數形結合，讓數學“活”起來

翟志剛

[摘要]數學是研究數量關系和空間形式的科學。數與形是數學研究的兩個主要對象，兩者不是孤立的，而是有著千絲萬縷的聯系。在教學中，教師不能將數與形分割開來，而是要讓學生學會借助圖形分析數量之間的關系，或是利用數的分析解決形的問題，使數與形完美結合。

[關鍵詞]數學思想方法;數形結合;由數思形;由形及數;形數相輔

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 26-0045-02

數與形是數學學科密不可分的兩個主題，數形結合是一種數學思想方法，它包含“以形助數”“以數輔形”兩個方面。簡單來說，就是在數學學習中，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系，或者借助數的精確性來闡明形的某些屬性。在運用數形結合時要遵循以下策略。

一、由數思形，柳暗花明

隨著知識深度、難度的增加，問題的抽象性逐漸增大，對于六年級學生來說，僅僅通過閱讀文字信息很難厘清題目中的數量關系。這時如果借用數形結合思想，把文字內容抽象成具體形象的圖形，再利用圖形分析數量關系，就容易多了。

例題：六（1）班男生和女生的人數比是4：3。如果按照3名男生和2名女生為一組進行分組，則最后會剩下2名女生。六（1）班有男、女生各多少人？

師：你們是怎樣想的，誰來說一說？

生1：我是試出來的。已知男、女生的人數比是4：3，那么可能有以下4種情況。其中第四種情況符合題意。

沒想到的是，得出結果的同學都采用了“試”的方法。這個問題初看確實無從下手，這也許是學生迫不得已采用“試”的方法的原因。但解決數學問題不能總是停留在“試”的水平，要想提高和發展學生的思維水平，教師必須從數量關系人手，引導學生用更“數學”的方法解決。

師：你能不能想辦法表示出男、女生之間的比例關系？（使學生明確，分組前男、女生的人數比是4：3;分成的小組中男、女生的人數比是3：2，還剩下2名女生）

生1：分組前男、女生的人數比是4：3，可用線段圖表示。

女生一

分組前：

生2：按照3名男生和2名女生為一組，男生正好分完，那么分成的小組中男、女生的人數比是3：2。

分組后：

-師：解決問題的關鍵是找出其中的變化量和不變量，大家嘗試分析一下。

生3：分組后，男生正好分完，是不變量，女生還剩下2名，是變化量，可以從分組前后女生人數的變化量入手解決問題。

分組前：

分組后：

-

根據六（1）班女生人數比小組中的女生人數多2人，可以列出方程解答。因為男生正好分完，可以設男生人數為x，則六（l）班女生人數是3/4x。分組后，各小組的女生人數之和是男生人數之和的2/3，則為2/3x。故而可以列出方程3/4x一2/3=2，解之得x=24。因此，六（1）班有男生24人，女生24x-=18（人）。檢驗：24：18=4：3，24÷3=8（組），18÷2=8（組）……2（人）。

縱觀整個解題過程，學生利用數形結合解決問題的能力還有待提高。數形結合絕不僅僅是能想到用圖形表示，其中還包含著一些基本的數學思想方法的運用，如本題中對變化量與不變量的分析、利用變化量的前后變化情況找出等量關系，從而列方程解決。

二、由形及數，化繁為簡

小學高年級中出現較多的是利用圖形解決問題，即利用圖形表示數、數量關系，從而發現其中的規律，尋求到解決問題的突破口。但有一些幾何問題也需要根據圖形抽象出數、數量關系，利用數來解決。

例題：王老師利用兩個相同的長方形來測量一張桌子的高度（如圖1、圖2），這張桌子的高度是多少？

圖中只給出了兩個數據，兩幅圖中都用到了兩個相同的長方形，但擺放的方式不同。解決的關鍵是尋找桌子高度與長方形的長、寬之間的關系。學生的空間想象能力不足，要找出這之間的關系有一定困難，需要教師引導。

解法一：看圖轉化，尋求長方形的長、寬以及桌子高度三者之間的關系

師：長方形的長、寬以及桌子的高度之間有什么關系呢？（教師將兩幅圖做了修改，如圖3、圖4）

師：同時將兩幅圖上方的長方形進行移動，分別得到圖3、圖4。從圖3可以看出，74cm比桌子的高度少長方形的長與寬的差;從圖4可以看出，96cm比桌子的高度多長方形的長與寬的差。因此，74cm加96cm等于桌子高度的2倍，即桌子高度為（74+96）÷2=85（cm）。

這種分析方法需要學生有較強的空間想象能力，能在頭腦中想象出桌子高度與長方形的長、寬之間的關系。在實際教學中，僅僅有少部分學生能初步理解。

解法二：利用演繹推理證明關系

符號化是小學階段一個重要的數學思想。利用符號進行推理和證明，往往可以收到意想不到的效果。為此，我嘗試讓學生利用字母表示數，從而發現其中的數量關系。

師：如果我們把桌子的高度設為x.長方形的長設為。，寬設為6（如圖5、圖6），你能找出等量關系嗎？ 師：圖5中，x+b-a=74……①;圖6中，x+a-b=96……②。根據等式的性質，將①、②式的左邊和右邊分別相加，得x+b-a+x+a-b= 170，化簡得2x=170。與解法一中“74cm加96cm等于桌子高度的2倍”結論一致。

這個過程是根據圖形的描述，把圖形的關系轉化成“數”之間的關系。抽象出數量關系后，再根據等式的性質進行簡單的變形，即可求出答案。

對比這兩種解法，解法一是單純看圖，通過將圖形進行變形和轉換，分析圖形之間的關系，因為學生空間想象能力的差距，所以多數學生難以理解“74cm加96cm等于桌子高度的2倍”;解法二兼顧了看圖和列等式兩種方法，先分別用字母表示各個部分，再從圖形中抽象出等式，并進行適當的變形，最后通過邏輯證明得到結論。在這個過程中，學生的思維水平和能力得到了鍛煉和提升。

三、形數相輔，互為補益

數與形是密不可分的兩個部分，它們是一個有機整體，在教學過程中互為補益。

例如，在教學一年級上冊“加法和減法”時，教師很好地利用了這一策略，做到了“形”與“數”互相促進、互相補益，有效促進了學生對加法的理解。

第一階段：教學目標主要是實現讓學生從形到數的過渡。教師先向學生展示“3+2”的實例，如原來有3個小朋友，現在又來了2個小朋友，合起來一共有5個小朋友。并讓學生充分地表達這個過程。在表達的過程中，這種“合起來”的思想慢慢滲透到學生頭腦中，這也是數形結合教學中的一個重要環節，即形的內容要首先內化為學生的思想，然后再過渡到數的形式。

第二階段：學生從“小朋友澆花圖”中認識了“3+2=5”，在學習了寫法和讀法后，教師讓學生進行發散性思考：“還有什么情況也可以用‘3+2=5表示？”這樣做的目的是讓學生結合日常生活說出與“3+2=5”意義相同的情形，激發學生利用形輔數的熱情和興趣。學生在多樣的舉例中，更加深刻地理解了“3+2=5”乃至加法的含義，做到了形變質通。

流程如下：

這僅僅是低年級計算教學中的一個例子，對于其他的教學內容同樣也可以采用“形一數一形”的教學流程，讓數與形真正做到密不可分。

“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”由數思形、由形及數，在學生的數學學習過程中都發揮著重要的作用，兩者不可或缺。在解決數學問題的過程中借助圖形進行描述和分析，有助于探索解決問題的方法和策略。同時，根據直觀圖形用符號表示數以及數量關系，再利用邏輯證明進行運算和推理，可以使一些煩瑣的幾何問題變簡單。

（責編李琪琦）