淺談高中數學概念課的有效教學

張嘯

[摘? 要] 概念教學是數學教學中最重要的一環，只有將學生的概念教學引向深入，才是有效的數學概念教學. 文章以“函數的單調性”的教學過程為例，提出以下新課程改革理念下的高中數學概念教學策略：以情境促感知;以直觀促生成;以訓練促鞏固;以體驗促深化.

[關鍵詞] 概念教學;函數的單調性;創設情境;生成

長期以來，由于受到應試教育的影響，一些數學教師輕概念、重解題，從而造成數學概念與解題嚴重脫節的后果. 新的《高中數學課程標準》指出：教學中應加強基本概念和基本思想的理解，一些核心概念和基本思想需貫穿于教學的始終，幫助學生加深理解. 由此可見，概念教學是數學教學中最重要的一環，只有將學生的概念教學引向深入，才是有效的數學概念教學. 筆者近期觀摩了青年數學教師優秀課評比活動，其中一位教師執教的“函數的單調性”一課給了筆者較大的啟發，下面將結合教學片段談談對概念教學的一點拙見.

■教學片段實錄與分析

教學片段1：創設情境——導入概念

問題1：試著作出以下函數的圖像，并指出圖像的變化趨勢：

（1）y=x+1;

（2）y=-2x+2;

（3）y=x2;

（4）y=■.

（學生獨立思考，很快完成作圖，并正確指出其變化趨勢）

問題2：請清晰闡釋“圖像呈現逐漸上升趨勢”的意思. 此時的x與函數值y是如何相互影響的？

生：隨著x值的增大，y值也隨之增大，圖像呈現上升的趨勢;隨著x值的增大，y值反而減小，則圖像呈現下降的趨勢.

師：這種形式是多種函數都具有的，今天這節課我們就以此為主題，對這種性質做更進一步的探究和討論. （PPT揭示課題：函數的單調性）

評析：以學生的認知發展和已有知識經驗為背景，設計教學情境，點燃學生的求知欲. “作圖，并正確指出變化趨勢”以及“闡釋‘圖像呈現逐漸上升趨勢的意思”這兩個主問題，不僅為進一步的學習搭建了“腳手架”，逐步揭示了本節課的課題. 同時又具有一定的開放性，激發學生主動探究的愿望，讓學生運用已學數學知識，通過思考、觀察、探究、分析、猜測和歸納等過程，喚醒舊知，明確探究方向，具有一定的創新性. 同時使學生體會到數學的應用價值，感受到數學是有用的.

教學片段2：抽象概括——生成概念

師：請大家思考并討論下列問題：對于某函數，若在區間（0，+∞）上，

（1）當x=1時，有y=1;當x=2時，有y=3，則“在區間（0，+∞）上，y隨著x的增大而增大”是否正確？

（2）當x=1，2，3，4時，相應地，y=1，3， 4，6，則“在區間（0，+∞）上，y隨著x的增大而增大”是否正確？

（3）若有x■

（學生思考后展開火熱的討論，并很快得出結論）

生：不能，且均可以通過舉例的方法加以說明.

問題3：誰能以數學語言來表述一個函數為增函數呢？現在能出示準確定義嗎？請試著用自己的語言表述，并以小組為單位互相交流，待生成集體意見后進行展示. （學生展開討論）

師：下面請小組代表展示.

生：第一步：當x■

第二步：當x■

第三步：借助個別數值說明單調性：如函數y=x2（x∈R），當x=-1，2，3，4，…，對應地，y=1，4，9，16，…，是否可說y隨著x的增大而增大？

對于區間I上有限個或無限個自變量，均滿足x■

第四步：x■，x■“任意”中也有“不任意”，由于單調性描述的是函數的基本性質，還需鏈接其區間，著重強調定義中的x■，x■∈I. 對于區間I內的任意x■，x■，當x■

最后得出函數單調性的定義......

評析：引導學生親歷數學概念的建構過程，并通過以下兩個關鍵性過程來實現建構：①通過自然語言去描述函數圖像的特征，進而建構函數單調性的意義. 教師以函數圖像為指引，引導學生去觀察、去發現，初步建立函數單調性的意義. 學生有多次圖像觀察的經驗，此過程對于學生來說相對簡單. ②以數學符號表示意義，此過程相對抽象，學生建構難度較大. 片段中教師找尋學生思維的“最近發展區”，通過多個循序漸進的問題串的呈現，觸及概念的底部與本質，有效突破了“用符號語言刻畫動態數學對象”這一難點，提升了學生的理性思維. 而“以數學語言來表述一個函數為增函數”，不僅打開了學生的思維寬度，也為定義的落地進行了鋪墊，整個建構過程流暢而自然，一氣呵成.

教學片段3：學以致用——深化概念

問題4：判斷：以下說法是否正確，并說明理由（舉例或畫圖），

（1）設函數y=f（x）的定義域為[a，+∞），若對于任意x>a，都有f（x）>f（a），則y=f（x）在區間[a，+∞）上遞增;

（2）設函數y=f（x）的定義域為R，若對于任意x■，x■∈[a，+∞），且x■>x■，都有f（x■）>f（x■），則y=f（x）是遞增的;

（3）反比例函數f（x）=■的單調遞減區間為（-∞，0）∪（0，+∞）.

問題5：判斷并證明函數f（x）=0.001x+1的單調性.

問題6：證明函數f（x）=x+■（x>0）的單調性，

（1）在（0，1）上遞減;（2）在（1，+∞）上遞增.

問題7：物理學中的玻意耳定律P=■（k為正常數）中，有對于一定量的氣體，當體積V減小時，壓強P增大，試著用函數單調性予以證明.

評析：教師通過對教材具有深度的理解設計，引導學生站在較高的角度探究概念本質，在內化中進一步優化認知結構. 問題7聯系其他學科的數學知識，逐步培養學生應用數學的意識和能力，有了之前一系列問題作為鋪墊，學生比較順利地解決了這個具有一定難度的應用問題. 在這個過程中，教師沒有輕易放過任何一個完善對函數單調性理解的機會，珍惜每一個引導學生深度思考的機會，深化對概念本質的理解.

■概念教學的策略

1. 以情境促感知

數學概念的形成是由具體到抽象的過程，一些較難理解的數學概念，在教學時，切不可生硬地拋出，讓學生去記、去背. 而應從學生的具體實際出發，有針對性地創設教學情境，提出問題，以直觀性較強、具有一定關聯性的例子，去幫助學生感知概念，促進感性認識的形成[1]■.

2. 以直觀促生成

在概念學習中，學生不僅需通過多感官去感知，還需反復觀察文字符號，去聽取教師的言語說明，去實踐操作，更進一步地進行初步概括，形成表象. 這一過程，為理解和掌握概念提供了較好的感性基礎. 因此，教師需運用好教具、多媒體等強化直觀教學，并用直觀的圖像讓抽象的概念變得直觀和形象，成為“看得見、摸得著”的事物. 例如，以上教學過程中，為使學生深度掌握概念本質，引導學生以圖像和符號去描述，有助于學生的理解和認識.

3. 以訓練促鞏固

概念教學的最高層次就是實現應用，在應用中使得理解和鞏固的概念得以發展和深化，也是將抽象知識化為行動的動態過程. 以上案例中，教師從發展的角度設計練習，以一些情境復雜的問題促使學生提煉和概括，進一步培養學生思維的廣闊性和深刻性，使學生從本質上認識所學概念[2]■.

4. 以體驗促深化

張奠宙先生曾說：“數學教學的有效性在于對數學本質的把握、揭示和體驗. ”因此，在教學系統化概念的過程中，需引導學生感悟隱含于概念形成過程中的思想方法，需在應用與推廣中自然而然地滲透思想方法，這才是促進概念深化的核心■[3].

總之，提高概念教學水平是一項艱巨而復雜的工程，同時也是每個數學教學工作者必須深思的問題，我們只有加強研究與交流，融合理論與實踐，才是可行之道. 我們需要轉型教學方式，從知識的重現轉變為知識的重演，促進學生的有效建構，將數學學科素養教育落到實處，真正實現素養教育. 當然，概念教學的探究之路漫長而又艱巨，需要廣大數學教師持之以恒地研究下去、行走下去，這個話題永遠不老！

參考文獻：

[1]? 吳敏，何嘉駒. 基于深度學習的高中數學概念課教學探析——以人教版必修二《直線的傾斜角與斜率》為例[J]. 中學數學研究（華南師范大學版），2018（20）.

[2]? 匡繼昌. 如何理解和掌握數學概念的教學實踐與研究[J]. 數學教育學報，2013，22（6）.

[3]? 盧娟，孫道斌. 在深度對話中讓數學概念課教學走向本真——“§5.1定義與命題”教學實錄與點評[J]. 中學數學雜志，2017（10）.