培養高中學生數學錯題反思能力的實踐研究

董育洲

[摘? 要] “反思是數學思維活動的核心和動力”. 錯題反思是學生對數學解題思維過程和結果的自我探究、自我評價、自我察覺的一系列過程，讓學生學會錯題反思，既可以幫助學生再次審題和閱讀解題過程，找出錯誤原因，并及時改正，從錯誤中汲取經驗和教訓，還能有效地堵住學生知識掌握上的漏洞，促進學生數學反思能力的提高和數學解題效率的提升，培養學生的數學核心素養.

[關鍵詞] 高中數學;數學錯題;反思能力;培養策略

數學學科知識具有抽象性、嚴謹性等顯著特點，在學習過程中無法通過一次學習就能徹底地理解數學本質，而加強反思、循環不斷，有利于促進學生對知識的內化吸收. 數學解題是學習數學的重要途徑，由于習題復雜多變、千變萬化，學生不可避免地會出現各種錯誤;由于長期以來很多教師在教學中只注重發現錯題、糾正答案，而不注重引導學生對解題過程及思維進行反思，學生無法及時發現自己的錯誤根源，從而導致做錯的題目一錯再錯. 因此，培養高中生的數學錯題反思能力，有助于學生找到錯誤原因，進行查漏補缺，汲取經驗和教訓，掌握該類題目的解題方法與規律，對于提高學生解題能力具有十分重要的作用.

反思錯題審題過程

審題是數學解題過程中的首要步驟，認真審題、理清題意、挖掘隱含條件是正確解題的關鍵. 而有的學生在審題時總是粗心大意，因為審題不清而產生的錯題屢見不鮮，尤其是對于一些常常犯錯的學生而言，可能會因審題而重復犯一些錯誤，這些都是學生沒有養成良好的審題習慣而造成的. 所以，在對數學錯題進行反思時，首先需要引領學生反思錯題的審題過程，反思題意是否弄懂，已知條件、隱含條件和所求問題是否完全找出，數量關系或圖形關系是否理順，等等，要讓學生充分意識到審題的重要性，審題一旦錯誤，就會滿盤皆輸，在潛移默化中使其無論是在解題前還是在錯誤反思時，都養成良好的審題習慣.

例1：已知z =x+yi， =x-yi，其中x，y∈R，且滿足x2+y2=1，z =（3+4i）z +（3-4i） .

（1）求證：z ∈R;

（2）求z 的最大值與最小值.

錯誤答案：（1）因為z =x+yi， =x-yi，其中x，y∈R，所以z + =x+yi+x-yi=2x，z - =x+yi-（x-yi）=2yi，因此，z =（3+4i）z +（3-4i） =3（z + ）+4（z - ）i=6x-8y∈R.

（2）因為x2+y2=1，設t=6x-8y，代入上述式子消去y得到64x2+（6x-t）2=64，化簡可得100x2-12tx+t2-64=0，因為x為實數，計算Δ≥0？圯-10≤t≤10. 所以，z 的最大值與最小值分別為10和-10.

錯誤反思：在這道題目的求解過程中，顯然第（2）問的解答過程是錯誤的. 雖然x∈R，那么是否x就能取遍所有的實數呢？顯然學生忽略了題目中的隱含條件，即x取實數，并不代表100x2-12tx+t2-64=0在實數集上有解，而且是在滿足x2+y2=1的條件下有解. 因此，筆者引導學生思考：由x2+y2=1是否能夠得到x的取值范圍呢？顯而易見，x2=1-y2≤1，所以x∈[-1，1]，這樣方程求解就被限定在閉區間x∈[-1，1]了，僅僅依靠判別式是不夠的. 事實上，我們可以將上述一元二次方程轉化為二次函數y=100x2-12tx+t2-64在區間x∈[-1，1]上有零點的問題進行求解. 這樣分三種情況討論即可求出正確的答案. 忽略隱含條件是學生常常易犯的錯誤，避免這種錯誤沒有捷徑，只有讓學生時刻提醒自己在解題完成后再一次進行審題，化簡變形是否等價？是否還有隱含條件？往往有時候隱含條件可能會運用多次. 在上述例題中，就被使用了兩次，一次用于化簡變形，一次用于限定取值范圍. 這就需要學生“慎思之，明辨之，篤行之”，養成良好的審題習慣，才能提高解題正確率.

反思錯題知識運用

數學解題的過程，就是學生利用數學概念、定理、公式、圖形等方面知識求解數學問題的過程，學生對知識點的掌握程度直接決定著學生解題水平的高低. 數學題目是靈活多變的，而有些學生的數學知識基礎比較薄弱，無法有效地將已知條件進行延伸，促進新舊知識的聯系，甚至在解題時常常會出現知識點混淆、公式或定理濫用等錯誤出現. 為此，在數學錯題反思教學過程中，引領學生反思題目中所運用的知識點，可以查漏補缺，幫助學生強化與鞏固基礎知識，從而為學生解題效率的提升奠定基礎.

例2：已知sinαcosβ= ，求cosαsinβ的取值范圍.

錯誤答案：錯解1：因為sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，又-1≤sin（α+β）≤1，sinαcosβ= ，所以- ≤cosαsinβ≤ .

錯解2：因為sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，又-1≤sin（α-β）≤1，sinαcosβ= ，所以- ≤cosαsinβ≤ .

錯誤反思：這是三角函數中的一道典型易錯題，易錯的原因在于學生對三角函數最值范圍的相關知識點的掌握比較薄弱，尤其是對于“等號”的取得，學生特別容易忽視.

錯解1和錯解2是兩種明顯矛盾的答案，在呈現兩種錯誤答案后，很快有學生發現了cosαsinβ≥- 與三角函數的“有界性”是相互矛盾的，而同樣地在錯解2中也無法取到 . 至此，筆者認為此題的錯誤糾正可以水到渠成了，于是讓學生再次進行求解. 結果卻出人意料，學生依然存在錯誤：

錯解3：cos2αsin2β=（1-sin2α）（1-cos2β）=1+sin2αcos2β-（sin2α+cos2β）= -（sin2α+cos2β）.

由于sin2α+cos2β≥0，所以cos2αsin2β≤ ，所以- ≤cosαsinβ≤ ，當且僅當sin2α+cos2β=0時取等號.

該生將解題過程板書出來后，很快有學生提出了這是錯誤解法，其原因是沒有考慮sin2α+cos2β是否能夠取到0. 當sin2α+cos2β=0時，則sinα=cosβ=0，這顯然與sinαcosβ= 是相互矛盾的.

那么這道題目究竟該如何解決呢？于是筆者引導學生思考：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，聯立兩個三角函數關系式子，可以得出sinαcosβ= ，cosαsinβ= ，這樣我們就可以將原題目轉化為：已知sinα·cosβ= = ，求cosα·sinβ= 的取值范圍. 到了這一步，我們可以利用換元思想，令m=sin（α+β），n=sin（α-β），這樣又可以進一步對題目進行轉化：已知m+n= ，-1≤m≤1，-1≤n≤1，求 （m-n）的取值范圍. 此時，這道題目求解就變得豁然開朗了. 在經過換元和多次轉化后，學生就能順利地得出取值范圍為- ， .

學生在數學解題過程中出現數學知識認知上的偏差或判斷失誤并不可怕，最關鍵的是我們要及時地幫助學生弄清楚錯誤的原因，查漏補缺，讓學生在不斷反思錯誤的過程中逐漸走向正確認知，進而獲得對數學本質的認知，這樣才能取得出人意料的教學效果.

反思錯題解題思路

在數學解題過程中，所涉及的知識點眾多，解題思路也會隨之靈活多變，或簡單，或繁雜. 清晰明了的解題思路，能達到事半功倍的效果. 一旦解題思路混亂，就會給學生解題帶來阻礙，甚至感覺無從下手. 解題思路的選擇不合理或錯誤，是造成解題錯誤的重要原因之一. 所以，在反思錯題過程中，需要帶領學生反思自己的解題思路，反思在解題過程中運用了哪些數學概念、定理或公式，解題順序是否正確，解題思路是否清晰，解題方法是否最優. 確保每一步都能做到有依有據. 這樣有利于訓練學生解題思維的條理性、邏輯性，相比于簡單的解題教學而言，解題思路的反思更能提高學生對知識的整合能力.

例3：已知關于x的方程9 -4·3 =a有實根，求a的取值范圍.

錯誤答案：設t=3 ，則有t>0，則原方程可化為t2-4t-a=0，有正實根的條件是Δ=16+4a≥0，-a>0，所以-4≤a<0.

錯誤反思：這道題目的錯誤在于有些步驟中缺乏依據，且解題思路比較混亂. 在錯題反思過程中，筆者引領該生一起對整個解題過程進行了反思，幫助他理清解題思路，尋找錯誤的根源.

師：在解題過程中，你換元的目的是什么？

生：換元可以簡化方程，讓計算變得更加簡便.

師：那么，x與t之間構成了一種什么樣的函數關系？

生：x是函數t的自變量.

師：要確定x和t的取值范圍，實際上是求什么？

生：求函數的定義域和值域.

師：t>0的結論是如何得出來的？

生：因為t=3 = >0.

師：那么t是否會大于1呢？我們一起來研究一下. t=3 ，要求t的取值范圍，實際上是求函數的值域. 如何求呢？函數t=3 可以看作是函數t=3u和函數u=-x-2復合而成的，由于x∈R，所以u≤0，進一步推出0

生：求方程t2-4t-a=0在0

師：不錯，但依然存在兩個問題：t2-4t-a=0在0

生：可以將一元二次方程在給定區間上的實數根分布問題轉化為二次函數在定區間上的零點問題.

師：非常好，弄清楚錯誤的根源所在是解題的關鍵之處，也是數學思維能力的提升關鍵. 本題還可以通過分離參數求解，請同學們自己獨立完成.

在引導學生對錯題進行反思過程中，從他們的錯誤入手，讓他們自己陳述錯誤的思路，在幫助他們弄清解題思路的過程中，使其不斷地反思這道題目中考查了哪些數學概念，并通過滲透轉化的數學思想和方法，帶領他們逐層地進行轉化，尋找問題的突破口.

綜上所述，數學錯題的反思，有助學生更好地理解和掌握數學知識，使其意識到自己錯誤的根源，重新明確解題思路和解題方向，有效促進學生解題效率的提升和錯題反思能力的培養.