為理解而教：基于核心素養發展的數學教學

朱秋冬

摘? 要：“理解”不僅僅是簡單地“識記”，而是對知識的本質之理、方法之理、規律之理的認知、應用。在數學教學中，教師要調適自我的認知，轉變自我的思維，變換自我的想象。通過對迷思概念與科學概念的轉碼、對稚化思維與智化思維的切換、對具象數學與抽象數學的調頻來促進、深化學生對數學知識的理解。數學理解能提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

關鍵詞：小學數學;核心素養;數學理解

建構主義認為，學生在學習中不是被動地接受知識，而是運用結構性知識、非結構性經驗背景等主動地建構、創造知識。作為教師，應當運用相關的學習材料，引導學生通過觀察、操作等活動進行數學思考與探究。通過教師的引導，促進學生對數學知識的理解。“理解”不僅僅是簡單地“識記”，更不是“照本解釋”，而是對知識的本質之理、方法之理、規律之理的認知、應用。通過數學理解，提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

一、調適認知：在“迷思概念”與“科學概念”之間轉碼

學生數學學習包含著諸多的“前理解”，這些“前理解”有些能促進學生的數學學習，有些卻阻礙著學生的數學學習。一般說來，學生數學的“前理解”往往是學生的已知和未知的聯結點，具有生長的潛力。“前理解”往往是感性的、粗糙的、內隱的，因而往往會夾雜著錯誤。作為教師，要努力調適自己的認知，促進學生在“迷思概念”與“數學概念”之間轉碼，努力讓“前理解”成為學生數學學習的生長點。

比如教學《認識負數》（蘇教版五年級上冊），一般教師就是按照教材的邏輯，出示三亞（20℃）、南京（0℃）、哈爾濱（-20℃）三個不同地方的溫度，引導學生比較溫度有什么不同，進而引出“負數”的概念。這樣的教學是一種“灌輸式”“告訴式”的教學，學生的認知在這樣的教學中“被動地生長”。筆者在教學中從學生數學學習的“前理解”出發，引導學生暢談生活中的負數。“你在哪里見過負數？”學生舉出了生活中的負數的例子，比如電梯中的“-1層”、溫度計中的“-10℃”、“海拔-2000米”等。接著，筆者順應學生的“前理解”，引導學生“畫負數”。這個過程便暴露出學生的迷思概念，即“畫負數”時，不標注0刻度，其潛意識就是認為“0表示沒有”。因此在教學中，筆者針對學生的例子，反復地引導、反復地追問。如在交流“-1層”時，學生認為“-1層”就是“地下一層”，為此筆者追問“地在哪里”;在交流“-10℃”時，筆者反復追問“0℃在哪里”“為什么要畫0℃”;在交流“海拔-2000米”時，筆者反復追問“海平面在哪里”……通過不斷地追問，深究學生的迷思，讓學生的“迷思概念”轉碼，形成科學的“數學概念”。這樣的教學，有助于學生抽象出“負數”的數學本質，有助于學生深度理解在正負數中“0”的特殊意義和價值，從而促進學生的認知轉型、思維轉型。這樣的教學，讓學生的數學學習充滿著主動的生長性。

學生數學的“前理解”包含著“迷思概念”“相異構想”。盡管它們有可能阻礙學生的認知，甚至成為一種干擾，但只要教師在教學中洞察學生的認知，積極調適學生的認知，使之轉型、轉軌，就能讓學生的數學前理解成為學生數學學習原生思維的誕生源，成為學生數學新知的生長源。這些原生思維、數學直覺往往就能成為學生數學學習新知的雛形。

二、轉變思維：在“稚化思維”與“智化思維”之間切換

著名教育心理學家奧蘇泊爾深刻地指出：“影響學生學習的唯一重要的因素就是學生已知什么，并據此展開數學教學。”把握學生數學理解的脈搏，需要教師在了解學生具體學情的基礎上，將自己的“智化思維”稚化。研究表明，教師之所以不能認識學生，不能理解學生，是因為教師的教學“程式思維”與學生的“稚化思維”之間產生沖突，教師的“高階思維”與學生的“童化思維”之間產生沖突，教師的“結論思維”與學生的“過程思維”之間產生沖突。因此，轉變思維，在學生的“稚化思維”與教師的“智化思維”間切換，是促進教師理解學生、學生理解知識的必由之徑。

比如教學《方程的認識》（蘇教版五年級下冊），筆者從學生的已有認知經驗出發，對同一情境中的教師、學生年齡問題進行探討。“老師的年齡減去20歲比你大，你知道老師的年齡嗎？”“老師的年齡減去30歲比你小，你知道老師的年齡嗎？”“老師的年齡減去26歲就和你相等，你知道老師的年齡嗎？”在這樣的談話中，引導學生列出不等式、等式，建立“已知量”“未知量”等概念，從而讓學生切入方程概念的本質，即“在已知量和未知量之間建立一種相等關系”。在此基礎上，教師將自己的思維“稚化”，借助學生生活世界中的方程原型，深化學生對方程的思考、探究。天平左邊有一些質量的物體，怎樣在天平右邊放上砝碼，使天平平衡？學生操作回答并用相等的數量關系式來表示。天平原來是平衡的，將天平左邊的砝碼拿走一只，會出現怎樣的情況？怎樣用數量關系式表示？天平左邊放上任意一個物體，會出現怎樣的情況？怎樣用數量關系式來表示？通過引導學生觀察、比較、分類、概括，逐步引導學生從“不含未知數的不等式”“不含未知數的等式”“含有未知數的不等式”“含有未知數的等式”中分化出方程概念。這個過程，是教師稚化思維后引導學生思維的外化，因而也是教師智化思維的表現。

轉變思維，要求教師要站到學生的立場上去，力圖用學生的眼光觀照、用學生的大腦思考。作為教師，要傾聽學生的心聲。轉變思維，也就是要求教師要能在關照學生的“稚化思維”與關照數學知識本質的“智化思維”之間迅速切換。只有這樣，才能更好地促進學生對數學知識形成深度理解。正如美國數學家波利亞指出的：“教師應當把自己放在學生的位置上，應當努力去理解學生心里正在想什么，然后提出一個問題或者一個步驟，重要的是這些都是兒童自己想到的。”

三、變化想象：在“具象數學”與“抽象數學”之間調頻

學生對數學知識的理解不僅僅包括直觀的感知，也包括抽象的思維、豐富的想象。面對抽象的數學知識，只有引導學生從不同的視角觀照、想象，引導學生在“具象數學”與“抽象數學”之間進行調頻，才能促進學生對數學知識的理解。著名數學家克萊因說，“直覺不僅僅包括一個人對數學看到了什么，更重要的是他在思考著什么、想象著什么”。在數學教學中，教師要引導學生形成“陌生化的洞察力”“視角轉換的想象力”。只有這樣，學生對數學知識的理解才能從片面走向全面、從單一走向多維。

比如在教學《平行四邊形的面積》（蘇教版五年級上冊）后，學生已經通過對“平行四邊形面積”的推導認識了“平行四邊形面積的來源”，筆者便重點引導學生認識長方形面積、正方形面積和平行四邊形面積之間的關系。通過對平行四邊形框架的推拉，學生展開豐富的想象。有學生認為，當平行四邊形的高變成斜邊，也就是當平行四邊形的斜邊垂直于底時，平行四邊形的面積就是長方形的面積;有學生認為，長方形、正方形和平行四邊形的面積公式其實是一致的，就是要相乘的兩條邊互相垂直;有學生認為，正方形的面積可以歸結為長方形的面積，長方形的面積可以歸結為平行四邊形的面積等。通過變換想象，學生對平面圖形的面積有了深度的理解。平面圖形的面積并不是一個個的“孤島”，而是相互聯系、相互統一的“統一體”。學生對看似相互分離的圖形面積公式建立了有意義的、非人為的本質聯系，從而完善了自身的認知結構，加深了對圖形面積公式的認知。

哲學家黑格爾說，“哲學就是發現同中之異與異中之同”。變式想象立足于哲學的“變易思想”，通過從數學知識的不同層面、不同視角、不同方面等來揭示數學知識的本質，考量數學知識之間的關系。變化想象，能催生學生的深度學習，讓學生克服數學理解的僵化、惰性，形成融會貫通、舉一反三的能力。

美國哈佛大學威金斯教授等人認為，真正的理解不是單方面的成就，而是多方面、多類型、多證據的表現。有專家深刻地指出，理解有六個維度，那就是學生對一個數學知識點能解釋、能闡明、能應用、能洞察、能神入、能自知。學生的數學理解是一個過程，為理解而教，應當成為數學教學的至真追求。