開啟思維之門：加減法的實質與拓展

劉憲升

摘 要：加減法是數學中最基本的運算，對其實質進行研究，對其運算范圍進行拓展，能開啟學生思維之門，促進學生思維發展。文章結合加減法的起源，揭示了加減法（運算能進行）的實質，實現了從小學到大學諸多數學知識的融合與統一，使剛學加減運算的學生就能解決整式、根式、復數、向量、矩陣的加減運算問題。

關鍵詞：加法;減法;運算;實質;思維發展

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2020）17-0114-02

加減法是數學中最基本的運算。一個幼兒園大班和一年級學生都會的加減運算還有什么實質？然而，可能正是人們都覺得它簡單、好學、會算，往往就熟視無睹，缺乏深入思考，導致了各種加減法不得不反復學習。文章從學生剛學加減運算談起，通過揭示其實質并進行拓展，展現數學美麗的景觀。

一、認識加減法的實質

眾所周知，原始人類為了維持生活，他們常外出狩獵和采集果實。數或數量及加減運算就來源于收獲的物質或消費分配的計量（即現代的統計）。一開始是以實物的形式直觀表達的，后來才抽象出了數的概念及算式的表達，標志著人類的思維逐步由直觀思維走向形式或抽象思維，實現了認識上的一次飛躍。下面的三個算式就是人們比較初始計量的表現形式（當然早期算式中的數字不是阿拉伯數字，也沒有加減號）。

上面的算式為什么能進行加減運算呢？上面每個算式中，前面的數表示個數，數字后面是相同的東西。那么，下面的1）、2）兩個加減法式子能進行運算嗎？若能算，得到什么？

若1）式中的金條同質，且同樣寬、厚，后面金條的長度是前面金條長度的2倍。它們能相加嗎？若說是6塊金條，是長的還是短的？若說這無所謂，假設3根短金條是我的，3根長金條是你的，既然長短無所謂，那我拿回3根長金條，短的給你，你愿意嗎？2）式能運算嗎？有的人說是7個水果。是的，這是單純抽出數量進行歸類的結果，但它不能明確表示古人采摘果實的成果，會影響人們對生活的規劃。將情況放大一點，比如一天打獵收獲了2只野兔和3只野豬，若單純抽出數量并歸類說收獲了5只動物是可以的，可表意不明。若理解成5只野豬，可以吃多天，這些天不出去打獵人不會餓死。由此可見，這樣歸類進行的運算，是人們單純抽出數量運算的結果，既不能達成古人要實現的目的，也偏離了古人進行加減運算的實質。當然，上面的算式是可以算出結果的，如2）式中可以理解為一個籃子里有3個蘋果和4個桃，但只能到此為止，嚴格來說是不能再進行運算的。

因此，從加減法的起源來看，在加減法算式中，要使運算能進行下去，必須保證加數和減數是完全相同事物的數量，差一點都不行。或者說，加法是完全相同事物的累計或疊加，減法是從完全相同的一些事物中去掉一部分。這就是加減法的實質，是加減運算得以進行的保證。當然，若能把不完全一樣的東西變成完全一樣的，仍可進行運算。如，在1）式中，把每塊長金條換成2塊短金條，運算后可得9塊短金條。基于上述分析，筆者給幼兒園大班的孩子和小學一年級學生出了類似下面的算式，他們很快就寫出了結果。

有人說，算式2+3=5中并未表明相同的東西相加減?。咳绻斫饬俗匀粩档臉嫵删颓宄?。此式表示2個1和3個1相加等于5個1，只不過把1省略了。

二、放飛思維，展翅沖天

探討加減法實質的目的，一方面是拓展學生的思維，激發其養成善動腦、勤思考、會思考的習慣，進而開發智力，訓練思維。另一方面是把這一實質遷移到其他知識的加減運算中，使幼兒及一年級的學生會解決小學還沒學習的問題，及中學數學，甚至高等數學中的加減法問題。把高深的數學知識簡單化、生活化，能讓學生感受到數學的趣味性，在樹立自信心的同時提高學習興趣。讓學生感悟、領會到認識知識的實質比多練題更重要，能促進其反思學習方法，學會學習，從題海之中爬上岸來。

下面，筆者結合實際數學內容來說明加減法實質的應用（考慮到學生實際，字母等基本不讀，只讓他們判斷是不是相同的東西即可）。

1.可實現小學有關知識的融合

剛上一年級的學生，雖然只學了簡單的加減法，但在認識到實質的情況下，很多沒學的就都會運算了。如：

這些算式中，雖然帶單位，并且學生大都不知道啥意思，但他們照樣可以運算。而給出如4米+30分米= ? 、2元+30角=?等問題，學生都知道不能直接進行運算，這比一遍遍強調必須統一單位省了很多功夫。

2.可以實現中學及高等數學有關知識的融合

（1）整式的加減運算。在上面一些算式中，如果用字母表示單位，那么就是整式加減運算。如1）2a+ 3a=___，2）4ab-2ab=___，3）4ab+2a2-2ab+3a2= ? ，結果就沒必要說了。但需指出的是，初中課本上的同類項其實質就是完全相同的東西;整式的加減運算就是人們一開始認識的實質上的、有意義的加減運算，不相同的東西（不是同類項）就不能再進行運算（合并）了。

（4）向量坐標的加減運算?？紤]到學生的實際，可以把向量的坐標表示形象地解釋成一個長條筐，逗號表示把筐隔開，筐兩頭分別放不同的東西。如筐左邊的表示蘋果的個數，右邊的表示梨的個數，并且說明所有的框都是這樣放。給出下面類似的題目，要求學生把等式左邊兩個筐里的東西放到右邊的筐里：（3，2）+（1，3）=（ ， ） （4，5）-（1，3）=（ ， ）。結果學生很快寫出了答案。不僅如此，提出把長條框分成三個格、四個格等的三、四維向量的加減運算，學生也很快就解決了。

（5）矩陣的加減運算。在向量坐標的加減運算基礎上，提出將筐分成如下的四個格，每個角上放不同的東西，且所有筐都這樣放。給出下面問題，結果學生也能很快解決。如果把十字線去掉就是矩陣加減運算（此處帶著是為了學生好理解）。而后，又給出3行3列、3行4列等多行多列的矩陣加減法，學生也很快就能解決。并且，引導學生回想一下，在超市看到過這種做法嗎？有的孩子說出了賣糖果排著的很多格子，每天往上添加糖果就是這么做的。

由上可見，對加減法實質的揭示，可使數學變得簡單易懂，不用學都會進行形式上的運算。這既可實現數學知識的融合與統一，又可啟迪學生思維，還可縮短學習時間。

總之，加減法是數學中最基本的運算，對其實質進行研究，對其運算范圍進行拓展，能開啟學生思維之門，促進學生思維發展。眾所周知，“數學是思維的體操”，可要實現數學對思維的訓練價值，不是死學苦練就能做到的。因此，廣大數學教育工作者要更新教育觀念，不斷創新教學方式方法，提高教學效率和教學質量，提升學生學科素養。

參考文獻：

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