數學大單元教學中更要關注“思維生成的第一次”

秦國清

[摘 ?要] 數學思維是數學核心素養生成之根，數學本質上就是幫助訓練學生思維的.文章中筆者從教學高中生首次接觸學習的數學概念或數學模型談起，強調數學大單元教學的背景下，要關注“數學思維生成的第一次”.

[關鍵詞] 數學大單元教學;思維生成的第一次;數學核心素養

思維是人腦對客觀事物的本質和事物間內在聯系的規律性作出概括與間接的能動反映，是通過空間結構思維和時間邏輯思維這樣兩種基本形式來實現. 正是通過人自身的眼看、耳聽、腦思等學習活動，進而有了摸索，領悟的思維活動過程，這樣往往印象深刻，即使在情境變換的條件下，也能實現遷移，運用自如.

數學大單元教學往往講究“大概念、大情境、大任務”，一方面是說，把我們的設計的內容拉長一點，比如說一章，比如一個模塊里的一塊面，也可以做跨章節、模塊的內容的教學設計. 另一方面，我們要能夠關注我們通常所說的方法和能力方面的單元教學設計. 在這一方面我們有一個整體的思考這非常重要. 特別是數學思維能力的培養，數學思維是數學核心素養生成之根. 其重要價值就是幫助學生思考問題，拓展學生的“思維空間”，培養學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界的能力.

本文這里“思維生成的第一次”是指學生首次接觸學習某個重要的數學概念或數學模型時所產生的數學思維，它對學生對此類問題的認識產生了巨大影響. 正如章建躍博士指出的那樣，要引導學生尋找思維的生成點，使得知識的學習尋到源頭.本文筆者從教學中兩個案例談起，強調數學大單元教學的背景下，要關注“數學思維的生成的第一次”，積聚數學核心素養，啟迪智慧，點化心靈，潤澤生命.

函數單調性教學引發的思考

筆者記憶猶新的是多年前模仿陶維林老師上的一堂新授概念課：函數的單調性.

函數單調性的概念在高中數學中具有核心地位. 教學時，僅從圖像角度直觀描述函數單調性的特征，學生并不感到困難，困難在于，把具體的、直觀形象的函數單調性的特征抽象出來，用數學的符號語言描述. 即把某區間上“隨著x的增大，y也增大”（單調增）這一特征用該區間上“任意的x1

教者要認識到學生首次接觸學習這個重要的數學概念所產生的數學思維對其以后對此類問題的探究產生的巨大影響，在指導研究問題的過程要突出思想方法. 首先從形到數，借助對函數圖像的觀察，引導單調函數的“直觀定義”. 其次，從圖形語言的表述過渡到自然語言的表述，得到單調函數的“描述性定義”. 最后，通過對函數描述性定義的辨析，逐漸使得同學們認識到刻畫函數單調性不在于所取自變量個數的多少，關鍵在于是否能夠任意取值，通過同學們討論比較，科學地得出是必須任意取兩個. 引導學生獲得在某區間上刻畫單調增“只要任意x1

這是高中學生用有限的兩點（動點）來表示區間上的無限的點（任意點），刻畫函數重要性質的第一次，是“動態的、無限與有限的轉化”. 當然，初中階段研究的數軸上的點也有這方面的思想，但還是相對固定的，主要是靜態的運算，當時函數變量的思想還沒有深入！高中階段類似的思維還有：函數的奇偶性（對稱性）、周期性，數列，向量基本定理，特征向量，簡易邏輯，導數，立體幾何中的線面平行、垂直.

我們關注函數單調性概念的研究，除了在高中數學學習過程中應用廣泛外，它還為研究函數的奇偶性（對稱性）、周期性，數列，簡易邏輯，導數等提供了視角;為立體幾何中的位置關系提供了量化方法. 這正說明，對于標志數學方法重大轉變的概念，也應該通過其在不同內容的滲透貫穿來達到理解掌握的要求. 這也是數學大單元教學中對思維能力培養的一個整體性的考慮與要求.

波利亞說過，在教一個科學分支時，我們應該讓孩子重蹈人類思想發展中，那些最關鍵的步子. 當然，我們不是讓他們重操過去的無數的錯誤，而是重操啟發思維節點的關鍵性的步子，要構建一個既能反映數學本質，又適宜學生實際思維水平和能力的教育形態. 如上面提到的立體幾何中的線面平行、垂直.只需要研究一個直線與平面平行的問題，就可以引申遷移到整個立體幾何上的直線與平面、平面與平面的所有問題，整個的立體幾何研究過程都是按照這種思維模式進行的.

因此，數學大單元教學中要發揮思維方法的威力，要引導學生發現思維的生長點，要引導學生挖掘出研究數學問題時思維方法的共同點，為學生今后進一步學習數學奠定基礎.

一道值域問題的講解引發的思考

愛因斯坦曾說過，科學結論幾乎是以完美的形式出現在讀者面前，讀者體會不到探索和發現的喜悅，感覺不到思想形成的深度過程，也很難達到清楚的解釋全部的情況.

我們知道轉化與化歸思想是數學思想方法的核心，它教會我們用聯系、發展變化的觀點來看待問題，并通過對原問題的作用，使矛盾轉化，簡化為另一個問題，便于解決. 下面是高中學生第一次碰到的一道值域問題，它的解決也是轉化與化歸思想一個很好的詮釋.

石志群老師在給我們做專業指導講座時曾提出這樣一個問題：求函數y=x+的值域，你是怎么講解的？效果怎么樣？對照自身教學實際確實遇到過這樣的困惑.對剛剛上高一的學生來講，求函數y=x+的值域問題是第一次碰到，遇到無理式時，學生根據以往的經驗想到的往往是進行平方，其本質思想轉化和化歸：化陌生為熟悉，化繁雜為簡單. 而本題平方后還有無理式，不能轉化為熟悉的函數加以解決. 這時我們的教師會武斷地跟學生講這樣做不對，這題要通過換元來解決：設=t（t>0），則x=，則原函數變為我們熟悉的二次函數y=t2+t+（t>0），利用二次函數的性質解決起來就很方便了！教師很快講完，學生看上去都接受了，但在接下的檢測中學生又懵了，完成情況很不好，為什么呢？

我們知道中學生的認識能力、智慧水平尚在發展過程中，一方面數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上，要找準學生真實的學習起點，符合學生的認知規律;另一方面數學教學活動要強調讓學生在親身體驗中獲得內心感悟，經歷數學思維過程，才會使學生的思維朝更深刻的方向發展，融會貫通，達到活用知識解決問題的目的.

本題的學生最初的思路方法和教者的講解都沒有問題，但是我們教師在處理這類問題時，不能簡單了事，要剖析原因，大膽鼓勵學生嘗試體驗，讓學生通過比較發現：平方和換元都是想把無理函數轉化成為熟悉的函數（如二次函數）加以解決，都是很好的方法. 但在學生平方處理失敗后，鼓勵學生觀察函數表達式的結構特征，尋找到失敗的原因.

在高中數學教學中，我們常運用化歸思想中的遵循和諧統一的原則，將題目中的一些要素結合起來，在量與形的關系上向趨于統一的方向進行.我們發現：函數y=x+的右邊由兩部分（x和）組成，平方后尾巴仍然不掉，不能很好統一;但是我們讓學生感知出題者的意圖，從整體結構上把握解題的方向，采用換元法解決問題，設=t（t>0），則x=，原函數變為我們熟悉的二次函數y=t2+t+（t>0），這樣在整體上進行有機統一，問題順利解決！

這里筆者覺得最關鍵的是教學中要關注學生已有數學知識經驗和處理問題的思維起點、思維歷程，引導學生自主探索，親歷數學知識、技能、方法、思想逐步形成的過程，體會數學知識蘊含的思維價值，加強思維方法的引導，從“數學知識發生發展過程的合理性”“學生思維過程的合理性”兩個角度構建學習過程，使學生經歷數學思維過程，積聚數學核心素養.

在此筆者不禁想起，有些數學概念或公式往往具有這樣的二重性，既表現為過程操作，又表現為對象結構. 高中生在初次學習時，教者重點要放在對概念的發生、發展過程的解析上. 如基本不等式a+b≥2，它表示由不等式前的算式經運算得出不等號后的結果的過程指向，在式子中意蘊著“往下繼續算”的操作屬性;又具有對象結構關系特征，揭示了“和”與“積”這兩種結構間的不等關系. 因此教學時可以采用由數到形和由形到數，雙向溝通，從具體情境中提煉出基本不等式. 以學生學習活動為中心，讓學生親歷數學對象的形成過程，感受數學求真求美的思維方式，這也是數學大單元教學中對思維能力培養的一個十分必要的舉措.

積聚數學核心素養，為“立人”而教

習總書記指出，“育才造士，為國之本”. 歸根到底，就是立德樹人，這是教育事業發展必須始終牢牢抓住的靈魂.既要教育引導學生珍惜學習時光，心無旁騖求知問學，沿著求真理、悟道理、明事理的方向前進;又要教育引導學生培養綜合能力，培養思維能力，提升學生素養.

因此，數學教學要始終把“育人”的目標放在心上，培養學生的數學思維能力，關注思維的生長，培育學生的理性精神，“點化心靈，潤澤生命，啟迪智慧”是數學教育的邏輯起點和價值所在. 任何學科的教學都不是僅僅為了獲得學科的若干知識、技能和能力，而是要同時指向人的精神、思維方式和核心素養的生成與提升. 學科教學要有人的意義，數學的研究方式充分發揮了人的心智功能.數學的實踐性與模式化，使數學處在一個較高的方法論層面，這就決定了數學的應用價值，這種價值將數學與人類的社會生產、生活聯系在一起.數學中一以貫之的東西，就在于引導學生在數學學習中，學會生存的本領、生活的智慧.

筆者通過教學中的兩個案例，探析思維原點，創生思維路徑，促進思維生長，關注思維過程，積聚思維品質，以期在數學大單元教學中使學生獲得真正有生命力的數學核心素養.