基于方程思想為導向的解析幾何解題探究

邵炎清

[摘? 要] 解析幾何中，解決直線與圓錐曲線的位置關系以及幾何量的運算，通常應用“函數與方程”思想方法. 而數學運算是高中數學重要的核心素養，函數與方程思想是高中數學應用廣泛的數學思想方法. 在解析幾何的學習中，學生面臨兩個難點：其一，不能建立恰當的方程（組）;其二，缺乏解方程的運算能力與技巧. 文章著眼于學生學習解析幾何的兩大難點，歸結解析幾何中應用“方程思想方法”的題型及其運算技巧.

[關鍵詞] 方程思想;直線與圓錐曲線;代換

解析幾何是高中數學的重要內容，也是高考考查的重要知識點. 解析幾何體現了數學中“形與數”的辯證統一，解題研究中主要運用“函數與方程”“數形結合”等數學思想方法. 因此，解析幾何題對學生的代數運算能力與圖形分析能力要求都很高. 而對直線與圓錐曲線的位置關系的探究，一直是解析幾何解題研究的核心. 解決直線與圓錐曲線位置關系有兩個關鍵點：其一，選擇恰當的參數，將幾何位置關系轉化為代數方程;其二，運用運算法則與技巧，化簡方程（組）中代數邏輯關系. 在解析幾何的教學中，我們不難發現，學生往往能夠將幾何關系轉化為適當的方程關系式，卻缺乏代數邏輯推理與運算技巧，由此導致解題半途而廢. 因此，操控方程的能力往往決定了學生解決解析幾何問題的能力. 筆者嘗試從解析幾何的“方程思想”解題研究中，總結了以“同方程同解”“同運算同結論”“同思維同結論”“同解同方程”為導向的解題思想方法與運算技巧.

同方程同解思想

高中解析幾何研究的核心是直線與圓錐曲線的位置關系，通過方程將直線與圓錐曲線的幾何關系轉化為代數模型. 題設中存在多條與圓錐曲線幾何位置關系相同的直線，這些直線與圓錐曲線方程的建立、整理、運算方法路徑都相同，其方程的解也就相同. 這就是“同方程同解”思想.

例1：已知橢圓C： + =1上任一點Q（s，t），由原點O作圓Q：（x-s）2+（y-t）2=r2（r>0）的兩條切線OM，ON，切線交橢圓分別于M，N，切線斜率分別為k ，k （k k ≠0），當k k 為定值時，探究OM2+ON2是否為定值.

解析：直線OM：y=k x與圓Q相切，圓心距d 等于圓半徑r，d = =r，平方整理得方程①：（r2-s2）k +2stk +r2-t2=0，同理直線ON與圓Q相切，可得方程②：（r2-s2）k +2stk +r2-t2=0，故k ，k 是方程③：（r2-s2）k2 +2stk +r2-t2=0的兩根. 由韋達定理，設k k = =m（m為常數）， + =1，即s2=8-2t2，所以k k = =m，即（2m+1）t2+mr2-r2-8m=0對t∈[-2，2]恒成立. 故對2m+1=0，mr2-r2-8m=0，得m=k k =- . 又 + =1，y=k x，解得點M（x ，y ），x = ，y = ，得OM2= ，同理可得ON2= ，而k =- ，所以ON = ，推出OM2+ON2= =12.

總結：本題中直線OM，ON與圓Q都相切，它們與圓Q建立的方程①②的系數是相同的，方程①②的解也就相同了，因此方程③的解就是方程①②的兩解. 同樣的，直線OM，ON與橢圓的幾何關系也相同，它們與橢圓建立的方程也相同，解相同. 也就可以將M點解中的k 換成k ，形成N點的解. 在此類題型中，“同方程同解”思想方法的應用，簡化了運算.

同運算同結論思想

解析幾何中動態幾何關系往往轉化為代數不等關系. 遷移“同方程同解”思想，題設中存在多條直線與圓錐曲線有相同的動態幾何位置關系，這些直線與圓錐曲線建立不等式的思路、運算方法都相同，其運算結論也就相同.

例2：已知圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=4，不經過點（0，1）的直線l交圓C于M，N兩點，且以MN為直徑的圓經過原點O，求直線OM斜率的取值范圍.

解析：以MN為直徑的圓經過原點O，即∠MON=90°，直線l不經過點（0，1），所以直線OM的斜率不為0，設為k，直線OM的方程為y=kx，與圓C有公共點M故d= ≤2，解得k≥- . 直線ON：y=- x與圓C有公共點N，同解- ≥- ，得k≥ 或k<0，所以OM的斜率取值范圍為k≥ 或- ≤k<0.

總結：以MN為直徑的圓經過原點O，即OM⊥ON. 此題可以逆思維，從原點O作兩條互相垂直的直線OM，ON交圓C于M，N，利用不等式d≤r求出OM的斜率范圍k∈- ，+∞，ON斜率不等式的建立和運算，與OM相同，進而ON的斜率- ∈- ，+∞，這就是同運算同結論的思想方法的應用.

同思維同結論思想

當題設中存在形式一致的代數關系式時，這些代數式體現的幾何位置關系也就相同. 因此這些一致代數關系式的整合方法、操作思維、運算方式相同，其結論形式也一致，這就是“同思維同結論”思想.

例3：已知橢圓M： + =1上四點A，B，C，D，點P（1，1），滿足 =2 ， =2 ，探究直線AB的斜率是否為定值.

解析：設A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），

由 =2 ，可得1-x =2（x -1），1-y =2（y -1），化簡為x = ，y = . 點C在橢圓上，有 + =1，將x ，y 代換x ，y 并整理得①： + =4，點A在橢圓上，有②： + =1. ①與②作差得③：6x +8y +27=0，B，D的坐標運算過程與A，C運算過程相同. 所以得④：6x +8y +27=0. ③與④作差得：6（x -x ）+8（y -y ）=0，得k = =- .

總結：之所以可將運算A，C兩點結論①中坐標分別代換為B，D兩點的坐標得到②式，是因為題中 =2 ， =2 ，代數關系式形式一致. 處理關系式 =2 與處理關系式 =2 的思維和運算相同，其結論也相同.

同解同方程思想

若二次方程的解相同，那么方程也就相同. 當同一條直線與多條圓錐曲線交點相同時，意味著此直線與這些圓錐曲線聯立方程組的解是相同的，那方程組消元后的方程也是相同的.

例4：已知橢圓C： + =1的上頂點M，斜率為1的直線交橢圓異于M的A，B兩點，探究經過A，B，M三點的圓Q是否經過除點M外的某個定點.

解析：利用圓與直線系是求圓過定點的主要方法，故本題探究的就是能否用一個參數表示經過A，B，M三點的圓的方程. 設直線方程y=x+m（m為參數），設圓Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0，因為圓Q經過點M（0，2），代入圓方程可得F=-2E-4. 直線與圓Q聯立方程組x2+y2+Dx+Ey-2E-4=0，y=x+m，得方程①：x2+ （2m+D+E）x+ （m2+Em-4-2E）=0，其根為x ，x . 又直線與橢圓C聯立方程組 + =1，y=x+m，得方程②：x2+ x+ =0，其根也為x ，x . 因為方程①②都是二次方程，根同為x ，x ，故方程①②中各項系數對應相等，即 = （2m+D+E）， （2m2-8）= （m2+Em-4-2E），整理得2m=3D+3E，（m-2）（m+2）=3E（m-2），因為m≠2，得D= ，E= ， 代入圓Q整理得到圓與直線系方程：x2+y2- x+ y- + （x+y-2）=0，令x+y-2=0，得x2+y2- x+ y- =0，解方程組得x=0，y=2，x= ，y=- ，所以，經過A，B，M三點的圓經過除點M外的定點 ，- .

總結：本題的解題方向就是只用一個參數m表達出圓Q的方程，若用直線與橢圓聯立方程解出A，B兩點坐標，再利用A，B，M三點求解圓Q方程，運算量很大. A，B兩點既是直線與橢圓的交點，又是直線與圓Q的交點，即直線與橢圓所得方程和直線與圓所得方程是同一方程，利用待定系數解出圓Q方程.

結語

通過代數分析幾何圖形最能反映學生的數學核心素養. 高考中的解析幾何考查的重點是直線與圓錐曲線的位置關系，而圖形位置關系通過代數方程體現. 方程思想是解析幾何中的核心思想方法. “同方程同解、同解同方程思想”主要應用于題設存在相同幾何位置關系和相似代數關系的處理，整合建立其方程的形式與思維一致，處理運算方程的方法相同，所得結論也相同. 因此，“同方程同解、同解同方程”不僅是一種數學思想方法，更是一種方程的運算技巧. 它不僅在解析幾何解題中應用廣泛，在函數的解題研究中作用也很大.