四等分三角形面積的尋美之旅

李織蘭 蔣曉云 王凱成

[摘? 要] 把一個三角形剖分成四個面積相等的三角形的方法有很多，文章開啟追求“最美”之旅，用黃金分割比和尺規作圖的方法畫出了一個“最和諧”的剖分構圖. 此方法體現理性探索精神，展示和諧之美和邏輯之美.

[關鍵詞] 黃金分割點;尺規作圖

問題：在△ABC內確定三個點D，E，F，把一個△ABC剖分成四個面積相等的三角形，即S =S =S =S = S .

王凱成[1]教授用解析幾何的方法，計算出D，E，F的坐標，接著描點作圖. 查找資料，也沒有找到用傳統的尺規作圖畫出這個圖形的方法. 我們與很多初等數學研究專家進行過討論，認為用傳統的尺規作圖的方法畫出這個圖形是一個難點.

數學實驗細觀察

為了探索結論，我們在幾何畫板上畫了一個動態圖形，如圖2. 要將△ABC的面積四等分，即要先保證S△ADB=S△BEC=S△CFA= S ，將△ABC的各條邊四等分，G，H為AB邊上的四等分點，K，L為AC邊上四等分點，S，T為BC邊上四等分點，連接KS，HT，GL. 因為S =S =S =S = S ，所以點D必須在線段KS上，點E必須在線段GL上，點F必須在線段HT上.

拖動D，E，F三點分別在線段KS、線段GL和線段HT上滑動，目標要把中間的那一塊變成△DEF，如圖3.

從圖中看出，當且僅當“B，D，E三點共線;C，E，F三點共線;A，F，D也三點共線”時，則△ABC分成了四個面積相等的三角形，即△ADB，△BEC，△CFA，△DEF.

拖動三點的位置，要達到十分完美融洽與平衡，才能出現令人驚奇的“B，D，E三點共線;C，E，F三點共線;A，F，D也三點共線”和諧共存現象，使S =S =S =S = S . 然而，點D，E，F的特征并不明顯，如何確定三點D，E，F仍然困難.

探究特例找特征

著名數學家華羅庚先生曾經指出：善于“退”，足夠地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.

為了找到規律，首先我們選擇一個特殊的等腰直角三角形ABC，其中AB=4，BC=4，∠ABC=90°. 如圖4建立直角坐標系，設A，B，C的坐標依次為：A（0，4），B（0，0），C（4，0），Rt△ABC面積為8.

如圖4，將Rt△ABC三邊四等分，G（0，1），H（0，3）為AB邊上的四等分點，K（1，3），L（3，1）為AC邊上四等分點，S（1，0），T（3，0）為BC邊上四等分點，連接KS，GL，HT. 因為S =S =S =S = S ，所以點D必須在線段KS上，同理，點E必須在線段GL上，點F必須在線段HT上. 不妨設D，E，F三點坐標為D（1，y ），E（x ，1），F（x ，y ）.

由B，D，E共線，則有k =k ， = ，即x ·y =1. ①

由A，F，D共線，則有k =k ， = ，即y -4=x （y -4）. ②

由C，E，F共線，則有k =k ， = ，即x -4=（x -4）·y . ③

直線HT的方程為：x+y=3，點F在線段HT上，所以x +y =3. ④

聯立②式和④式，消去x 得：y = . ⑤

聯立③式和④式，消去x 得：y = . ⑥

由⑤式和⑥式，消去y 得：8x +8y -3x ·y =21. ⑦

聯立①式和⑦式，得到：x +y =3，x ·y ？搖=1. ⑧

由韋達定理知道x ，y 是方程x2-3x+1=0的根，而x2-3x+1=0的根為：x = .

（1）x = =2+ ，y = . 我們驚奇地看到了黃金分割比.

圖4中，P，E，L三點坐標為：P（2，1），E2+ ，1，L（3，1）， = ，因此，E點為線段PL的黃金分割點.

由④式、⑤式、⑥式可以求出x ，y 的值，也就是可以求出D，E，F三點坐標，經計算可判斷D點為線段MS的黃金分割點，F點為線段NH的黃金分割點.

（2）x = =1- ，y = . 我們也看到了黃金分割比. E點坐標為：E1- ，1. 在圖5中， G，E，M三點坐標為：G（0，1），E1- ，1，M（1，1）， = ，因此，E點為線段MG的黃金分割點.

由④式、⑤式、⑥式可以求出x ，y 的值，也就是可以求出D，E，F三點坐標，經計算可判斷D點為線段NK的黃金分割點，F點為線段PT的黃金分割點.

邏輯推理證猜想

將從特殊直角三角形得出的結論，推廣到任意的三角形，得到如下猜想.

猜想：如圖6，將△ABC的三邊四等分，G，H為AB邊上的四等分點，K，L為AC邊上四等分點，S，T為BC邊上四等分點，連接KS，GL，HT. D，E，F分別為線段MS、線段PL和線段NH的黃金分割點，則（1）B，D，E三點共線，C，E，F三點共線，A，F，D也三點共線;（2）S =S =S =S = S .

證明：由于△ADB，△BEC，△CFA的底邊分別為△ABC的三邊AB，BC和AC，D，E，F點分別在△ABC四等分點連線KS，GL，HT上，所以這三個三角形的高分別為△ABC相應底邊高的四分之一，所以S =S =S = S ，因此S = S .

下面，我們來證明B，D，E三點共線（同理，我們可以證明C，E，F三點共線和A，F，D三點共線）.

連接BD，并延長交l 于E′，如果我們能證明點E和點E′是同一個點，則B，D，E三點共線.

因為l ∥AB，所以△MDE′∽△GBE′， = ，D為線段MS的黃金分割點，所以 = = .

由于l ∥BC，GB=MS， = = = ，ME′= GE′.

由于G，H為AB邊上的四等分點，K，L為AC邊上四等分點，S，T為BC邊上四等分點，所以l ∥BC，BS=TC=GM=MP=PL= BC，GB=MS， = = = ，ME′= GE′，△BDS∽△DME′.? = = ，ME′= BS= BS. 從而有，PE′=ME′-MP= BS-BS= BS= PL，說明E′是線段PL的黃金分割點，E也是線段PL的黃金分割點，所以E′和E是同一點. 從而則B，D，E三點共線.

尺規作圖和詣美

將△ABC的三邊四等分，G，H為AB邊上的四等分點，K，L為AC邊上四等分點，S，T為BC邊上四等分點，連接KS，GL，HT，分別作線段MS、線段PL和線段NH的黃金分割點D，E，F，連接AD，BE，CF，得到四等分△ABC面積的“最具和諧美”的黃金分割法的完美構圖.

我們還可以作線段MG，PT，NK的黃金分割點D，E，F，可以得到另一種四等分三角形面積的黃金分割方法.

圖形中有了黃金分割比率，可以達到一種完美融洽與平衡的效果. 令人驚奇三組“三點共線”和諧共存現象，居然是由黃金分割比確定的. 由此，產生了令人愉悅的完美構圖效果.

參考文獻：

[1]? 王凱成. 四等分三角形面積問題再探[J]. 中學數學教學參考，2019（17）.