 學生在情境與問題的互動過程中建構概念.

問題1：從物理角度來看，力F和位移s都是矢量，角θ為兩矢量的夾角，把力F和位移s看作向量a，b，那么從數學角度來看，如何定義向量夾角？（設計意圖：建構向量夾角）

問題2：W=F·s·cosθ，把力F和位移s看作向量a，b，如何從數學角度得到兩向量積（a·b）的運算法則？（設計意圖：建構數量積定義）

3. 活動提升核心素養

大概念視角下學生活動的設計：首先圍繞本節核心問題，讓學生在核心問題引領下生成結構化的知識;其次基于學生的認知結構和知識的邏輯結構，設計成邏輯連貫的“問題鏈”，讓學生在“問題鏈”中學會思考;針對不同學習內容和任務設計不同的教學方式，包括引導學生閱讀自學、合作交流、動手實踐、自主探索等;活動最終指向概念所承載的素養，有利于發展學生的核心素養.

向量夾角活動設計：學生閱讀課本后回答問題：①非零向量a，b，如何作出向量a和向量b的夾角？②探究非零向量a，b的夾角的范圍. ③為什么要規定a，b是非零向量？④向量的夾角可以描述兩向量的位置關系，向量共線與向量垂直時夾角分別為多少？

設計意圖：本活動將知識轉化為循序漸進的“問題鏈”，讓學生依次概括出向量夾角的本質特征;問題③的追問體現了數學法則中的規定是合理的、自然的;問題④回到了本節課的核心問題：用向量表示幾何關系. 活動設計的重心放在促進學生思考、提升學生數學抽象核心素養之上.

平面向量數量積定義的活動設計：①零向量與任一向量的數量積是多少？②決定數量積大小的量有哪些？數量積的結果是數量，數量積的正、負、零由誰決定？③如何利用平面向量數量積來解決長度與角度問題？

設計意圖：問題①將課本的規定作為問題來探究，有利于提升學生數學抽象素養. 由于定義是對非零向量而言，不能用定義來計算，引發疑問;通過小組合作探究，學生發現可以聯系情境中的問題2來說明. 問題②和問題③回到了本節課的核心問題，用向量的數量積來處理垂直、長度、角度問題.

4. 評價促進終身發展

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：評價既要關注學生數學知識技能的掌握，還要關注學生數學學科核心素養水平的達成，更要通過評價幫助學生認識自我、建立自信，改進學習方式，提升核心素養. 大概念背景下教學評價強調依據學情、課標中學業要求、核心素養水平劃分的不同等級要求，創設概念遷移應用的真實情境，指向學科核心素養的達成. 本案例設置了兩個評價活動，重點評價概念遷移與應用.

評價活動一：探究以下結論是否正確：①a·b=b·a;②（a·b）·c=a·（b·c）;③（a+b）·c=a·c+b·c.

設計意圖：數量積作為一種運算，有怎樣的運算律？問題①幫助理解數量積的定義，需要具備數學抽象的層次一水平;問題②可以通過小組討論、合作探究來判定，可以讓學生來討論何時相等、何時不相等，可以有效地評價數量積的本質是數量，需要具備數學建模、數學抽象的層次二水平. 問題③直接探究較難，可以引導學生利用數量積的幾何意義構造圖形來解決，可以有效地評價平面向量數量積的幾何意義，需要具備數學建模、數學抽象的層次三水平.

評價活動二：①已知正方形ABCD的邊長為1，點E是邊AB上的動點，? · 的最大值為______;②在正三角形ABC中，D是邊BC上的點，AB=3，BD=1，則 · =______.

設計意圖：本題的重點在新情境中評價平面向量數量積的幾何意義，第①題： 在 上的投影長度為DF，因此最大值為1;第②題：過點D作DE⊥AB于E，則 在 上的投影長度為AE= ，由幾何意義得到 · = ，需要具備直觀想象的層次三水平、數學運算的層次二水平.

反思

基于大概念的教學設計是在單元大概念的統整下實施學習目標，最終指向單元整體教學目標，教學設計從大概念提煉、情境、問題、活動、評價五個方面來整體謀劃，幫助學生建構概念，發展學生的核心素養.

（1）教師要從整體角度出發做好單元概念的層次分析，厘清概念之間的關系，構建概念圖，提煉出隱藏于知識背后、統領單元的大概念，從大概念出發進行課時設計，形成結構化知識與方法體系.

（2）創設支撐概念發生、發展的真實情境，提出指向核心概念的結構化的問題，以“問題鏈”為依托設計學生活動，引領學生圍繞主題學習.

（3）設計指向核心素養達成的評價任務，在遷移與應用檢測素養的達成度， 促進學生的終身發展.