情景設計抽象概念，類比概括構建方程

張之斌

[摘 ?要] 《橢圓及其標準方程》是研究橢圓幾何性質的基礎，其理論和模型對于后續曲線的探究有著一定的借鑒價值，在實際教學中需要立足知識核心，合理設計教學環節，促進學生知識與能力的雙重提升.文章充分考慮學情，基于知識探究反思教學環節.

[關鍵詞] 橢圓;標準方程;概念;情景;探究

《橢圓及其標準方程》是選修2的重要內容，也是高考的重點考查章節，是在學習了直線與圓方程的基礎上利用坐標法對曲線的進一步研究，同時該章節的研究方法和思路也可為后續雙曲線、拋物線的研究提供理論參考. 本節內容的教學重點是橢圓的定義、方程，及其坐標法的基礎思想，考慮到學生的認知能力有效，需要合理設置教學內容，采用合理教學方式，使學生體會知識生成，感悟方程建立，下面基于核心素養培養提出幾點教學建議.

情景設計，認識橢圓

橢圓的定義是章節內容的基礎知識，也是橢圓的本質屬性，屬于全新的內容. 學生對橢圓的定義和形成并沒有深刻的認識，因此在教學中需要首先完成橢圓認知，應合理設計教學引入，幫助學生完成課堂過渡.橢圓在生活實際中有著廣泛的存在，教學中可以采用情景教學的方式，利用直觀圖影來感知橢圓.

教學中可以提前準備與橢圓相關的圖片、實物，或利用多媒體來播放一些天體運行的軌跡圖像，使學生對橢圓產生感性認識.

引題：大家是否見過橢圓？天體的運行軌跡是什么形狀？大家還能舉出哪些橢圓的例子？本節課我們要探究橢圓，學習橢圓的定義和方程.

設計教學情景可以有效激發學生的學習興趣，快速融入課堂. 實際教學中，教師可以演示橢圓的動態圖像，初步感知橢圓的特征，在播放完橢圓軌跡后要及時設問，給學生留足思考的空間，引導學生思考橢圓的特點，以便后續對橢圓定義進行歸納.

合理探究，抽象推理

橢圓的定義對于學生而言較為抽象，教學中應采用知識探究的方式，合理設計教學活動，引導學生參與實驗，通過親身體驗來完成概念歸納. 教學中提倡分三個階段進行：演示實驗→歸納總結→辨析推理.

階段一——演示實驗

橢圓的形成是動態變化的過程，與圓之間有著密切的關聯，教學中可以參考圓的教學設計演示實驗：

（1）讓學生提前準備一條長15 cm的細繩;

（2）將繩子的兩端用圖釘F1和F2固定在紙板上，確保兩點之間的距離為10 cm;

（3）用書寫筆將細繩拉緊，在紙板上慢慢移動，利用筆尖將運動軌跡繪制在紙板上，讓學生觀察所繪圖形的形狀.

階段二——歸納總結

完成實驗后對上述實驗過程進行模型抽象：設定筆尖為動點P，兩個圖釘F1和F2的位置為定點，如圖1所示，讓學生思考如下問題.

問題1：動點P移動的過程中需要滿足什么條件？哪些是變化的，哪些是不變的？

問題2：繩子長度與定點距離之間是否存在關聯.

在實驗過程中可以讓學生一邊操作一邊思考問題，利用問題來適度引導，結合上述兩個探究問題逐步概括橢圓的概念. 橢圓的概念概括過程中需要關注兩點：一是關注“平面內”，二是突出其中的“定點”和“常數”，結合關鍵詞的概念概括橢圓的特征.另外橢圓的概括需要完成語言之間的轉化，即文字語言和數學語言之間的對應，尤其是引導學生從集合角度描述橢圓：PF1+PF2=2a（2a>2c，2c=FF）.

階段三——辨析推理

完成概念歸納之后還需要對其加以辨析，這是由于高中階段需要學習的曲線較為眾多，掌握曲線圖形的特性對于后續解析幾何問題的突破十分重要.基于橢圓概念可知點F1和F2表示橢圓的焦點，F1F2則表示焦距，可結合如下問題進行辨析.

問題1：如果PF1+PF2=F1F2，所得點P的軌跡是否為橢圓？

問題2：如果PF1+PF2

上述實則是基于動點到焦點距離之和與焦距大小之間的問題，通過問題辨析有助于學生理解橢圓概念的內涵，也能及時反饋學生的學習情況，幫助教師評估教學效果，合理優化教學.

類比遷移，方程構建

本章節的第二部分內容是教學橢圓的方程，是橢圓的感性認識到理性認知的關鍵環節. 其實作為解析幾何重要的組成，橢圓與直線、圓等其他曲線之間有著一定的聯系，對應方程的學習步驟是相一致的，因此可以采用類比遷移的方式教學.

顯然橢圓方程的構建過程需要經歷四步，即建坐標系→設關鍵點→推導列式→化簡得方程. 實際教學中可以基于上述總體思考來構建橢圓的方程，同時注重設問引導，方案設計.

第一步——建坐標系

所建坐標系不同獲得的代數式也會有所差異，教學中需呈現不同的建系方案，引導學生思考方案的優劣，如以下兩種方案.

方案一：焦點F1和F2建在坐標系的x軸上，以點F1F2的中點作為坐標系的原點，如圖2;

方案二：以橢圓的下端點所在平行線為x軸，以橢圓左端點所在垂線為y軸建立坐標系，如圖3.

結合圖像的對稱特性，類比圓的建系方式學生很容易可以確定方案一更為合理，后續所構方程也更為簡單.

第二步——設關鍵點

該步是后續列式的關鍵，基于橢圓概念可知PF1+PF2=2a，教學中需再次引導學生關注該式中定點F1和F2及動點P，從而確定設點P的坐標為（x，y）.

第三步——推導列式

列式是構建方程的核心，該步中需要根據選定方案，結合關鍵條件來構建方程，實則就是實現幾何條件的代數坐標化，即P={PPF1+PF2=2a}，教學中需要按照兩點之間的距離公式計算.

動點P的條件坐標化：PF1=，PF2=.

集合條件的代數化：+=2a.

第四步——化簡得方程

化簡數式、整理方程對學生的運算能力有著一定的要求，也是求解橢圓方程的難點之一，教學中需要引導學生思考如何簡化涉及根號的方程，逐步形成“移項去根號，同除得方程”的化簡思路，在此不再贅述方程的化簡過程.

類比遷移、構建方程過程中還需要關注兩點：一是討論方案，二是解讀幾何意義.方案討論主要出現在建系教學中，除了考慮圖像的對稱性外，還需要關注焦點所處的坐標軸，這也是造成后續橢圓標準方程不同的根本所在. 而解讀幾何意義則是解析幾何內容的教學要求，重點關注其中a和c的幾何意義，指導學生基于該意義來直接構建橢圓的標準方程，這對于學生理解橢圓方程有著極大的幫助.

歸納概括，應用變式

橢圓的方程中含有三個參數a，b，c，參數之間有著一定的關聯，其大小關系影響到焦點所在位置，同時在曲線圖像上有著一定的幾何意義，因此十分有必要對橢圓的標準方程進行辨析概括，同時需結合適當的問題來進行新知鞏固.

1. 關于標準方程與圖像的歸納

對橢圓方程的辨析概括需要從兩個方面進行，其一是概括方程的特征，有以下三點內容：

①橢圓標準方程的形式，即二元二次方程;

②方程中三個參數所代表的含義，對應的線段長;

③橢圓方程中焦點位置與參數大小之間的關系.

其二是結合圖像來歸納橢圓參數對圖像的影響，同樣需要從以下三點進行：

①結合勾股定理來建立三個參數之間的關聯，以焦點位于x軸上為例（圖4），a2=b2+c2;

思路與指導：辨析方程的思路是教學的重點，需要引導學生合理分析橢圓方程. 首先從方程的形式來判斷是否為橢圓方程，然后結合a>b>0來確定橢圓的焦點，并求解橢圓的三個參數. 以③式為例，顯然a2=25>b2=16，對應的分母中分別含有y和x，顯然焦點坐標位于y軸上.

問題2：橢圓的兩個焦點坐標分別為（-4，0）和（4，0），橢圓上的動點P到兩個焦點的距離之和為10，試求該橢圓的標準方程.

思路與指導：需要根據橢圓的幾何意義來求解方程中的參數，首先根據焦點坐標判斷焦點所在坐標軸，然后確定參數a和c的值，結合三者關系求b值.

總之，教學《橢圓及其標準方程》需要立足章節的核心內容，充分考慮學情，采用知識探究的方式設置活動. 教學中需要合理設問、正確引導，關注概念內涵，重視方程意義，同時設計教學環節時要充分將數學的核心素養融于教學內容中，提升學生的綜合素養.