高中數學變式教學要有豐富的內涵和外延

殷大僑

[摘? 要] 在高中數學變式教學中，如果變式的內涵和外延足夠豐富，那么學生更易于接受和掌握，更容易達到預期教學效果.

[關鍵詞] 數學教學;變式教學;內涵和外延

變式教學是應用變式進行教學，通過改變問題的條件或創設情境，讓學生在比較中看透問題的本質，或者掌握方法的遷移.變式教學是一種常用和實用的教學方式，許多教師在教學中都用到了這種教學方式，但得不到預期的教學效果，特別是接受稍慢的學生，仍然不能完全理解，那么原因是什么呢？

筆者也常常運用變式進行教學，發現如果給出的變式內涵和外延足夠豐富，那么學生是能踩著“腳手架”，夠著問題的本質的. 下面通過兩個例子來說明.

深化概念的內涵

在數學教學中，常常會遇到一些比較抽象的數學概念，比如函數的定義等，如何準確理解這些概念，界定其范圍，稱為深化概念的內涵.

教材中給出了函數的定義：設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f（x），x∈A.

這個概念比較抽象，特別是對于高一的新生，難以理解，那么在教學中我們該如何設計，才能使學生比較容易接受呢？這里應用變式教學分析函數的核心概念：“對應關系”.

函數的對應關系是指“對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應”，這句話初看起來很好理解，但要準確把握其界限卻十分困難.我們可以從四個方面進行理解：（1）“一對一”是函數關系，即集合A中的元素與集合B中的元素一一對應;（2）“多對一”也是函數關系，即集合A中的多個元素可以與集合B中的一個元素對應;（3）集合A中沒有“多余”元素，即集合A中的每一個元素在集合B中都有元素與之對應;（4）集合B中可以有“多余”元素.在教學中，圍繞這四個方面，用不同的形式引入例題，給出豐富的變式.

形式1：韋恩圖. 圖1即為典型的“一對一”;如果在集合B中再添加若干個元素（圖2），那么也滿足函數的對應關系，即“集合B中可以有多余元素”;但是如果在集合A中添加一個元素，但在集合B中沒有元素與之對應（圖3），那么就不是函數的對應關系了，即“集合A中有多余元素”.

形式2：圖像. 圖4的曲線為“一對多”的情況，不滿足函數的對應關系;圖5為“多對一”的情況，滿足函數的對應關系，“集合A中可以存著幾個元素對應集合B中同一個元素”.

形式3：解析式. 解析式①的集合A中有多余元素“1”，不滿足函數對應關系;解析式②滿足函數對應關系，因為集合A中的“1”在集合B中有“0”與之對應，另外在這個解析式中存在“一對一”和“多對一”兩種對應關系.

①A=N，B=N*，f：x→y=x-1;

②A=N，B=N，f：x→y=x-1.

通過上述表現形式，直觀形象地“描繪”出了函數的對應關系，變抽象為具體，再通過正反對比，清晰地界定了概念的內涵，使學生對這一概念得到了深刻的理解，同時也豐富了數學語言（圖形、符號等），疏通了理解的“外圍”障礙.

當然，要完整地理解函數的概念，還可以增加“為什么要引入集合”等問題，可從函數的發展史上講述數學家是怎樣一步一步地提煉概念的，教育學生無論是數學定義，還是定理、公式，都不是一蹴而就，而是逐漸積累、慢慢發現的，引導學生耐心細致地探索問題.

擴展方法的外延

在高中數學教學中，除了數學概念，還有數學方法.不少學生僅僅掌握特定的某種題型的解法，而不會“推而廣之”，關鍵是數學方法的外延不夠豐富，即將這種數學方法推廣應用到更多的題型.

比如用待定系數法構造數列，求解數列的通項公式，例如，數列{a }滿足：a =2a +1，a =1，求數列{a }的通項公式.

這道題屬于簡單的常系數數列遞推公式，其通項的求法可以通過待定系數法推出.在遞推式a =2a +1兩邊同時加1，得到a +1=2（a +1），則數列{a +1}為等比數列，公比為2，所以通項a +1=（a +1）·2n-1，即a =2n-1.

實際上，形如a =pa +q（其中p，q均為常數，pq（p-1）≠0）的遞推式，都可以通過這種方式求得：在原遞推公式兩邊同時加上某個常數，使其構成等比數列，即an+1+k=p（a +k），展開后對照系數，不難解出k= ，所以數列a + 是首項為a + ，公比為p的等比數列，.

僅僅掌握這類題是不夠的，學生并沒有理解待定系數法求通項的本質，比如將上述遞推式中的“1”變成“3n”，如何求數列的通項公式呢？不少學生就不會變形了，所以在講述這類問題時，還需要把待定系數法進行推廣，打開學生的思維，不能讓學生對問題的思考停留在一個狹窄的空間.

教學中，可以補充形如“（1）a =3a +n+1，a =1;（2）a =3a +2n，a =1”等類型的遞推. 具體解法如下：

（1）因為遞推式a =3a +n+1的右邊增加了一個一次式，所以在a =3a +n+1兩邊配湊一個一次式，構成一個等比數列，即a +k（n+1）+b=3（a +kn+b），特別注意，左邊是k（n+1）+b，右邊是kn+b.展開后對照系數，不難得到k= ，b= ，所以a + （n+1）+ =3a + n+ ，則 a + n+ 是等比數列，公比為3. 所以a + n+ =a + + ·3 ，所以a = - n- .

（2）因為遞推式a =3a +2n的右邊為指數式，所以在遞推式a =3a +2n的兩邊同時加上一個底數為2的指數式，使其構成一個等比數列，即a +k·2n=3（a +k·2n-1），注意左邊是k·2n，右邊是k·2n-1. 展開后對比系數，不難得到k=2，所以a +2·2n=3（a +2·2n-1），即{a +2·2n}是公比為3的等比數列，所以a +2n+1=（a +22）·3n-1，故a =5·3n-1-2n+1.

通過對比，學生不難總結出待定系數法適用于a =pa +f（n）（其中p為常數，f（n）可為常數、一次式、指數式等）的遞推式，那么學生會問： p不是常數，比如是n，可以用待定系數法嗎？f（n）可以是其他形式嗎？學生自己會照著上述方法進行推導，于是“自然而然”地就掌握好了這一方法.作為檢測，可以讓學生練習：數列{a }滿足a =2a +3n+1，a =1，求數列{a }的通項公式. 由此檢驗學生對此方法是否熟練掌握.

在教學中，適當地改變題型的部分條件，增加“同構”問題的研究，使該數學方法的外延得到擴展，既可活躍學生的思維，讓他們有更多的“動手動腦”體會，又可使他們深刻掌握數學方法的本質.

變式教學要有豐富的內涵和外延

變式教學著眼于學生的最近發展區，通過搭建“腳手架”，讓學生理解數學概念，掌握數學方法. 但是如果概念的內涵和方法的外延不夠豐富，學生仍然理解不透，掌握不了，猶如在浮沙上筑高臺.特別是新知識，學生一開始就有畏懼或謹慎心理，這也符合人的認知規律，所以在教學中需要豐富的內涵和外延，讓學生“看到”“體會到”問題的本質，有了這些間接經驗，學生才能大膽嘗試，學生嘗試了，他們才能真正學會，才能達成預期的教學效果.