紙上得來終覺淺 絕知此事要躬行

曹洪章 郭懷玉

摘 要：通過對教材選修2-3章末一道習題的研究，領會教材的目的，嘗試進行統計學中數據分析、數學建模的教學，開展研究性學習，把新課程理念運用到實際的教學中，培養學生的核心素養，進行創新性能力實踐的研究，讓學生和教師真正悟得“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”的道理。

關鍵詞：相關系數;核心素養;數據分析;數學建模

普通高中課程標準實驗教科書高中數學選修2-3第三章統計案例第102頁B組題第2題，“分別研究數學成績與物理成績的關系、數學成績與語文成績的關系，你能得到什么結論？”教師教參書上簡單地進行了闡述：本題主要是考查學生們應用回歸分析模型解決實際問題的能力，解答應該包括如何獲取數據，如何根據散點圖尋找合適的數學模型去擬合數據，以及所得結果的解釋三方面的內容。這道開放性題目是符合現在新課程的標準，具有多樣性和不唯一性，需要學生通過觀察、聯想、比較、分析、類比、概括、模擬等方法來探究結論或結論成立的條件，對學生思維的靈活性、發散性和創新性有較高要求，能夠有利于學生主體的意識形成和主體能力的發展，有利于提高學生分析問題解決問題的能力，有利于培養學生的創新精神和提高學生的實踐能力。進行這類題的練習和講解，這既是新課程改革的需要又符合高考的新理念，能更有效地促進教學。

此項作業布置下去后，學生開始反應是無所適從，不知從何抓起，不知需要怎么做。為了完成任務，我降低了難度，多設置了些臺階。我先把班級九個的6人學習小組劃分成A、B、C三個大組，A組包括1組、2組、3組，B組包括4組、5組、6組，C組包括7組、8組、9組，并且布置了新的任務，就是把任務具體化，再進行分工合作。1組、4組、7組負責收集數據、進行抽樣選取，合作協商，最后得到一個包含十個人的數學、語文、物理的成績樣本數據，我們暫且把這個問題歸結為問題①;2組、5組、8組負責選擇合適的數學模型，并進行數據處理和分析，我們把這個問題歸結為問題②;3組、6組、9組負責文字表達、抽象概括、整理匯總等，我們把這個問題歸結為問題③。要求學生必須全員參與、分工合作，積極工作，并且要求ABC三組的獲取樣本數據的方法必須不同，最先以文本形式呈現給教師的小組具有選擇最佳方法的優先權，可以調動學生積極性，后面選擇的方法必須與前面的不同，但是需要教師幫助的可以咨詢教師，言外之意別人用過的方法不得重復，避免抄襲的可能，既調動了學生的積極性又為一題多解創設了教學的情境氛圍，培養了學生的創新性思維。

經過學生的合作探究，第二天，我把ABC三個組分別交上來的作業情況分析如下：首先交上來的是B組。問題①采用的方法是學生通過詢問小組中學生上次月考成績，進行簡單匯總，得到一組十個學生的數學、語文、物理三科成績表。我進行了追問：“你們組使用的抽樣方法是什么？”學生想了想回答：“我們用的方法是簡單隨機抽樣方法，就是從本班隨機的抽取十個同學，用他們的成績作為樣本。”我又緊接著問道：“那這種方法的優缺點是什么？這種方法抽出的樣本能不能較好地代表全班或全校的成績？隨機性能不能得到體現？簡單隨機抽樣的基本步驟是什么？表達的步驟體現是否充分？”學生有點明白，“老師，我們是不是太隨意了，不是隨機的抽取，失去了科學性?！薄澳阏f的太好了，希望你們能進行適當的更改，讓你們的樣本更有說服力，更具有代表性！?！闭n后他們做了很好的更改，他們依據數學成績由高到低做了排序，進行了編號，用隨機數表法進行抽樣，抽出全年級理科生十個隨機號，并把他們的三科成績摘錄如下表。

C組同學向網絡百度學習，借用Excel表格工具，整理、匯總了整個年級理科學生305人的數學、物理、語文的成績，他們直接用年級的所有學生作為研究樣本對象，對于C組同學沒有按照教師給定的抽取十人樣本數據，而是采用年級所有數據作為樣本，教師及時肯定了C組同學大膽地創新之舉，同時也進行了恰當地提醒審題的重要性，分析了兩者的利弊，讓學生有針對性地進行甄別自己行為的利害。

問題②的處理方法各組也積極思考，采用了不同的方法來進行數據處理。A組同學借助計算器很快計算出數學和物理成績的相關系數r1=0.87046，數學和語文成績的相關系數r2=0.449828，依據相關系數得出結論：數學與物理的相關系數大于0.75，而且數學與語文的相關系數不到0.5，故可以說明數學和物理的相關性更好些，要比數學和語文的相關性更好些。B組同學首先畫出了數學和物理的散點圖，并借助Excel表，得到了兩者的線性回歸方程和R2，數學和語文的數據也一樣的得到散點圖和回歸方程與R2，如圖1所示：

B組同學由散點圖和R2的含義從而得出：數學和物理的線性相關性相比于數學與語文的線性相關性更好些，且用線性回歸擬合的情況更貼切一些;由數學與物理的相關系數r1=R1=0.839047，數學與語文的相關系數為r2=R2= 0.626099，也可以得出相似的結論，數學和物理的相關性相比于數學與語文的相關性要更好些。C組同學首先也是借助Excel表得到數學和物理、數學和語文的散點圖，并進行了線性回歸和R2的計算，得到如下圖所示：

C組同學通過散點圖和回歸直線R2的數值對比，發現盡管數學和物理的R2大于數學和語文的R2，但是數學和物理的相關系數r=R==0.502991，并不大于0.75，數學與語文的相關系數就更小，更不具有相關性了。

看到B組和C組研究的方法類似，我進行了提示，“鑒于你們兩組所用方法有很大的相似點，我希望有個小組主動進行進一步的研究，如：獨立性檢驗研究，誰能主動地承擔呢？結果C組同學自告奮勇承擔了做進一步的研究。經過C組同學們的努力和研究，得到數學與物理成績及格的獨立性相關分析表如下：

由此表求出K2=1.485>1.323，得出有75%的把握認為數學與語文成績及格有相關性。比較兩者的結論分析，可以得出在犯錯誤概率不超過0.001的前提下可認為數學成績與物理成績具有更強更好的相關性。結合三個小組的研究情況，從不同的抽樣不同的研究方法不同的研究角度都得到了一個相同的結論：數學成績與物理成績相對于數學成績與語文成績具有更好更強的相關性。

通過這道題的作業布置和活動研究，既可以讓學生復習到本章的重要的數學基礎知識，在應用的情境中掌握必要的基本技能，運用統計學用樣本估計總體的基本思想，豐富學生在合作學習中的基本活動經驗，鍛煉學生在應用統計學知識發現和提出問題的能力和分析問題解決問題的能力，提升學生“能夠會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”的能力，這是新課程提倡的數學核心素養的集中體現，也是數學核心素養的外在表現。

本章統計的內容在《高中數學課程標準》中作了較大調整，學習層次性更加明確，也更加強調了培養學生數據分析、數學建模、數學創新性等核心素養培養的重要性。細細品味，該板塊內容對學生數學能力的全面發展具有重要意義，它帶給學生應對數據時的一種態度與策略，帶給學生一種更加寬廣的思考方式，而這一切都基于數據分析觀念的養成。但是，在統計教學中又如何具體開展數學建模和數據分析的研究，對于絕大多數教師來說還是一片空白。廣大的中學教師為了適應和應對高考，一味地追求高考升學率，片面地進行解題教學，忽視新課程新教材對統計學的要求，不自覺地降低了對統計學的要求，更不能體現數學建模和數據分析的應用技術要求，無法真正地開展基于核心素養的數學教學。

從學生的表現，感受到學生的變化，學生能使用Excel數據表進行統計計算、數據分析，讓我深深地嘆服學生在探究活動中表現出的能力，對學生表現出來的數學素養大加贊揚。通過章末一道實踐應用題的小組合作探究活動，學生既復習運用了本章絕大多數的知識點，鞏固了學生所學內容，更重要的是讓學生體會到數學與我們的生活息息相關，就在我們的身邊，增強了學生運用數學知識分析問

題解決問題的能力，對同一個問題讓不同的小組使用不同的方法來進行一題多解思維訓練，培養學生創新精神，是教育教學改革的一條創新之路。學而時習之不亦悅乎。習為實習、實踐，學以致用。創新是引領發展的第一動力，實踐則是人類社會發展的根本，培養學生的創新與實踐能力是學校教育的終極目標，轉變教學方式以培養學生的學習能力、實踐能力和創新能力是教師教學改革的頭等大事?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017年版）》明確指出：教科書編寫“應把‘數學探究’等活動恰當地穿插安排在有關的教學內容中”，讓學生通過數學探究活動，“初步了解數學概念和結論的產生過程，體驗數學研究的過程和創造的激情，提高發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的數學能力，發揮自己的想象力和創新精神”。新課標在強化學生數學實踐能力培養上有若干新要求和新變化：在高中課程性質和基本理念中體現了實踐能力培養的價值導向，首次明確提出發展學生數學實踐能力的目標;處理好數學學科核心素養與實踐能力培養的關系，在核心素養中融入數學實踐能力培養的要求;在課程內容設計、數學學習基礎、問題解決過程、數學學習評價上加強數學實踐要求，力求將數學實踐能力培養更好地落實于數學學習的全過程。在人教版高中數學教科書正文、附錄和習題中設計了眾多的數學實踐探究內容，為高中數學實踐探究教學的開展提供了充足的課程資源。“實踐是檢驗真理的唯一途徑”，實踐是認識的來源，是認識發展的動力，是檢驗認識正確與否的唯一標準，也是認識的最終目的。真正的學問不僅僅是從課本上學來的，更重要的是通過實踐來檢驗、鞏固和應用它，甚至通過實踐讓它產生經濟價值等。從書本上得到的知識畢竟比較膚淺，要透徹地認識事物還必須親自實踐，正是“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”。

參考文獻：

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