關于圓錐曲線離心率求解方法的總結

鄧麗

[摘 ?要] 圓錐曲線是高中數學解析幾何知識模塊中的重要一環，離心率是圓錐曲線中的一個重要概念，是對圓錐曲線形狀特征的一個重要的量化描述，然而圓錐曲線概念較為抽象復雜，學生在求解圓錐曲線的離心率或者應用離心率解決問題時往往不知道該采用哪些方法. 文章總結了基本定義求解法、幾何關系分析法、參數消元方程法和不等式約束法這四種常用的解題方法，并附上了對應的教學例題和方法分析.

[關鍵詞] 圓錐曲線;雙曲線;雙曲線性質;離心率基本定義;幾何關系分析

圓錐曲線是高中數學解析幾何知識模塊中的重要一環，學習相關概念和思想方法對于提升學生計算能力、分析能力、問題轉化能力等數學綜合能力有著重要的作用，離心率是圓錐曲線中的一個重要概念，是對圓錐曲線形狀特征的一個重要的量化描述. 由于離心率的概念距離生活較遠，因此它對于學生來說比較陌生，再加上圓錐曲線中概念繁多且聯系性強，解題手段靈活，學生在求解圓錐曲線的離心率或者應用離心率解決問題時往往不知道該采用哪些方法，筆者在此總結了四種常見的雙曲線離心率求解方法并附以對應例題以供同行們教學參考.

幾何關系分析法

圓錐曲線是代數與幾何的結合產物，研究圓錐曲線少不了利用它的幾何性質，這一點對于求取雙曲線的離心率也成立.

例2：假設現有一四邊形以雙曲線C的兩個焦點以及虛軸的兩個端點為頂點，已知該四邊形有一個大小為60°的內角，試根據上述條件求出雙曲線C的離心率.

分析：本題給出的是一個隱含了數量關系的幾何條件，我們需要先分析幾何條件并挖掘轉化出數量關系. 要解決這道例題，我們首先需要明白這個和雙曲線相關的四邊形是什么樣的，根據雙曲線焦點和虛軸端點關于原點分布的對稱性，我們可以知道該四邊形是菱形，又根據該四邊形有一個60°的內角可知其圖像大概如圖1所示.

參數消元方程法

在很多問題中我們不能直接得到參數a，c之間的比例關系，而是需要利用雙曲線各參數的數量關系，通過借助方程間接得到關于a，c的方程（往往該方程的形式是二次的），最后經過轉化就可以得到關于離心率的方程. 利用參數消元方程法求解雙曲線離心率的第一步也是關鍵一步就是構造方程，解方程時需要留心離心率的定義形式和取值范圍，適當地選取方法和進行取舍.

例3：已知點F是某雙曲線的焦點之一，點B是其虛軸的端點之一，直線FB與一條漸近線成90°，根據這些信息試求該雙曲線離心率的值.

分析：本題給出的幾何條件較為抽象，我們需要能夠據此轉化挖掘出關于雙曲線參數的方程.不難想到我們可以利用垂直直線的斜率之積為-1的性質來轉化條件.

解答：若該雙曲線的兩個焦點落在橫軸上，則可設其標準方程為-=1（a>0，b>0）. 焦點F的坐標為（-c，0），虛軸端點B的坐標為（0，b），易得直線FB的斜率為，可能與之垂直的漸近線的斜率為-，因此可得-=-1，即b2=ac. 根據雙曲線的性質c2-a2=b2，可將式子進一步轉化為c2-ac-a2=0，等式兩邊同時除以a2，即可得e2-e-1=0，可解得e=. ?又該圓錐曲線是雙曲線，則e>1，所以取e=.

方法分析：根據題目條件建立關于雙曲線參數的方程，一般來說以二次齊次式為佳，因為最終的離心率是與a，c相關的，對于b2，我們可以利用關系式b2=c2-a2進行轉化，最終將關于a，c的二次齊次式轉化為關于離心率e的一元二次方程.

求解方法及注意點總結

其實不論具體求解離心率的方法如何，圍繞離心率的基本定義式e=，歸根結底就是希望求解出a，c之間的比例關系，有三種基本的思路可供參考：其一，求出具體的a，c，接著直接采用相除的方法獲得答案;其二，用中間參數表示a，c，再通過比值法消去中間參數求解離心率，具體可以參考方法一中的例題;其三，將比值式或作為一個整體進行求值，很多時候我們不能直接求得或者用中間參數表示a，c，這個時候我們就可以思考直接去求a，c之間的比例關系，例如參數消元方程法運用的就是這樣一個整體求值的思想.

離心率是描述圓錐曲線形狀特征的量，由于圓錐曲線在定義時就具有一些性質，因此我們在求解離心率的時候就要利用這些性質或者多注意特定性質帶來的限制. 從雙曲線的角度來說，我們需要多利用其參數之間的數量關系a2+b2=c2轉化條件或者化簡算式，幾何關系分析法和參數消元方程法的例題就能很好地說明這點，同時我們也要注意到雙曲線的離心率大于1這一性質，這能夠幫助我們進行答案的取舍和范圍的約束，比如在參數消元方程法的例題中我們就舍去了小于1的根.

教師在進行圓錐曲線離心率求解問題教學的時候，也需要注意充分發揮學生的主觀能動性. 教學時，教師可以先給出具體類型的例題，再引導學生自主歸納和探尋方法，同時鼓勵其發散思維，類比學習，比如完成雙曲線離心率的求法的教學后，教師可以引導學生類比思考橢圓的離心率求法.