在問題解決中培養學生的核心素養

張建軍

[摘? 要] 在問題解決過程中所培養的能力，體現為解決問題的綜合能力. 解決問題的能力具有綜合性，涵蓋數學分析、計算、思維、求解等諸多內容，同時，解決問題的過程對學生的洞察力、思維力、計算能力、想象力也提出更高要求. 一般認為，問題解決能力屬于核心素養中的關鍵能力，因此問題解決的過程就是核心素養培育的過程.

[關鍵詞] 高中數學;問題解決;核心素養

在數學學習中，問題解決是重要任務. 問題解決的過程，主要就是圍繞數學知識點，延伸相關聯的問題，讓學生運用數學思維、數學思想方法去解決問題的過程. 在問題解決過程中所培養的能力，體現為解決問題的綜合能力. 研究表明，解決問題的能力具有綜合性，涵蓋數學分析、計算、思維、求解等諸多內容，同時，解決問題的過程對學生的洞察力、思維力、計算能力、想象力也提出更高要求. 一般認為，問題解決能力屬于核心素養中的關鍵能力，因此問題解決的過程就是核心素養培育的過程.

從問題解決中發展解決問題的能力，進而培養核心素養，對此筆者提出這樣幾點建議.

■挖掘問題中的“黃金信息”，培養邏輯推理素養

邏輯推理是數學學科核心素養的重要組成部分，問題解決離不開邏輯推理. 問題解決主要是針對數學知識掌握與運用而進行的，強調學生從練習中來增進理解，并使邏輯推理能力得到培養. 基礎知識點在表現上形式多樣，內容廣泛，對于問題教學，教師要注重對基礎知識點的梳理，要讓學生認識到解決問題能力不是一味地推理甚至是計算，關鍵應當在于通過邏輯推理，來增進學生對基礎數學知識點的理解和掌握程度. 同時，問題解決教學中教師要著重知識點的應用，引導學生厘清解決問題的思路，發現解決問題的規律.

如概念型問題，不同題型的問題解決. 這些問題組合，可以深化學生對相關知識點的認識，借助問題解決，由簡到繁、由易到難來滲透邏輯推理方法，突出學生數學邏輯思維及創新意識的形成.

例如，某△ABC中，角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且A=60°，a=7，cosC=■，求邊b. 對于該題，在求解思路上，有學生這樣求解. 先通過cosC=■，推導出sinC=■，根據正弦定理■=■，推導出c=8. 再根據余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，得出b2-8b+15=0，求解后得到b=3或b=5兩種情況.

從解法上看，該法較為簡便，但細細觀察卻發現解法有錯. 根據題意，三角形兩個角、一邊已知，三角形就已確定，因此該題應該只有一個解. 分析該題的解法，深化學生對余弦定理的運用. 從該題條件來看，已知兩邊與一邊對角，很多學生忽視了角C也為已知，從而影響解決問題的思維.

如此，通過挖掘問題解決中的易錯點，讓學生全方位認識解決問題的關鍵所在，把握解決問題的思想和方法，在推理過程中培養了學生的邏輯推理能力，這直指數學學科核心素養的邏輯推理要素.

■注重問題變式訓練，培養學生的數學建模素養

在平時的問題解決中，強調“題海戰術”顯然是不可取的. 由于教學時間有限，對于題型的變化，很難做到面面俱到. 因此，教師要善于整合數學資源，圍繞問題解決，展開“一題多變”訓練，讓學生從解決問題中找到規律，能夠從變式訓練中理解數學知識點，真正掌握解決問題的奧妙. 如可通過變換題型的條件、結論或者其他內容等，以此創設不同的問題類型，增進學生對數學本質的理解，這有助于賦予學生巨大的思維空間，從而促進學生通過建模過程來強化對數學模型的認識.

例如這樣一個問題：方程mx2-（2m+1）x+m=0有兩個不等的實數解，問m為何值？對于該題，方程有兩個不等的實根，則推斷出Δ>0，即（2m+1）2-4m2>0，且滿足m≠0. 如果我們對該題稍加變換，就可以實現一題多變，便于學生從不同變式訓練中強化對細節問題的思考與把握. 如：當m為何值時，方程mx2-（2m+1）·x+m=0有實數解？由此，對于該方程，需要分析二次項系數、一次項系數，運用分類討論思想，辨析該方程為一元二次方程還是一元一次方程. 同樣，可將該方程轉換為不等式，當m為何值時，不等式mx2-（2m+1）x+m>0恒成立？或者不等式mx2-（2m+1）x+m<0恒成立？

實踐表明，對于不等式問題，結合分類討論、函數與方程、數形結合等思想，探析不同的解決問題方法. 這種一題多變訓練，實際上是結合條件、結論、題型內容進行適當變換，來發散學生的數學思維，來深化對不同數學本質問題的理解和應用. 一旦達到這樣的程度，意味著學生大腦中的數學模型不斷豐滿，從而也就起到了培養數學建模能力的作用.

■梳理一題多解方法，培養學生數學學習品質

在數學問題解決中，一些試題在設計上存在多種解法的情況. 教師要善于梳理這些“一題多解”的問題類型，尋找不同的解決問題方法，并在不同解法運用中關注學生的問題反思，總結求解規律. 通常，一題多解問題，反映出學生能否熟練做到融會貫通，這是培養學生學習品質的重要途徑.

例如“正弦定理”是高中數學的重要內容，在求證“正弦定理”時，我們可以引導學生選擇向量法、外接圓法等來證明“正弦定理”，還可以利用三角形的高、三角形的面積公式等來證明. 如S△ABC=■absinC=■acsinB=■bcsinA. 分析這些不同解法，我們有如下啟發：雖然能從不同角度來證明“正弦定理”，但梳理其共同點發現，這些方法都建立在“直角三角形”的基礎上. 分析一題多解，教師要引領學生把握解決問題的重心，探析不同問題解決的教學價值，促進學生養成反思習慣. 如在△ABC中，角A，B的對應邊為a，b，且A=60°，a=■，b=2，求角B. 對該題的解法一，可以直接利用正弦定理，■=■，推導出sinB=■，即角B為45°或135°. 考慮到三角形內角和為180°，顯然，角B=135°不符合題意，故角B為45°. 該解法更符合學生認知習慣. 除此之外，還可以根據題設，a>b，得出A>B，即B為銳角. 該解法突破了常規思維，巧妙地利用幾何知識，先判斷角的大小關系，再運用正弦定理求解. 由此，通過學習反思，增進學生深入了解數學原理，強化數學思維的內化，提升了學生的數學學習品質，發展了關鍵能力，核心素養也得到了培養.

總之，在高中數學學習中，問題解決的成效是決定學生數學成績的關鍵. 教師要依托問題解決，激發學生的學習興趣，并在此過程中著力培養學生的數學學科核心素養.