運用數學“模型思想”，發展學生“核心素養”

郭蕾

摘? 要：小學數學模型思想應當是“問題情境”“抽象模型”“解釋應用”“發展完善”的過程。在小學數學教學中，教師要著重引導學生豐富“模”的積累，引導學生獲得“型”的感悟。只有引導學生建構模型、應用模型、延伸和拓展數學模型，才能讓學生在數學模型的建構、豐富中提升數學的學習力，發展學生的數學核心素養。

關鍵詞：小學數學;模型思想;核心素養

模型思想是學生數學核心素養的重要組成部分。東北師范大學史寧中教授曾經這樣說：“學生的數學核心素養主要有三：抽象、推理和模型。”從某種意義上說，學生數學學習的過程就是一個模型建構的過程。在這個過程中，學生需要進行數學抽象、數學推理。所謂“數學模型”，就是“學生根據特定的研究目的，對研究對象進行抽象、概括的過程”。這個過程，就是一個數學化、形式化、公理化的過程。一般來說，小學數學模型思想應當是“問題情境”“抽象模型”“解釋應用”“發展完善”的過程。只有讓學生親身經歷了數學模型建構、解釋、應用、發展的全過程，學生才能感悟數學思想方法，積累數學活動經驗。

一、創設情境，建構具象性數學模型

“數學模型”是一個含義豐富的概念。廣義地講，一切數學概念、公式、方程等都可以看成是數學模型。數學模型的種類很多，包括公式模型、集合模型、方程模型、函數模型等。建構數學模型基于學生的現實化需求，始于學生的多層次感知，發展于學生的形式化抽象，終于學生的思想化提煉。在模型建構過程中，教師首先要創設情境，激活學生的經驗，讓學生借助問題形成模型建構的意向。對于學生來說，知識不是純粹的，也不是孤立存在的，而是嵌入情境之中的。將學生的模型建構鑲嵌于情境之中，就是要激活學生的經驗，形成學生模型建構的意向。

比如教學“小數的意義和性質”（蘇教版五年級上冊），這是在學生三年級學習了“小數的初步認識”基礎上進行教學的，因此對于學生而言有著十分豐厚的知識基礎。同時，學生在生活實踐中已經廣泛地接觸了小數，如商店里、超市里，如在里程表、電表、水表上，等等。這些為學生全面認識小數的意義奠定了堅實的基礎。教學中，筆者選取了學生熟悉的經驗生活中的素材，如家具的尺寸、超市中常見的物品的價格等。如此，增強學生的感性認識。教學中，筆者讓學生比畫“1分米”“1厘米”的長度，并讓學生從米尺上找出“1分米”“1厘米”。在尋找、比較、分析的過程中，學生認識到“1分米就是將1米平均分成10份，表示這樣的一份，也就是1米的十分之一”“1厘米就是將1米平均分成100份，表示這樣的一份，也就是1米的百分之一”，等等。那么，十分之一米、百分之一米用小數怎樣表示呢？這樣，自然能讓學生理解“小數的具體意義”，即“十分之一米就是一米的十分之一，也就是0.1米”，等等。

創設情境，激活學生的經驗。培育學生的數學模型思想，需要適宜的土壤。這個土壤就是情境。只有在情境之中，學生的情與智相融，情與智交互，才能讓學生建立起經驗的具體的模型，如“0.1米就是十分之一米”“0.01米就是百分之一米”，等等。一個個具體的數學模型，是抽象的數學模型的基礎，它關聯著學生的經驗與學生的數學認知，是學生建構數學模型的“腳手架”。

二、運用圖形，建構抽象性數學模型

學生數學模型的建構不能停留在具體的直觀的模型層面，而必須通過具體直觀的數學模型的量的積累，抽象提煉成具有形式化、符號化的數學模型。只有通過建構抽象的數學模型，才能深化學生對數學知識的認知。在建構抽象的數學模型過程中，教師可以借助圖形，對具體的、直觀的數學模型進行抽象、提煉、概括，從而實現對數學知識的深化、突破和超越。

比如在教學“小數的意義”時，當學生通過生活經驗、直觀操作認識了“0.1米”“0.1元”“0.01米”“0.01元”之后，筆者引導學生畫出了一個長方形圖，或者正方形圖，或者線段圖等，并將之看作整數1。學生認識到，這兒的整數1既可以表示1米，也可以表示1元，還可以表示1噸、1小時，等等。將整數1平均分成10份，每一份就是整數1的十分之一，也就是0.1，表示多少份就是零點幾。那么，0.1能不能繼續平均分呢？顯然，0.1還可以重新作為一個整數1，繼續平均分成10份，每一份就是0.1的十分之一，也就是原來整數1的百分之一，即0.01。同樣，表示多少份就是零點零幾，等等。在這個過程中，學生不僅建構了一位小數、兩位小數、三位小數等的小數概念，而且認識了一位小數、兩位小數、三位小數等之間的深刻關聯。

通過示意圖、線段圖，學生舍棄了具體的學習內容，而形成了對純數學的認知、理解與把握。學生認識到，“所謂‘小數，就是將整數1平均分成10份、100份、1000份……表示這樣一份或幾份的數”;認識到“一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾……”;認識到“小數的計數單位”;認識到“相鄰兩個計數單位之間的進率都是10”;等等。

三、回歸生活，建構應用型數學模型

數學模型不僅要從學生的數學知識、經驗中來，更要回到學生的知識、應用中去。回歸生活，建構應用型數學模型，就是要求教師要引導學生的數學模型解釋和應用。對數學模型的解釋、應用，要求能抓住問題的本質，逐步感悟出模型建構過程以及模型建構結果之中本質性的東西。只有回歸生活，引導學生對數學模型進行解釋、應用，經歷主動歸納、提升的過程，才能在嘗試、驗證、交流的過程中深化對數學模型的認知。

比如在教學“小數的意義”時，當學生建立了“小數的模型”之后，就可以引導學生用“噸”表示以“千克”作單位的對象，用“千米”表示以“米”作單位的對象，用圓表示以角、分作單位的對象，等等。不僅如此，教師還可以數形結合，引導學生在數軸上表示已經認識的小數。在數軸上表示0.1、0.01、0.001、0.0001等數之后，學生就會感受到數軸上的點的無窮與小數的無窮之間的一一對應性。通過對數學模型的解釋、應用，學生能對數學知識舉一反三、觸類旁通，這正是學生建構了數學模型的重要標識。數學的思想方法是隱性的，通過數學模型的建構、解釋和應用，能顯化數學思想方法。在數學教學中，要引導學生多分析、多思考，發展學生的數學模型思想和數學思維能力，進而不斷提升數學問題解決能力。通過建模、釋模、用模，不斷豐富數學模型的意義。相比較于數學知識，數學模型更為抽象，更不可照搬、復制，只能通過感悟、體驗。

回歸生活，數學的抽象模型就能獲得豐富的解釋力，就能彰顯數學模型的意義和價值，彰顯數學模型的力量。數學模型的應用，讓學生獲得多層次的感受與體驗，從而能抓住數學模型的根本。只有引導學生進行模型的生活化應用，才能提升學生的問題解決能力，有效地發展學生的數學核心素養。

四、拓展延伸，形成發展性數學模型

小學數學模型是相同的，比如“單價乘數量等于總價”“速度乘時間等于路程”“工效乘工時等于工總”等數學模型，其實都可以概括為“乘法模型”。數學模型，既有上位的數學模型，也有下位的數學模型。這樣，才能培育學生對數學知識的融會貫通的能力，培育學生數學知識靈魂應用的能力。

比如在“小數的意義”數學模型的建構中，教師可以將之與“分數的初步認識”中所建構的數學模型、與整數的數學模型相溝通，從而幫助學生建構完整的“數位順序表”。比如向左分別是“10個0.1是1，10個0.01是0.1，等等”;向右分別是“10個1是10，10個10是100，10個100是1000，等等”。當我們將小數和整數、分數勾連起來的時候，學生就能深刻認識“小數模型”，即“小數是不帶分母的十進分數”;或者說，“小數就是將整數1平均分成10份、100份、1000份……表示這樣一份或幾份的數”，并且學生認識到“小數和整數”的相通性，相鄰兩個計數單位之間的進率都是10，即“前一個計數單位是后一個計數單位的10倍，后一個計數單位是將前一個計數單位依次平均分成10份，是前一個計數單位的十分之一”，等等。這樣的認知，是一個從低級到高級、從個別到一般、從具體到抽象、從感性到理性的過程。這樣的過程，讓學生對“小數的意義”的模型的理解逐漸走向深入。

在小學數學教學過程中，教師要重視數學模型思想的滲透、孕育，要引導學生經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用的過程;要著重引導學生豐富“模”的積累，引導學生獲得“型”的感悟。只有引導學生建構模型、應用模型、延伸和拓展數學模型，才能讓學生在數學模型的建構、豐富中提升數學的學習力，發展學生的數學核心素養。