復習立體幾何應抓住的幾個主要問題

何軍

[摘? 要] 做任何事情都要抓住主要矛盾，高考復習也是如此. 立體幾何是高考必考內容，地位重要，對此部分內容進行復習時，教師要引導學生抓住其主要問題：強化圖形意識，強化論證能力，強化運算能力.

[關鍵詞] 立體幾何;復習;圖形意識;論證能力;運算能力

俗話說，綱舉才能目張，做任何事情都要抓住主要矛盾，這樣才能達到事半功倍的效果，高考復習也是如此. 高考復習時間緊，任務重. 尤其對于理科的立體幾何而言，既有必修內容，又有選修內容，而且這些內容都是高考的必考內容. 那么，教師在引導學生復習時應抓住哪些主要問題呢？回答這個問題之前，我們先看看高中立體幾何的教學目標是什么？從數學教學核心素養觀的角度看，即通過對空間圖形認識，來培養學生的三種核心素養——空間想象素養、邏輯推理素養和數學運算素養. 對此，教師在組織學生復習立體幾何時，要圍繞著“教學目標”展開.

強化學生的圖形意識

強化學生的圖形意識，即是培養學生作圖、識圖、用圖的能力，因為它是學生學好立體幾何必須具備的重要能力之一，在教學中，我們看到，學生的識圖、作圖、用圖能力的薄弱主要體現在以下幾個方面：（1）三視圖的識別與還原;（2）球問題的直觀呈現與轉化;（3）作圖問題;（4）展折問題的圖形分析. 因此，教師在教學中要有的放矢加以訓練.

例1：某幾何體的三視圖如圖1所示，它的正視圖和側視圖都是正方形，俯視圖為等腰直角三角形，它的腰長為 ，那么這個幾何體的體積是（? ）

A.? B.

C.? D.

分析：依據三視圖，可畫出幾何體為如圖2所示的四棱錐A-BCDE，它的底面BCDE為矩形， 先取DE的中點F，再連結AF，那么AF就是四棱錐A-BCDE的高h. 因為BE= ，DE=2， h= sin =1，故V = ×BE×DE×h= × ×2×1= ，于是選B.

點評：忽視三視圖中的實線與虛線的區別是本題的易錯點，從而導致所判斷的空間幾何體出現錯誤.正確求解此類題的關鍵：一是畫出幾何體的直觀圖. 這個直觀圖的形狀和尺寸的大小都取決于三視圖，因此，解題時必須對三視圖進行充分研究. 二是根據幾何體的形狀確定體積公式的選擇，對于較為復雜的幾何體，可采用割補法來求體積.

當然，識圖、作圖、用圖能力的培養非一朝一夕就可實現！教師要“舍得”花時間和精力“手把手”地教學生“如何畫”;要“講明作圖的原理”，避免學生能看懂教師的“畫”自己卻畫不了;要引導學生制作立體幾何模型，以此來培養學生的模型意識與動手能力，引導學生巧借“身邊的道具”分析問題、解決問題.

強化學生的論證能力

如果說強化學生的圖形意識是為了培養空間想象素養，那么論證能力的培養就是發展學生的邏輯推理素養. 高考中，對立體幾何考查的主觀題中必有一問是證明題. 這道證明題重點考查空間線面關系的邏輯論證. 以定性分析為主，以定量計算為輔. 要求考生立足基礎，運用相關定理進行邏輯推理，且書寫規范. 但在解答時，易犯推理欠嚴密的錯誤，如證明直線與平面平行，忘了寫明平面內的兩條直線相交，忘了注明這條直線在平面外，另外一條直線在平面內. 還有的學生經常會犯邏輯錯誤，將充分條件與必要條件顛倒等等，這些問題在立體幾何復習時應該成為教師的復習重點.

例2：如圖3，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別為AB，PC的中點.

（1）求證：MN∥平面PAD;

（2）若∠PDA=45°，求證：平面PMC⊥平面PCD.

證明：（1）如圖4，取PD的中點E，連接AE，EN. 因為N為PC的中點，所以EN為△PDC的中位線，所以EN? DC. 又CD AB，M為AB中點， 所以EN AM，所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN∥AE. 又MN？埭平面PAD，AE？奐平面PAD，所以MN∥平面PAD.？搖？搖？搖？搖？搖？搖

（2）因為PA⊥平面ABCD，CD？奐平面ABCD， AD？奐平面ABCD，所以PA⊥CD， PA⊥AD. 因為CD⊥AD， PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD. 如圖4，因為AE？奐平面PAD，所以CD⊥AE. 因為∠PDA=45°，E為PD中點，所以AE⊥PD. 又PD∩CD=D，所以AE⊥平面PCD. 因為MN∥AE，所以MN⊥平面PCD. 又MN？奐平面PMC，所以平面PMC⊥平面PCD.

點評：立體幾何位置關系的證明，處處體現了轉化思想. 無論是證明線面平行、面面平行，還是線面垂直和面面垂直，最終都轉化為線線關系，轉化為平面幾何中的平行線的證明和兩條直線垂直的證明，即三維空間向二維平面轉化. 與此同時，轉化思想還體現在性質定理與判定定理之間的轉化. 在立體幾何證明題中，每一步轉化都要有理有據，不可跳步，尤其是關鍵性的語言，如本題中的“PA∩AD=A”和“PD∩CD=D”都不可漏寫.

從目前高考命題來看，雖然立體幾何論證題難度不大，但書寫格式要求嚴格規范，不得有半點漏洞，因此，對學生立體幾何論證能力的培養，也是在培養他們嚴謹治學的學風和腳踏實地的科學態度，從這一點上講更具有實際意義.

強化學生的運算能力

高考對立體幾何計算能力的考查，除了考查與三視圖有關的面積與體積問題外，就是空間角與空間距離的計算問題，空間角與空間距離的計算一直是立體幾何教學的重點與難點，這類問題，說理與計算并存，比如，要求距離，必須先證明直線與平面垂直，要求二面角，必須通過邏輯論證找到二面角的平面角，這一點往往被學生忽視，對于接下來的計算，需選擇合理方法解決，比如，異面直線所成的角往往轉化為兩條相交直線的夾角問題，而且不能忽視該角的取值范圍. 而對于理科生來說，二面角的計算問題往往可以轉化為兩個平面的法向量的夾角問題，但同樣要注意這個二面角的方向與取值范圍. 而“線面角”通常可轉化為直線與平面的法向量的夾角. 對于一些較為復雜的圖形，合理選擇“基本量”可大大簡化計算. 由于立體幾何計算題要求學生有較強的空間想象能力，故而一直是部分學生的弱點，因此，這一點在復習時也應該加強，以強化學生的立體幾何運算能力.

例3：如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點.

（1）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值;

（2）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值.

分析：因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又AD⊥AB，所以PA，AD，AB兩兩垂直，如圖6建系：P（0，0，2），B（1，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1）.

（1）設平面PBD的法向量為n=（x，y，z）， =（1，0，-2）， =（-1，2，0），所以x-2z=0，-x+2y=0 ？圯n=（2，1，1）. 設直線BE與平面PBD所成角為θ，所以sinθ=cos〈 ，n〉= = = .

（2）設F（x，y，z），所以 =（x，y，z-2）， =（2，2，-2）. 因為P，F，C三點共線，所以 =λ =（2λ，2λ，-2λ），所以x=2λ，y=2λ，z-2=-2λ，所以F（2λ，2λ，2-2λ），所以 =（2λ-1，2λ，2-2λ）， =（2，2，0）. 因為BF⊥AC，所以 · =2（2λ-1）+2·2λ=0解得：λ= ，所以F ， ， . 設平面FAB的法向量為m=（x，y，z）， =（1，0，0）， = ， ， ，所以x=0， x+ y+ z=0 ？圯m=（0，3，-1），平面ABP的法向量為n=（0，1，0），所以cos〈m，n〉= = =? ，所以二面角F-AB-P的余弦值為? .

點評：本例體現了空間向量的工具性. 體現了空間向量法在立體幾何空間角計算中的優越性，但必須先合理建系，交代并計算法向量，向量坐標運算必須準確無誤.

如何引導學生避開立體幾何運算中的錯誤？教師要提醒學生：一是牢記立體幾何有關概念，如異面直線所成角的取值范圍、二面角的平面角的定義;二是注意圖形的變化，翻折前后的不變量及位置關系，對照翻折前后的圖形，弄清楚變與不變的量.

總之，立體幾何復習，既要重視學生的基礎知識、基本技能的鞏固，又要突出綜合能力的培養創新意識的形成，以學科核心素養和基本的數學思想與方法為抓手，把學生的立體幾何思維水平推向新的高度.