如何培養學生的發散性思維能力和聚合性思維能力

吳燕春

[摘 ?要] 發散性思維和聚合性思維的培養不僅關系到學生創造性思維的培養，而且關系到課堂教學的有效開展，同時對數學核心素養的達成也具有重要意義. 因此，在數學這場思維盛宴的教學活動中，教師需充分關注對學生發散性思維與聚合性思維的鍛煉與發展，從而開啟學生的創造之門. 文章結合例題，論述兩種思維能力的培養路徑.

[關鍵詞] 發散性思維;聚合性思維;發展;創造性思維

數學教學需著眼于學生思維水平的提升，其重要目的在于培養學生的數學思維品質. 新課改后，數學教學定位于培養和發展學生的創新能力，這就需要教師在教學的過程中強化創造性思維能力的作用. 事實上，創造性活動的過程，需要經歷聚合性思維到發散性思維，再由發散性思維回到聚合性思維的多次循環往復的過程才能得以完成. 因此，在數學這場思維盛宴的教學活動中，教師需充分關注對聚合性思維與發散性思維的鍛煉與發展，從而開啟學生的創造之門. 下面筆者就結合自身的教學實踐，談談如何培養學生的聚合性思維與發散性思維.

發散性思維的培養路徑

發散性思維屬于一種高層次的思維形式，同時它也是創造性思維的核心，對學生思維能力的提升起到了關鍵性的作用. 為了充分發揮其優勢，我們在教學中可以采用多種教學策略加以培養，以達到舉一反三的效果.

聚合性思維的培養路徑

發散性思維可以使我們的探究更深入，可以使我們擁有更多的經驗，可以使我們的解題思路標新立異. 但是，數學解題中，僅有發散性思維是遠遠不夠的，我們還需與之相輔相成的聚合性思維. 事實上，作為創造性思維的基本成分之一的聚合性思維，是學習者聚集與問題相關的所有信息，在深入思考的同時進行重組與推理，以尋求唯一答案的一種收斂性思維方式. 歸根結底，聚合就是優化處理信息，因此，注重數學知識的遷移可以有效地提升聚合性思維.

例如，解答計數原理問題時，可以給出以下一般性方法：解決不相鄰問題時則插空，解決相鄰問題時則捆綁，解決定序問題運用除法，等等.

例4：小剛有6個球，其中黑球有3個，紅球、白球、藍球各一個，現從中取出4個球排成一列，一共有多少種不同排法？

分析：若學生從一般性思維出發，將黑球分類，分成3個、2個、1個三種情況，先選球再排位置，可得CCA+CCA+CCA，導致錯誤. 那么，哪個環節出錯了呢？經過思考，可以看出出錯的根源在于黑球無須選擇，同時在排位置時無論黑球的順序如何改變均不影響結果. 事實上，當黑球為2個時，倘若從3個中選取2個則顯得多余，原因在于球是相同的，任意拿2個都不影響結論;那么當2黑1藍1白排位置時，為何又不是A呢？原因在于黑球交換順序并不影響結果，這里的錯誤源于在解決具體問題時，不知變通而造成的思維卡殼. 事實上，思維的聚合性并不需要過分強調，尤其是當學生對知識有了系統的認識和理解時，無需作過多的引導，而應在潛移默化中穩步提升.

例5：某公司1組有10名技術工，其中4名為女技術工，2組也有10名技術工，其中6名為女技術工. 現以分層抽樣的形式，從1組和2組兩組中共抽取4名技術工進行考核.

（1）1組和2組兩組中各需抽取多少人？

（2）試求出從1組中剛好抽取1名女技術工的概率;

（3）試求出所抽取4名技術工中剛好有2名男技術工的概率.

分析：本題以概率統計知識為載體，考查學生基礎知識的同時又考查學生處理事件概率的能力. 本題的解題思路單一，第（1）問可借助分層抽樣原理得出人數;第（2）問通過組合公式即可求出概率;第（3）問需要厘清問題的內涵，并正確分類方可求出概率.

解：（1）據分層抽樣原理，因為兩組均有10名技術工，共需抽取4名，所以每組各需抽取2名.

以上具有一定思維難度的例題中不斷派生出聚合性思維訓練的技巧，有助于學生的掌握和應用，通過訓練并經常自覺運用，學生的思維方法將會得到大幅度提升，引導學生思辨出聚合性思維靜態的討論，促進聚合性思維趨向成熟.

總之，在數學學習中，我們需合理運用發散性思維和聚合性思維進行學習和解題，進而梳理一種科學的思維方式，提升數學學習效率. 有機結合發散性思維和聚合性思維可以讓我們更加靈活地運用數學思維解題，同時在兩種思維相互制約而成的“張力”下，最大限度地發展創造性思維能力，全面提升自身的思維水平，發展數學核心素養.